Lorsqu'on veut étudier un polynôme

pour les valeurs de z voisines d'un nombre donné Zq, on rainèn'* (n^'^So, etc.) celte étude au cas où la variable est voisine de o, en posant z = Zo-h h, puis en ordonnant le polynôme

f(zo-h h) ^- X^,-^ \i(zo-h h) -h ki( zo-^ h)^ -^. , ,-^ \n( ^0- hr^

suivant les puissances ascendantes de h; A sera alors re«;ardé comm** une variable imaginaire, petite en valeur absolue. Les résultats du Chapitre II, fondés uniquement sur les règles relatives à raddiliontt à la multiplication, s'appliquent sans changement. Si l'on désigne par

f'{z)r= I.'>.Aj-h7..3A2 5-f-...-|-(/l — l)/lA«w«-î,

/ /''( S) = 1 .7.. . ./?A,,-4- 7..'K . .(/? -4- I) A;,H, :: -h. . . -h (n—p^ \)(n —p-^'i) . .. nXnZ'*-i\

/-(^) = i.^.../iA,,

ÊTL'DE DKS POLYNOMKS A COEFFICIENTS ET A VARIABLES l&IAGlNAIItKS. 2G9

les n dérivées du polynôme /(5), dont la /i'*""* est une constante, on a

ou, si Ton >eut,

en désignant par /'(:;o), f'{zo)^ ... les valeurs des polynômes /(j), f'{z)^ ..., quand on y remplace z par ^o* Si h est petit en valeur absolue, si >v reste voisin de ^o, la valeur de f{z) reste voisine de /{zo)', aussi voisine qu'on le veut, pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite : c'est ce qu*on exprime en disant que le polynôme est une fonction continue de z, pour z = Zq,

Si le polynôme /(z) s'annule pour z = Zo^ z^^ est une racine de ce polynôme; l'ordre de multiplicité de cette racine est la plus haute puissance de h que l'on puisse mettre en facteur dans le polynôme /{Zo-h h) ordonné suivant les puissances de h ; c'est le degré du premier terme de ce polynôme qui n'est pas nul; pour que Zq soit une racine d'ordre de multiplicité p du polynôme /(:;), il faut et il suffit que ce polynôme s'annule pour z = Zq ainsi que ses p — i premières dérivées, et que la ^**"« dérivée ne s'annule pas. Si l'ordre de multiplicité />, défini comme plus haut, était égal à i, la racine Zo n'est pas multiple; elle est simple; dans ce cas la dérivée /'(s) ne s'annule pas pour z = ^o- Si Zq est une racine d'ordre de multiplicité/? pour le polynôme /{z)j c'est une racine multiple d'ordre p — i pour /'(:;); puisque les p — 2 premières dérivées du polynome/'(z) sannulent pour z = Zq, et que sa (/? — i )'*■"* dérivée ne s'annule pas ; elle est d'ordre/? — 2 pour /'\z), d'ordre i (une racine simple) pour /^P^*^(z): ce n'est pas une racine pour /^P^(z), On peut mettre alors le polynôme /{z) sous la forme /(z) = (z — Zo)Po{z), 'f{z) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour z = Zo* Réciproquement, si l'on peut mettre /(s) sous cette forme, le polynôme o(z) ne s'annulant pas pour z = Zq, on peut affirmer que Zq est une racine de /(5), d'ordre de multi[)licité/?. Si Zi est une racine de /{z)y

autre que Zq^ z^ est une racine de ç(^), elle est du même ordre de inultiplicité dans/(,3) et dans <f{z).

Sh le polynôme /(z) ne s'annule pas pour z = Zq, il ne s'annule pas non plus pour les valeurs de z suflisamment voisines de Zo ; niais on peut, d'après le numéro précédent, trouver de telles valeurs pour lesquelles on ait

108. Considérons maintenant les valeurs de la variable qui sont grandes en valeur absolue. Pour de telles valeurs, le polynôme esr lui-même très grand en valeur absolue.

Supposons, en effet, que ce polynôme soit de degré n ; en l'ordon- .nant suivant les puissances descendantes de z on pourra l'écrire

Le polynôme entre crochets, dans le dernier membre, est un polynôme en -» ordonné suivant les puissances de -» dans lequel le premier terme Bq n'est pas nul.

On peut choisir la valeur absolue p de .3 assez grande, ou la valeur absolue - de - assez petite, pour que la différence entre le polynôme

en - qui est entre crochets et son premier terme Bo soit moindre en valeur absolue que tel nombre positif e que l'on voudra. Dan;» ces conditions la valeur absolue de /(-s) sera supérieure à p''(èo~-)- .en désignant par b^ la valeur absolue de Bo, que Ton peut supposer plus grande que s. Or, il est clair que, pourvu que p soit assez grand, la valeur de ^"{bo — e) peut dépasser tel nombre positif que Ton voudra.

On voit, en particulier, que, lorsque le point;; est à l'extérieur d'un cercle décrit du point O comme centre avec un rayon suffisamment grand, le polynôme /(z) ne peut pas s'annuler.