DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES DÉTERMINANTS

130. Imaginons un carré, analogue à une table de multiplication, décomposé en n^ petits carrés ou cases. Ces n^ cases forment // files ou colonnes verticales : imaginons que chaque ligne horizontale soit afTectée d'un numéro, et que ces numéros aillent en croissant quand on descend vers le bas du carré : les numéros seront, le plus souvent, les nombres i, 2, . . ., /i; dans tous les cas, la ligne du haut, celle qui est immédiatement en dessous, . . . , la ligne du bas s'appelleront respectivement la première ligne horizontale, la seconde ligne, . . . , la //■^'"<^ ligne. Imaginons de même que chaque colonne verticale soit aflectée d'un numéro et que ces numéros aillent en croissant quand on va de gauche à droite : ces numéros seront, le plus souvent, les nombres i, 2, . . ., /i; dans tous les cas la colonne de gauche, celle qui la suit, . . . , la colonne de droite s'appelleront respectivement la première, la seconde, . . . , la /i'^'»*' colonne verticale.

Chaque case est alors déterminée par deux numéros : le premier sera le numéro de la file horizontale, le second sera le numéro de la file verticale, qui contiennent cette case. Je désignerai souvent une case par ces deux numéros mis entre parenthèses; si, par exemple, on se sert des nombres 1 , 2, 3, . . ., /i pour numéroter les lignes et les colonnes, la case (2, 3) appartiendra à ia seconde ligne et à la troisième colonne; les cases (i, 1), (2, 2), . . ., (/i, n) seraient traversées toutes par la diagonale qui va du sommet en haut et à gauche au sommet en bas et à droite; on dit souvent qu'elles appartiennent à la diagonale principale du carré.

Imaginons maintenant que, dans chaque case, soit placé un nombre : on a ainsi un tableau formé de n^ nombres, distribués dans le grand carré. On va apprendre à déduire de ces /i* nombres un autre nombre qui dépendra de leurs valeurs et de la place qu'il occupera : ce sera le déterminant des n'^ nombres.

Ces n^ nombres, ou quelques-uns d'entre eux, pourront être représentés par des lettres : la loi de formation du déterminant, que Ton va décrire, est indépendante de valeurs numériques attribuées à ces lettres; si l'on regarde les n^ éléments (*) du déterminant comnae des variables distinctes, l'expression qu'on va apprendre à former sera un polynôme du premier degré par rapport à chacune des variables, un polynôme homogène et du /!**■•* degré par rapport à rensemble des n^ variables.

Un déterminant formé au moyen de n^ éléments rangés, comme on vient de l'expliquer, dans n lignes et n colonnes, est dit du ^iinie ordre.

Il est la somme de termes formés comme on va le dire.

Chaque terme est le produit, tel quel ou changé de signe, de n éléments pris respectivement dans n cases différentes du carré, deux de ces cases ne devant jamais appartenir ni à la même ligne horizontale ni à la même colonne verticale. Pour obtenir un système de cases qui satisfassent aux conditions que je viens de dire et qui, ainsi, renferment les facteurs d'un terme du déterminant, on peut procéder comme il suit : On choisit tout d'abord arbitrairement une première case; les autres cases ne devront plus jamais être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette première case ; sauf cette restriction, le choix de la seconde case est arbitraire ; les cases suivantes ne devront plus être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette seconde case ; sauf les restrictions imposées ainsi par le choix des deux premières cases, le choix de la troisième est arbitraire, etc. 11 est clair d'après cela que parmi les n cases d'où sortent les éléments qui sont les facteurs d'un terme, il y en a une, et une seule, qui appartient à la première ligne, une, et une seule, qui appartient à la seconde ligne, ... ; il y en a de même une, et une seule, qui appartient à telle colonne verticale que l'on veut.

(^) J'emploie à dessein ce mot vague, qui peut désigner aussi bien uo nombre, une lettre, une variable, une fonction.

Autrement dit, si les cases où sont pris les n facteurs sont respectivement déterminées par les n couples de numéros

la première lettre de chaque couple a étant réservée aux numéros des lignes, et la seconde aux numéros des colonnes, les numéros ai, Xj, . . , a„ doivent être tous distincts et coïncider, abstraction faite de leur ordre, avec l'ensemble des numéros des lignes horizontales, eu sorte que la suite ai, a^, ..., a^, constitue un arrangement (nkn) de ces numéros; de même les nombres ^i, p^j •••) % ne sont autre chose, dans leur ensemble, que les numéros des colonnes verticales ; la suite ^1,^3, . . ., ^h est un arrangement (n à n) de ces numéros.

Ceci posé, le produit considéré, tel quel, est un terme du déterminant si les deux arrangements ai, a^, , aLf^ et ^i, ^3, ..., ^^

appartiennent à la même classe (n** 125); si ces deux arrangements appartiennent à des classes différentes, c'est ce produit multiplié par — I qui constitue un terme du déterminant. Il revient au même de dire que, dans tous les cas, le produit considéré doit être multiplié par (— 1)**''"*, en désignant par a le nombre des inversions contenues dans l'arrangement a,, a^, ..., a,, et paré le nombre des inversions contenues dans l'arrangement ^i, jS^, ..., ^n- J'appellerai ce nombre ( — i j**"*"* le coefficient du terme considéré.

Le produit des éléments contenus dans les cases

ne dépend évidemment pas de l'ordre dans lequel se succèdent ces cases ou les facteurs du produit; il en est de même du coefficient ( — 1)'»+* dont ce produit doit être aflecté.

Si, en effet, on transpose deux facteurs, on transpose par là même, dans l'arrangement ai, a^, . . ., a^, les deux numéros des lignes horizontales qui contiennent ces deux facteurs, et dans l'arrangement ^i, ^^2) • • •) P// les deux numéros des colonnes verticales qui contiennent ces deux facteurs : chaque arrangement change de classe; les deux arrangements, s'ils étaient de même classe, restent de même classe ; ils restent de classes différentes s'ils étaient de classes différentes. Or, on peut, par de pareilles transpositions, amener tel facteur qu'on veut à la place qu'on veut.

35o CHAPITRE X.

On voit aussi qu'un terme du déterminant n'est nullement changé si, en laissant chaque élément à sa place, on modifie les numéros des lignes ou des colonnes, pourvu qu'on observe la règle relative à la façon dont ces numéros doivent croître : une telle modification, en effet, ne change point les nombres d'inversions contenues dans Farrangement ai, aa, ..., a„ ou ^,, ^a? ..-, '^n-

Le déterminant est la somme de tous les termes distincts que Ton peut former d'après la règle précédente.

Sont regardés comme distincts deux termes tels que tous les facteurs du premier ne proviennent pas des mêmes cases que tous les facteurs du second. Si tous les facteurs d'un terme proviennent de» mêmes cases que les facteurs d'un autre terme, les deux termes sont regardés comme identiques, lors même que l'ordre des facteurs diffère : l'un d'eux seulement doit figurer dans le déterminant.

Le carré, avec ces n^ cases dont chacune contient un élément du déterminant, sert à représenter celui-ci. Toutefois, on se dispense de figurer les lignes horizontales et verticales qui délimiteraient les n^ cases : on ne conserve que les deux barres verticales qui limitent le carré à droite et à gauche. La place des cases, dont rien n'empêche de continuer à parler comme si elles existaient réellement, est suffisamment déterminée par la place qu'occupent les éléments. Par exemple, les symboles

abc

sont des déterminants du second et du troisième ordre. Pour en obtenir le développement, d'après la règle précédente, je supposerai que les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2 pour le premier, au moyen des nombres i, 2, 3 pour le second.

Considérons d'abord le premier : Un terme du développement doit contenir deux facteurs dont l'un appartient à la première ligne, l'autre à la seconde, dont l'un appartient à la première colonne, l'autre à la seconde. L'élément 3 placé dans la case (i, i)ne peut être associé, pour former un terme du déterminant, qu'à l'élément — 2 placé dans la case (2, 2); le coefficient de ce terme est i, puisque les arrangements formés respectivement par les premiers numéros des deux couples (i, 1), (2, 2) et par les deux seconds numéros de ces mêmes

DéTBRIIlNANTS. 35 1

couples, ne comportent pas d'inversions; l'élément 4 placé dans la case (2, 1) ne peut être associé qu'avec l'élément 7 placé dans la case (1, 2); le coefficient du produit est — i, puisque les deux arrangements 2, 1 et i , 2 comportent en tout une inversion. La valeur du déterminant est 3 x ( — 2) — 7x4= — 34. La valeur d'un déterminant du second ordre est la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des deux autres éléments.

Considérons de même le second déterminant : l'élément a de la case (1, i) ne peut être associé qu'avec des éléments appartenant l'un à la seconde ligne, l'autre à la troisième ligne, l'un à la seconde colonne, l'autre à la troisième; c'est-à-dire ou avec les éléments 6', c* appartenant aux cases (2, 2), (3, 3), ou avec les éléments V ^ (/appartenant aux cases (3, 2), (2, 3); le produit M cP formé avec les éléments appartenant aux cases (i, 1), (2, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient i; le produit aV d formé avec les éléments appartenant aux cases (1, 1), (3, 2), (2, 3) doit être affecté du coefficient — i, puisque les arrangements i, 3, 2, et 1, 2, 3 comportent en tout une inversion : les autres termes du déterminant doivent contenir soit l'élément a', soit l'élément cP , L'élément o! ne peut être associé qu'avec les éléments b et c" ou les éléments 6*' et c; le produit o!b(? formé d'éléments appartenant aux cases (2, i), (i, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient — i; le produit o! b' c doit être affecté du coefficient -+- 1 ; enfin l'élément a" ne peut être associé qu'avec les éléments b et c', ou y et c; les produits d'bd et d'V c doivent être affectés des coefficients i et — 1 ; le déterminant est

ah' c — ah' c' — a' bc' ->r a' b' c -h a* 6c' — a" b' c\ c'est l'expression déjà étudiée au n** 135.

140. Revenons au cas général, à un déterminant du /i'^'"*' ordre; je suppose que les lignes horizontales et les colonnes verticales soient numérotées au moyen des nombres 1 , 2, . . ., n. Considérons un terme C|uelconque du déterminant. Puisqu'on peut ranger comme on veut les facteurs de ce terme, on peut s'arranger pour que les premiers numéros, tous distincts, des cases qui contiennent ces facteurs se succèdent dans un ordre déterminé, par exemple, dans Tordre 1, 2, . . .,

n; les couples de numéros dont sont affectées les cases, rangées comme le sont les facteurs qu'elles contiennent, seront alors (i, .^i). (a, ^2), •••? (/*> M ^^ désignant par p,, ^j, ..., pn les numéros 1, 2, . . ., n rangés dans un certain ordre, ou, si Von veut, un arrangement {n k n) de ces numéros. Suivant que cet arrangement contiendra un nombre pair ou impair d'inversions, le produit des facteurs contenus dans les cases devra être affecté du coefficient i ou du coefficient — i . Supposons que dans chaque terme du déterminant, les facteurs soient ainsi rangés.

A chaque arrangement ^4, ^j, , . .^ P„ {n k n) des n numéros i^ a, ..., /i correspondra un système de cases (i, Pi), (a, ^j), - . ., (/i, p/2), un terme du déterminant; à deux arrangements distincts correspondront deux termes distincts ; il y a autant de termes que d'arrangements, c'est-à-dire i . a . . . /i. Comme il y a autant d'arrangements de première classe que d'arrangements de seconde classe, il y a autant de termes affectés du coefficient i que de termes afifectés du coefficient — 1 .

Le terme dont les facteurs sont contenus dans les cases (1, i), (2,2), ..., (/i, /i), que Ton appelle souvent terme principal du déterminant, a pour coefficient i .

Si l'on considère deux systèmes de cases

rangées comme on l'a expliqué, les termes correspondants du déterminant auront le même coefficient, ou des coefficients symétriques, suivant que les deux arrangements (nk n) ^i, ^j, ...,?„ et 3',, Ji^, ..-, P'„ seront, ou non, de mêmes classes ou de classes différentes, ou, si Ton veut (n" 124, 125), suivant que l'on peut passer de l'un à l'autre par un nombre pair, ou un nombre impair de transpositions. Cette remarque est souvent commode pour reconnaître le coefficient d'un terme en le comparant à un autre terme, de coefficient connu, en particulier au terme principal.

Au lieu de ranger les facteurs d'un terme de manière que les premiers numéros des cases qui contiennent ces facteurs forment la suite 1, a, ...,n, on peut les ranger de manière que ce soient les seconds numéros qui forment cette même suite; les couples de numéros, dont sont affectées les cases, rangées comme le sont les

facteurs qu^elIes contiennent, sont alors (ai, i), .((Xa,^), . . ., (a/,, /?), en désignant par a,, a.j, . . . , a,, un arrangement (n à n) des nombres

1, 2, . . . , /i. On pourrait répéter, sur cette seconde façon de ranger les facteurs de chaque terme de détecminant, ce que Ton a dit sur le premier mode.

141.. JÉtant donné ua déterminait, on peut en déduire un second déterminant en remplaçant l'élément situé dans une case quelconque par Télément situé dans la case symétrique par rapport à la diagonale principale, ou, comme on dit d'une façon un peu brève, en échangeant les lignes et les colonnes : on entend par là qu'on remplace les éléments de la yy'*"'' ligne par les éléments de la y?'*™*> colonne et réciproquement. Bien entendu, après le changement, les éléments d'une ligue se trouvent rangés dan^ l'ordre qu'ils occupaient dan3 la colonne, etc.

Il «est à peine utile de faire remarquer que, daas >les deuix.déterniinants, les éléments de la diagonale sont les mêmes.

Les deux déterminants, une fois développés, sont identiques terme à terme. Je suppose en effet que, dans les deux déterminants, les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i,

2, ..., /2. L'élément qui, dans le premier déterminant, appartenait à la a**"* ligne et à la P**"* colonne, appartiendra, dans le second, à la ^lème ligjie Qi à la a'*"® colonne; si l'on considère un terme du premier déterminant dont les facteurs figurent dans les cases (ai,j3,), (a2, ^a), . . ., (a;,, ^y,) du premier déterminant, ces mêmes facteurs figureront dans les cases (^,,ai), (^j, a^), .. ., (P«, a„) du second déterminant; ils fourniront, dans les deux développements, deux termes identiques, affectés du même coefficient ( — i )<»+*= ( — i )*+<»; à chaque terme d'un déterminant correspond un terme identique de l'autre déterminant. Les deux développements sont identiques terme à terme.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique un déterminant dans lequel les éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale principale [les éléments placés dans les cases (a, p), (P, a)] sont égaux : tel est le déterminant

4 JL 6

Pour un pareil déterminant, le théorème précédent n^apprend évidemment rien. L'aspect de ce déterminant n'est pas changé quand on y échange les lignes et les colonnes.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique gauche, un déterminant dans lequel les éléments de la diagonale principale sont nuls et dans lequel, de deux éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale, l'un se déduit de Tautre en le multipliant par — i; tel est le déterminant

Le théorème précédent montre qu'un déterminant symétrique gauche ne change pas quand on en multiplie tous les éléments par — i. Cela revient en effet, pour un tel déterminant, à échanger les lignes et les colonnes.

142. Lorsque, dans un déterminant quelconque, on remplace les éléments qui figurent dans une ligne par les éléments correspondants (*) d'une autre ligne, et, réciproquement, les éléments de celle autre ligne par ceux qui occupaient la place qu'on vient de leur attribuer, on forme un nouveau déterminant qui est égal au premier changé de signe.

Je vais montrer, en effet, que chaque terme de l'un des déterminants est identique à un terme de l'autre, changé de signe.

Supposons que les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2, ..., /i et qu'on échange entre elles, au sens qu'on vient de dire, la aJJ"' ligne et la a'^"* ligne.

Considérons un terme quelconque du déterminant proposé, dont les facteurs appartiennent aux cases

(I) En disanl de deux éléments appartenanl à deux lignes distinctes qu'ils sool correspondants, y ^ïilQtïAs quMls appartiennent à la même colonne; de même, dcu» éléments correspondants de deux colonnes différentes appartiennent à une même ligne.

ces mêmes éléments, dans le second déterminant, figureront dans les cases

ils seront encore les facteurs d'un terme du second déterminant, puisque les numéros ai, a2, .•., oi„ sont distincts, ainsi que les numéros ^,, ^2» -.-î ?n] mais le coefficient de ce terme, dans le second déterminant, ne sera pas le même que dans le premier; en effet, l'arrangement {n k n) formé par les seconds numéros est le même, soit pour le premier déterminant, soit pour le second; mais les deux arrangements ai, aj, . . ., a^, . .., a^, . . ., a,, et ai, aa, .. ., cLçj . .., oLpj . . . , ai„ n'appartiennent pas à la même classe (n" 124).

On énonce brièvement ce théorème en disant qu'on multiplie un déterminant par — 1 quand on échange entre elles deux lignes ou deux colonnes.

Il en résulte qu'un déterminant est nul lorsque les éléments qui figurent dans une ligne sont respectivement égaux aux éléments correspondants d'une autre ligne, ou, comme l'on dit, lorsqu'il a deux lignes identiques.

Si l'on considère, par exemple, le déterminant

abc

^' ijf ^^ a oc

la valeur numérique de ce déterminant doit, quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres a, 6, c, a", 6", c^, être multipliée par — I quand on échange entre elles deux lignes quelconques ; mais, si l'on échange entre elles les deux premières lignes, qui sont identiques, cette valeurnumérique ne peut évidemment être changée; or, un nombre égal à son symétrique est nul; le déterminant proposé est donc nul quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres a, 6, c, d ^ M, d' : il est identiquement nul; tous les termes de son développement doivent se détruire.

\u reste, on voit très bien comment les termes se détruisent. D'une part, le déterminant proposé et le déterminant qu'on en déduit en échangeant les deux premières lignes conduisent évidemment au même développement; d'autre part, en vertu de ce qu'on vient de dire.

336 GHAPrnus x.

chaque terme du second développement se déduit d'un terme du premier en changeant de signe son coefficient, c'est-à-dire qu'à chaque terme du déterminant proposé correspond un terme qui le détruit.

Le raisonnement est évidemment général; la vérification, poar l'exemple cité, est immédiate sur les formules du n® 135.

143. Considérons un déterminant A, d'ordre /?, dont les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2, ..., n; et regardons tous les éléments comme distincts; un élément de ce déterminant entre comme facteur dans plusieurs termes; il n'y entre d'ailleurs qu'une fois, en sorte que, si l'on regarde cet élément comme une variable et qu'on le désigne pour un instant par j:, le déterminant sera du premier degré en x^ et pourra se mettre, en Fordonnanl par rapport à x, sous la forme Kx H-B.

On appelle mineur d'un déterminant, relatif à un élément de ce déterminant, le coefficient de cet élément dans le développement du déterminant, ordonné par rapport à ce même élément.

Dans la notation précédente, A est le mineur relatif à l'élément x. Je vais donner une règle pour le calculer.

Considérons les termes du développement qui contiennent en facteur l'élément dont on cherche le mineur, et supposons qu'on ail, dans tous ces termes, placé en tête l'élément considéré. Les facteurs qui entrent dans un de ces termes appartiendront aux cases

(«l,Pl), («t, Pi), ..., (a„,pn),

et, en vertu de l'hypothèse qu'on vient de faire, la case (a,, p,) sera la même pour tous les termes considérés.

Les numéros aj, a,, ..., a« sont, dans leur ensemble, les nombres 1, 2 ,. . ., /i, d'où l'on a retiré a, ; les numéros ^a, Ps? • • m ?/i «on^^ ^^ même, les nombres i , 2, . . . , /i, d'où l'on a retiré p,. Soient, comme plus haut, a et 6 les nombres respectifs d'inversions contenues dans les arrangements a,, a^, ..., a„ et p,, %, .. ., p,,; soient a! et V\t^ nombres respectifs d'inversions contenues dans les arrangements a^ «a, ..., a„ et pa, ?a, . . ., p«; on a a = a'-+-a, — i, 6 = 6' 4-^,-1 (n«125). Le coefficient du terme considéré est

Le produit par ( — i )**'■*"*' des éléments conlenus dan^ les cases

(«1, Pî)i (*s> PsX .-•• (*rt, Pn)

est un terme du déterminant A', d'ordre n — i, qui se déduit du déterminant A en supprimant la ligne de rang ai et la colonne de rang ^i. Il suffit, pour s'en convaincre, de se reporter à la définition générale en supposant que, dans le déterminant du {n, — i )!*'"* ordre, les lignes et les colonnes conservent chacune le même numéro d'ordre qu'elles avaient dans le déterminant primitif. Cette même définition montre que, en prenant dans le développement de A tous les term^ qui contiennent en facteur l'élément de la case (ai, ^4), on obtient, de la façon qu'on vient de dire, tous les termes de A'. Le coefficient de l'élément de la case (a,, ^1), dans le développement de A, est donc

Ainsi, le mineur d'un déterminant relatif à un élément quelconque s'obtient en multipliant par une puissance de — 1 dont l'exposant est la somme des numéros d'ordre respectifs de la ligne et de la colonne qui contiennent cet élément le déterminant qui se déduit du proposé par la suppression de cette ligne et de cette colonne. Je rappelle que, dans le déterminant proposé, les lignes et les colonnes sont aumérotées 1, 2, . . ., n.

On reconnaît de suite, en se reportant à la façon, expliquée phis haut, de développer un déterminant du second ordVe

al h'

= ab* — a' h y

que cette règle s'applique encore à un tel déterminant, si l'on convient de regarder un déterminant du premier ordre, qui se réduit à un seul élément, comme égal à cet élément.

144. D'après la définition d'un déterminant, il y a dans chaque terme un élément qui appartient, par exemple, à la yo'*"* ligne; si l'on regarde les éléments de la y>**"»« ligne comme des variables, le déterminant proposé sera une fonction linéaire des éléments de cette /?•*"** ligne, et l'on vient d'apprendre à déterminer les coefficients de cette fonction.

Considérons, par exemple, le déterminant du troisième ordre

Développons-le suivant les éléments de la première ligne, de la seconde ligne, de la troisième ligne, on trouvera

A = Aa H- B6 -h Ce = A'a'-h B'6'4- G'c'= Va' -h B'6'4- c'c% en posant, d'après la règle précédente.

On retrouve, en se reportant à la règle pour développer un déterminant du second ordre, les mêmes notations qu'au n' 133 el quelques-unes des identités établies dans ce même numéro.

Si Ton considère Tune des expressions de A, Aa-h B6-|-Cc par exemple, on sait que les éléments a, 6, c qu'on y a mis en évidence ne figurent pas dans les mineurs A, B, C, en sorte que, si, dans celle expression, on conserve la même signification aux lettres A, B, Gel qu'on remplace rt, 6, c par a, ^, y, le résultat Aa -f- B^ -i- Cy ne sera autre chose que le déterminant proposé, où Ton a remplacé a, 6, c par a, ^^ y, cVst-à-dire le déterminant

tMi particulier Texpression \a' — B6'— Ce' n'est autre chose que le dôleruuuaiil à deux lii;ae> identiques

DETERMINANTS.

c'est-à-dire o. On aura donc

A a' -h B 6' -r- G c' =0, ka'-v- B6'h-Cc''=o,

et les identités analogues (n** 135).

Ce que Ton a dit des lignes vaut pour les colonnes et Ton aura de même

A = Aa -h A'a'-f- k" a' = B6 -h h'b'-^h'b" = Ce -h C'c'-h Ce',

etc.

Le déterminant du quatrième ordre

serait de même égal à Aa -|- B6 -h Ce -\- Drf, en posant

puisqu'on sait développer chacun de ces déterminants du troisième ordre, on n'aura aucune peine à obtenir le développement complet du déterminant du quatrième ordre. On pourra tout aussi bien le mettre sous l'une ou l'autre des formes

A' a' -f- B' 6' -h C c' H- D' d, y a' 4- B' A' + C c' -h D' d, A"'a'''-+- B'^6'"-h C'c'^-h D'^rT.

Si l'on veut par exemple l'expression de C, c'est-à-dire du mineur relatif à l'élément c' qui figure dans la seconde ligne et la troisième colonne; on voit, puisque ( — i)^"*"^ est égal à — i, que ce mineur

36o est

etc.

d if

A peut, de même, en le développant suivant les éléments d'une colonne, être mis sous l'une ou Tautre des formes

Ka •+-

Ma'

Gc-f-

Ce'

x^'dr

Enfin il y a douze identités, analogues à celles qu'on a obtenues

pour le déterminant du troisième ordre et s'établissant de mérae,

telles que

Aa'-H Bb'-k- Gc'-H Dd = o,

et douze autres du type

Kb + k'b'

^A'6'-hA'^6"'=o.

En d'autres termes, la somme des éléments d'une colonne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aux éléments correspondants d'une autre colonne est nulle, ainsi que la somme des éléments d'une ligne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aui éléments correspondants d'une autre ligne. On rappelle que le minear relatif à un élément de A ne contient aucun élément représenté par la même lettre, ou accentué de la même façon que cet élément.

Lorsque tous les éléments d'une ligne, ou d'une colonne, sooi nuls, il est clair, d'après ce qu'on vient de dire, que le détermiii»* est nul. Si tous les éléments d'une ligne ou d'ane colonne, sauf ••• sont nuls, le déterminant se ramène immédiatement à un déterminant dont l'ordre est moindre d'une unité, comme on le voit de suite en le développant suivant les éléments de la ligne ou de la colonne considérée. Si, par exemple, on développe le déterminant

DÉTKRMINANTS. 36 1

suivant les élëmenis de la dernière ligne, on voit que le mineur relatif à l'élément 2 de cette ligne est le produit de (— 1 )'+* = — i par le déterminant

Ce dernier déterminant admet encore une ligne dont les éléments soat nuls, sauf l'élément 4 auquel correspond le mineur

la valeur du déterminant du quatrième ordre est 2 x 4 X 2 = 16.

145. Jusqu'à présent, lorsqu'un déterminant n'était pas écrit tout au longf je ne me suis servi, pour ea désigner un élément, que du coaple de numéros qui désigne la case où figure cet élément. Une notation fréquemment employée, et d'ailleurs très voisine de celle-là, consiste à désigner chaque élément par une même lettre affectée de deux indices, dont le premier est le premier numéro de la case correspondante, dont le second est le second numéro. Ainsi, en supposant que les ctfses et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2, ..., /i, l'élément appartenant à la a'**^ ligne et à la ^ieme colonuc pourra se représenter par «a,^ ou a2 ; dans la seconde notation, a n'est pas un exposant, mais un indice supérieur. C'est de la première notation que je me servirai le plus souvent. Avec cette notation, un déterminant du second ordre, ou du troisième, s'écriront

ûfa.i

On supprime souvent les virgules entre les deux indices, quand il n'y a pas de confusion à craindre.

Il importe toutefois de remarquer que l'on peut avoir d'autres raisons pour introduire ces symboles formés d'une lettre affectée de deux indices, afin de représenter certains nombres, ou certaines variables, et qu'on peut avoir à faire figurer ces symboles dans un

déterminant écrit à la façon ordinaire; on peut se trouver alors en contradiction avec la règle précédente : c^est toujours à la disposition des éléments dans le carré qui représente le déterminant et à la définition du n° 139 qu'il faut se reporter, et non à la règle que je viens de donner. Ainsi le déterminant

est, quand on le développe, égal à ai^art.j^i — ct\,\(i2,2 (i^** 139). L'égalité

exprime, pour un déterminant du second ordre, le théorème d'après lequel un déterminant change de signe quand on échange entre elles ddix colonnes.

Cette observation s'applique en particulier quand, un déterminant étant écrit d'après la règle donnée au commencement de ce numéro, on le développe suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne, quand on écrit par exemple

«Il «IS

«Il «13

«Il

— «Il

-Haj,