XX -+- X' Y -4- X'Z -4- X^'T = \p H- X>' H- X>'-h XV

cette relation est une identité en x, y^ s, ^, w, quand on remplace, dans le premier membre, X, Y, Z, T par leurs expressions explicites. Dans cette identité X'" n'est pas nul. Le second membre n'est autre chose que le déterminant que l'on obtient en adjoignant au tableau (2) une quatrième colonne formée des termes constants

On tire de l'identité (3) la suivante

T = aX-h^Y-+-YZ-

C) Si les polynômes X, Y, Z, T ne contenaient que les trois variables x^ y^ z^ il n'y aurait pas lieu de considérer les variables t^ u\ mais tout le reste de la démonstration subsisterait.

en posant

X ft X'

. X/jH-xv'-^-xv-f-X'V"

oT b" c'^ p"

abc a! b' c' a" b' c'

Si, par exemple, on considère les polynômes

X= x-\-y — z -\- t -Hi, Y= x—y-^z-^u — 1^ Z = — ar -k-y -^ z — u — t — 3,

on reconnaît de suiie que les trois premiers sont indépendants et que I'od a identiquement, en x^ y^ z, t, u,

T =X-^Y-hZ-t-9.

Le lecteur n'aura d'ailleurs aucune peine à retrouver cette relation par U méthode qu'on vient d'expliquer.

On observera que, dans l'expression (4 j de T, les coefficients a. 3,^ de X, Y, Z ne dépendent que des coefficients des variables dans les quatre polynômes, nullement des termes constants, qui n'interviennent que dans 8.

De cette expression de T, il résulte évidemment que les quatre polynômes X, Y, Z, T ne sont pas indépendants, puisque la valeur de T résulte de celles des trois polynômes indépendants X, Y, Z. En particulier, pour des valeurs des variables qui annulent X, Y, Z, il est clair que T prendra la valeur 5, en sorte que, si o n'est pas nul, les équations X = o, Y = o, Z = o, T = o sont certainement incompatibles; c'est ce qui arriverait dans l'exemple numérique que Ton a donné. Au contraire, si 8 est nul, les trois premières entraînent la dernière.

Dans ce qu'on vient de dire, se trouve contenue ta solution de la question suivante :

DETRRBIINANTS.

156. On donne n équations du premier degré à n inconnues, dont le déterminant n'est pas nul, et un polynôme du premier degré dont les n variables sont désignées parles mêmes lettres que les inconnues des n équations, calculer ce que devient le polynôme quand on y remplace les variables par les valeurs des inconnues qui vérifient les équations.

Les n -h I polynômes du premier degré à n variables formés par le polynôme et les premiers membres des équations, dont le second menibre est supposé nul, forment un système de rang /i; il ne peut, en effet, être de rang supérieur, puisqu'il n'y a que n variables; il e<it bien de rang /?, puisque le déterminant des n équations n'est pas nul. La relation qu'on vient d'apprendre à former entre ces n -f- i polynômes fournit la réponse à la question posée.

Supposons, par exemple, qu'on donne les trois équations en j?, y^ z

a x-h b y -h c z-hp =o, a! X -r- b' y -h c' s -h />' = o, a'x -h 6'j' H- c'z -+- />' = o,

dont on suppose que le déterminant ne soit pas nul, et qu'on veuille calculer la valeur du polynôme U" x -H U" y ^ d" z -\- p'" . Désignons par T ce dernier polynôme et par X, Y, Z les premiers membres des équations; on est dans le cas qu'on vient d'étudier, de quatre polynômes de rang 3 ; il suffit, en conservant les mêmes notations que dans le numéro précédent, de supposer nuls les coefficients d^ d\ d!\ d!" ^ t', e\ e", e''', pour voir que les polynômes X, Y, Z, T sont liés par la relation identique en x, ^', 5,

et que la \aleur cherchée de T est 8 ou

On voit, en supposant toujours que le dénominateur de la fraction

précédente ne soit pas nul, que la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre équations, à trois inconnues,

X = o, Y == o, Z = o, T — o, admettent une solution est que l'on ait

hep b' c' p' b' c' p b" c" />"

et cela reste évidemment vrai, lors même que le déterminant des trois équations X = o, Y = o, Z^o serait nul, pourvu que, parmi les quatre équations, il y en ait trois dont le déterminant ne soit pas nul, pourvu, en d'autres termes, [que le système des quatre polynômes X, Y, Z, T soit de rang 3.

On dit souvent que Téquation précédemment obtenue est le résultat de i élimination de x, r, z entre les quatre équations X = o, Y = o, Z = o, T = o, c'est-à-dire la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces quatre équations pour qu'elles admettent une solution en J7, v, z. Ceci, toutefois, n'est exact que si les quatre polynômes du premier degré X, Y, Z, T sont de rang 3.

Ces résultats s'étendent, évidemment, à un système de /i -h i équations du premier degré à n inconnues, quand le système des n h- i premiers membres est de rang n,

157. Revenons au cas général; considérons les p polynômes du premier degré X|,Xa. ..., X^àn variables Xi, X2, . . ., x„, savoir :

Xi = «1,1 a-|-+- ai,, x^-h, . .-h Oi.n a-/i-H Oi.n-K»» Xj = «j,i art H- «t.î ^î H- . • • H- «ï,/i ^n H- «î,«-»-l ,

et le tableau

Xp= a,,^yri-¥- af,^iTf^, . .-+- a^,»ar„-h 0;,,n-Ki,

des coefficients des variables; soit r le rang de ce tableau, rang qui est au plus égal au plus petit des nombres n, p. Je vais montrer, d'une part, que, parmi les polynômes X,, X^, . . . , X«, il y en a r, et seulement r, qui sont indépendants, et, d'autre part, que tous les polynômes s'expriment au moyen de ceux d'entre eux qui sont indépendants.

Si r est nul, tous ces polynômes se réduisent à des constantes; aucun n'est indépendant. Supposons r > o. Parmi les polynômes X|, Xa, ..., Xy,, il y en a certainement r qui sont indépendants; à savoir ceux qui correspondent aux lignes du tableau où figurent les éléments de ce déterminant du r**™* ordre qui, par hypothèse, n'est pas nul. Rien n'empêche, quitte à changer l'ordre des variables et des polynômes, de supposer que ce déterminant soit

Les polynômes Xi, X^, . . ., Xr seront alors indépendants; si r est égal à/>, les/? polynômes considérés sont indépendants et l'on a certainement />^/i. Supposons r <Cp; si, aux r polynômes indépendants X|, X2, . . ., Xr, on associe Tun des polynômes Xr+i, Xr^.2, . . ., X;,, par exemple le polynôme X,, les r 4- i polynômes X|, X2, ..., X;., Xx ne seront pas indépendants, puisque le rang r du tableau de leurs coefficients est inférieur d'une unité à leur nombre, et le dernier X, pourra s'exprimer au moyen des r premiers par une formule telle que

OÙ a,^i, a,^2? •••? ^t,n **,r+« désignent des constantes numériques que l'on déterminera par le procédé expliqué plus haut; les deux membres de l'égalité précédente sont identiques en Xt^ Xt. .,,, x„ quand on remplace X,, Xj, ..., Xr, X, par leurs expressions explicites. En d'autres termes, X, peut être regardé comme un polynôme du premier degré, dont les r variables s'appelleraient X|, X2, ..., X,.. Je dirai, dans le même sens, que X, s^ exprime au moyen de X|, Xâ, . . ., X/. en sous-entendant que Vexpression est un polynôme du premier degré. Cette formule met en évidence la dépendance

des polynômes X|, X2, ..., Xr, X,, le fait que la valeur numérique de X, est déterminée quand les valeurs des polynômes X|, X^, ..., Xr sont déterminées. En particulier, il est clair que, si l'on attribue aux variables j-«, x^^ ..., ûc,t des valeurs qui annulent X,, X2, ..., X^, la valeur de X, se réduira à a^^r+i, ^^ sorte que, si aj,r+i n'est pas nul, les équations

sont incompatibles, et que, si af,r+4 est nul, les /• premières équations entraînent la dernière. Je rappelle que a, ;.^, est égal à une fraction dont le dénominateur est le déterminant A, et dont le numérateur est le déterminant du (/• -h 1)*^"* ordre

S est un quelconque des nombres /'-[-i, r-|-2, ..., n.

Les remarques que voici sont des conséquences faciles des explications qui précèdent :

La condition nécessaire et sufflsante pour que p polynômes du premier degré soient indépendants est qu'ils soient de rang p. En particulier, s'il y a plus de polynômes que de variables, les polynômes ne peuvent être indépendants.

Si p polynômes du premier degré à n variables sont de rang i\ r de ces polynômes sont indépendants; il peut se faire qu'on puisse, avec ces p polynômes, former plusieurs systèmes de /• polynômes indépendants, mais on ne peut en trouver r -f- 1 qui soient indépendants, car, s'il y avait un système de r 4- i polynômes qui fussent indépendants, ce système serait de rang /• -f 1 : il y aurait donc un déterminant non nul d'ordre r H- i tiré du tableau des coefficients des n variables. En d'autres termes, le rang d'un système de polynômes du premier degré est le nombre maximum de polynômes indépendants que l'on puisse trouver parmi eux.

Si le système de polynômes X,, X,, ..., X^ du premier degré en j:», ^2? . . ., oTrt est de rang r et si X,, X2, . . ., Xr sont indépendants,

les autres polynômes X^^.!, X^+s, ..., X^ s'expriment au moyen de ceux-là, comme on Fa vu, par des formules telles que

X, = a,j Xi -+- a,,, X,-h. . . -h %s,r^r-^ a*,r-Hl.

Les/? — r polynômes du premier degré en X|, Xj, . . ., X^

X, — a,j X| — a,,j Xj — . . . — «i.rXr — ^s,r-t-t

(5 = r-hi, r-{-'i, ..., p),

qui deviennent identiquement nuls quand on y remplace X«, X^, ..., Xr par leurs expressions explicites en :r,, :r2, ..., x„ sont indépendants, lorsqu^on y regarde les lettres X|, X^, ..., X^ comme désignant des variables, comme il résulte du n" lo3. Ainsi, quand le système X,, X^, . . ., X^, est de rang r<^/?, il y a /> — r polynômes du premier degré en X|, X^, . . ., X;,, indépendants quand on regarde ces lettres comme représentant des variables, et qui s'annulent identiquement lorsqu'on remplace X«, X2, ..., X^, par leurs expressions explicites en x,, x^^ . . ., x„.

Réciproquement, l'existence d'un seul polynôme du premier degré en X|, X2, ..., Xp, à coefficients non tous nuls, qui devienne identiquement nul quand on y remplace X,, Xj, ..., X^ par leurs expressions j?,, Xi^ ..., J?», ou, ce qui revient au même, l'existence d'une seule relation de la forme

X| X| -h XjXj-}-. . .-HÀpX/, -H Xp+t = o,

dans laquelle tous les nombres A,, X2, ..., ^^p^\ ne sont pas nuls, et qui est identiquement vérifiée quand on y remplace X«, X2, ..., X,, par leurs expressions explicites en x,, x^^ . . ., ^/o entraîne la dépendance de X,, X2, ..., X^; car, si, dans cette relation, le coefficient de l'un des polynômes X|, Xa, . .., X^ n'est pas nul, la valeur de ce polynome-là, en vertu de l'identité supposée, est déterminée par la valeur de tous les autres polynômes. D'ailleurs, dans cette identité, les coefficients de X|, Xj, ..., X^, ne peuvent être tous nuls, puisque, s'il en était ainsi, l'identité même exigerait que X^^, fût nul.

Désignons par P,, P2, ..., Pv v polynômes du premier degré en X,, X2, ..., Xp, de rang p, quand on y regarde X|, Xj, ..., X^ comme les variables; lorsque, dans P|, P2, ..., Pv? on remplace X|,

X2, ..., X^ par leurs expressions explicites en X|, jr^, ..., x„^ les polynômes P|, P2, ..., Pv deviennent des polynômes du premier degré en x^^ «Tj, ..., Xn\ si, comme je le suppose dans ce qui suit, les polynômes X,, X2, ..., Xp sont indépendants, les polynômes P,, Pa, ..., Pv, regardés comme des polynômes en j^i, Xa, ..., ^n, sont encore de rang p. C'est ce que je vais établir.

Supposons d'abord que P|, P2, ..., Pv, regardés comme des polynômes en X|, X2, ..., X^, soient indépendants; je vais montrer qu'ils sont encore indépendants quand on les regarde comme des polynômes en X|, x^t ..., x^. En effet, on peut alors trouver des valeurs A|, A2, . . ., A^, pour X|, X2, . . ., X^, qui fassent acquérir à Pi, P2, ..., Pv telles valeurs que l'on voudra, puis des valeurs pour .Ti, X2', ..., Xn qui fassent acquérir à X|, X2, ..., X^ les valeurs A|, A2, ..., A^, et, par suite, à P|, P2, ..., Pv telles valeurs que Ton veut.

Si, maintenant, P|, P2, . . ., Pv, regardés comme des polynômes en X,, X2, . .., X;,, sont de rang 0, on peut, en restant au même point de vue, supposer que P|, P2, . ..? Pp soient indépendants; les autres polynômes Pp-|.i, Pp+a? •••? Pv s'expriment alors au moyen de P|, P2, . . ., Pp par des relations qui sont identiques en X<, X2, . . ., X^,, qui le sont encore en X|, ^29 •••) Xn^ quand on a remplacé X|, X2, ..., X;, par leurs expressions explicites. Mais P|, Pj, ..., Pp, regardés comme des polynômes en x^^x^^, ..., x„, sont indépendants, d'après ce qu'on vient de dire; les autres polynômes Pp+i, ..., Pv dépendent de ceux-là; la proposition énoncée est donc démontrée.

Le rang p des polynômes P|, P2, . . ., Py est égal ou inférieur kp^ ainsi qu'il est évident lorsqu'on regarde, dans ces polyaomes, X|, X2, ..., X^ comme les variables : ceci subsiste, lors même que les polynômes (en x^^ X2^ . . ., x,,) X|, X2, . . ., X^ ne sont pas indépendants, car s'ils sont de rang r, on peut, en supposant X|, X,, . . ., Xr indépendants, exprimer les polynômes suivants X^+i , X^^.!, ..., X;, au moyen de X| , X2, . . ., Xr, puis remplacer X^^i , X^+i, . . . , X^ parleurs expressions dans P|, P2, ..., Py, qui deviennent alors des polynômes du premier degré en X|, X2, ..., Xr, polynômes dont le rang, si on les considère comme des polynômes en X,, X2, . . ., Xr, ne peut dépasser r; or ce rang reste le même quand on remplace les polynômes indépendants X|, X2, . . ., Xr par leurs expressioas explicites en X|, X2, . • •, Xn»

liÉTERMINAXTS. SqX

Il résulte de là que p polynômes X|, X2, ..., X^, du premier degré en X|, j:2î *^*^ Xn^^làe. rang r, qui, comme on l'a vu, peuvent s'exprimer au moyen de r polynômes indépendants, des r polynômes X|, Xa, ..., Xr par exemple, si ceux-là sont indépendants^ ne peuvent certainement pas s'exprimer au moyen d'un moindre nombre de polynômes, puisque, si X|, X2, . . ., Xr s'exprimaient au moyen de moins de r polynômes, ils ne seraient pas indépendants. Le rang d'un système de polynômes du premier degré est le nombre minimum de polynômes du premier degré au moyen desquels ils puissent s'exprimer.

158. Ce qui précède permet de compléter ce que l'on a dit plus haut de la résolution d'un système d'équations du premier degré.

Plaçons-nous de suite dans le cas le plus général, celui où l'on a affaire à p équations à n inconnues. Je désignerai, en conservant d'ailleurs les notations précédentes, par X|, X2, .. ., X^, les premiers membres de ces équations, et je désignerai par /• le rang de ce système de polynômes du premier degré.

Si r est égal à />, les équations admettent certainement une solution; dans ce cas, on a nécessairement n^p. Si n est égal à /?, il y a une solution et une seule. Si le nombre n des inconnues dépasse le nombre p des équations, on considérera celles des inconnues dont les coefficients sont les éléments de ce déterminant du ^'^"« ordre qui, par hypothèse, n'est pas nul : supposons que ces inconnues soient X\^ x^^ ..., Xp\ on résoudra les équations par rapport à j?4, Xj, . . ., Xp^ comme si les /i — p autres inconnues Xp^s^Xp^'^^ . . ., Xn étaient connues, en appliquant la méthode du n" 150 ; c'est alors, dans chaque équation, un polynôme en Xp^\^ Xp^^j •••> ^n qui joue le rôle de terme tout connu ; les expressions que l'on trouve ainsi pour 0?!, x^j ..., Xp étant linéaires par rapport aux termes tout connus, sont des polynômes du premier degré en x^^i, Xp^2y • • •• ^/i« D'ailleurs, d'après le n** 150, les équations qui expriment ainsi j?i, X2, . . ., Xp au moyeu de Xp^^^ Xp^^^ • • •? Xn sont équivalentes au système proposé; en sorte qu'on vérifie ce système en attribuant à Xp^%^ Xp^2t •••? Xn des valeurs arbitraires et en prenant pour x^, X21 . . M ^/» les valeurs qui en résultent et que, réciproquement, dans toute solution du système, les valeurs des inconnues doivent être liées par les relations auxquelles on eit ainsi parvenu. En d'autres

39'2 CHAPITHE X.

termes, les équations qui expriment :f, , x^^ ..., Xp au moyen de ^/>+i, ^p^2^ -M ^n fournissent la solution la plu^ générale du système proposé.

Supposons r<ip\ il y a, parmi les polynômes X|, Xj, ..., X^, r polynômes indépendants; je suppose que ce soient les polynômes X<, Xa, . . ., Xr, et que le déterminant des coefficients des inconnues Xxi ^2, ..., Xr dans ces polynômes ne soit pas nul; on résoudra.

comme on vient de l'expliquer, les équations X| := o, X2=o,

Xr= o par rapporta jti, j?2> • • -j ^r? qui, dans le cas où r est inférieur à n, s'exprimeront ainsi par des polynômes du premier degré eu ^Tr+i, ^r+2, ...? ^«, ^X l'on substituera ces polynômes, à la place de X\^ X2y ..., ^r, dans les équations restantes Xr+i = o, Xr4.2=o, ..., Xp=o. Les inconnues jr^+i, ^r+ai •••? ^// disparaîtront d'ellesmêmes; en effet, si l'on désigne par X, l'un des polynômes X^+i, . .., X^. on a entre ce polynôme et les polynômes indépendants X,, X2, ..., Xr une relation identique, à coefficients constants, de la forme