SI

Dans le second membre, les déterminants qui multiplient respectivement an, ûfai, asi ont pour valeurs respectives

«««33— «13«3lî «ll«33— «31«13ï «Il «Î3 — «13«lt'

11 convient d'adopter pour les mineurs relatifs à un élément une notation qui rappelle cet élément. C'est ce qu'on a fait, pour les déterminants du troisième et du quatrième ordre, en employant la même lettre (mais d'un autre type) et le même accent que pour l'élément.

Quand on emploie la notation précédemment expliquée qui consiste à désigner par «a^p l'élément qui appartient à |la a**"* ligne et à la ^'*"** colonne, il convient, de même, de désigner par Aa,p le mineur correspondant. Aa,p sera le produit par ( — i)«+? du déterminant obtenu en supprimant la a'*""" ligne et la ^'*"'* colonne.

Les éléments de la a**™* ligne sont respectivement aa,t, ««^2? •••> €ifx,n et les mineurs correspondants Aa^,, A^^a, ..., Aa^„. Les éléments de la 3'^"* colonne sont respectivement ai,p, a2,p, ..., aii,p, et les mineurs correspondants A|,p, A^^p, ..., A„^p; la règle précédemment établie pour développer un déterminant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne, le fait qu'un déterminant est nul quand il a deux lignes identiques ou deux colonnes identiques, s'expriment par les identités suivantes, dans lesquelles A désigne le déterminant considéré, et dans lesquelles on suppose essentiellement, pour les deux dernières, que a est différent de |â,

Aa, 1 «a, 1 -H Aa, t «a, î "H . . • -h Aa, n «a, « = ^2^» Ai,a«i,a-+- Ai,aOtj,a-*-' • «"H ^n,aL^n,aL= ^> Aa, 1 «3, 1 -H Aa, t ap, , -h . . . -h Aa, „ ap, „ = o, ^^Ua^i.p-I- Aî,a«î,p-H. . .-H ^n,aL<^n,^ = O.

On peut condenser encore ces in^ identités en les écrivant sous la forme

Aa. 1 «p, I -+- Aa, 2 ap, j -+- . . . -I- Aa, n «p, /i = 6a, p ^»

Ai,a«i,p^- Aj,a«î,p-^.- •-+- A„, ««/!,?= 6a,p^,

<>û ea,3 représente i ou o, suivant que a est égal à |â ou que a est différent de ^.

On écrit encore, plus brièvement,

Dans les premiers membres, le signe ^ , qui s'énonce sigma

depuis r = i jusqu'à r = n, veut dire qu'on doit faire la somme des termes qui se déduisent du terme écrit à la suite de ^, en y remplaçant successivement r par i, 2, ..., n,

H6. On a déjà fait ressortir quelques conséquences de ce fait qu'un déterminant est une fonction linéaire des éléments d'une ligne ou d'une colonne. En voici quelques autres.

Quand on multiplie tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par un même facteur, le déterminant est multiplié par ce facteur. En

364 CHAPITBB X.

particulier, si tous les éléments d'une ligne sont égaux^ ou tous les éléments d'une colonne, on peut remplacer tous ces éléments par i, quitte à mettre en facteur Télément qui se répète tout le long de la ligne ou de ta colonne.

On a, par exemple,

En multipliant successivement les éléments de la première, de la deuxième, . . . , de la /i»«"»« ligne d'un déterminant du n***"* ordre par un même facteur ky il est clair que le déterminant est multiplié par k" ; au reste, cela est évident sur la définition même d'un déterminant : si, en particulier, on multiplie par — i tous les éléments, le déterminant reste invariable quand n est pair, il est multiplié par ~ i quand n est impair. Il en résulte (n** 141) qu'un déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul, puisque la multiplication par — I de tous les éléments revient à changer les lignes en colonnes, et inversement, ce qui ne change pas le déterminant.

Quand les éléments d'une même ligne sont proportionnels aox éléments correspondants d'une autre ligne, le déterminant est nul. En effet, les éléments de l'une des lignes s'obtiennent alors en multipliant respectivement les éléments de l'autre ligne par un même facteur k; en divisant ces derniers éléments par Ar, le déterminant est divisé par k; mais il a alors deux lignes identiques r il est nul, ainsi que le proposé. Ce que l'on vient de dire des lignes s'applique endemment aux colonnes; on a, par exemple,

puisque les deux premières colonnes du second déterminant sont identiques.

Quand chacun des éléments d'une certaine ligne est la somme de p quantités, que j'appellerai éléments partiels de cette ligne, le déterminant proposé est la somme de p déterminants du même ordre que le proposé, qui s'obtiennent respectivement en ne conserrant

DKTBRMINANTS.

dans la ligne considérée que les premiers éléments partiels, les deuxièmes éléments partiels, . . . , les jo»«"«* éléments partiels.

Supposons, par exemple, que dans le déterminant du quatrième ordre

a" b'^ /?" éT

on ait

je dis que l'on a

«1 Pi ïi Si

a = «1 + «î-has»

«î Pt Yi ^«

a' b' c' dr

oT b" c" d"

a" b' Si' d

io!" b" if* d"

Si, en effet, on conserve les notations du n** 144, le déterminant A pourra s'écrire

A = Aa-i-B^-hCc-h Drf =

C(Yi4- Ti-^ Ta) -^ I>(^i -+- 5î -^- Sj ) Aa,-hBpi-+-CY,-+-D8, Aa,-hBp,-f-CYt-+-D8, Aa,H-Bp,-+-CYj-hD8,.

Mais, dans la dernière forme obtenue, les quantités Ax,-i-BPi-HCYi-hD8„ Aa,H-Bp,-i- CyjH-DSj, Aîx,-h Bp,-+-CY,-h 083

ne sont autre chose que les déterminants qui figurent dans le second membre de l'égalité (i), développés suivant les éléments de la première ligne.

U est clair qu'il y a un théorème tout pareil pour les colonnes; la décomposition du déterminant est même plus visible; les éléments partiels forment alors, par leur disposition, des colonnes partielles, en quelque sorte, qui deviennent les colonnes des déterminants par-

tiels : on a, par exemple,

S'il n'y avait pas le même nombre d'éléments partiels dans les éléments d'une colonne (prar exemple), on pourrait introduire des éléments partiels nuls et parvenir à une décomposition analogue.

On a ainsi

P' b" ff

Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que le second membre est égal à

Si les éléments d'une colonne étaient chacun égal à la somme de p éléments partiels, si les éléments d'une autre colonne sont égaux chacun à la somme de q éléments partiels, il est clair que le déterminant sera la somme de pq déterminants.

147. On ne change pas un déterminant quand on ajoute aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligue respectivement multipliés par un même facteur, les éléments correspondants d'une autre ligne encore aussi multipliés par un même facteur, etc. Je me dispense d'énoncer le théorème analogue pour les colonnes, que je vais démontrer sur un exemple.

Considérons le déterminant

c' dr

je dis qu'il est identique au déterminant

a 6 H- Xa H- \Ld c

a' 6'-hXa'-+-fAcr c'

a' 6'-+-Xa'-+-|Ji^ c'

oT ô'-hXa^-HfAcT c"

dr dr

Ce dernier déterminant, d'après les explications qui précèdent, est en effet égal à

a! Xa' c' d

a" Xa' c' dr

a" la'" c'" âr

a iid c d

a' iid' c' d'

a' [xd c* cT

a'" fiif c"' d"

le premier déterminant est A, les deux autres sont nuls identiquement parce que, dans le deuxième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la première, et que, dans le troisième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la quatrième. Les deux déterminants A et A', développés, sont identiques.

148. Lorsque, dans un déterminant, il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première ligne, de la deuxième ligne, . . . , de la dernière ligne, ce déterminant est nul. Le déterminant est encore nul quand il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première colonne, de la deuxième colonne, . . . , de la dernière colonne. On suppose, bien entendu, que les coefficients de la relation linéaire ne soient pas tous nuls.

Si, par exemple, la relation

«a: -h ^y ->r^z ->rht ^=.0

est vérifiée quand on y remplace respectivement a:, y, s, /para, 6, c, rf, par a', 6', r', </, par a', b\ c", d\ par a'", b" ^ d" ^ d'\ le déterminant

est nul.

Supposons en effet que a ne soit pas nul, on aura, en vertu de Tbypothèse

d'où