X.Ç = «^,1X1 H- «5,5 X, -h. . .-4- a^^rX^-l- «i.r-^-l

Quand on fait la substitution, X|, X2, ..., X^ sont nuls, quelles ques soient les valeurs attribuées à J7r+o ^r^-a, . . ., J?» ; X, se réduit donc identiquement à la constante af,r+«« Si l'une des constantes 3t,,r-»-i. où s désigne l'un quelconque des nombres r -h i, r -{- 9.^ . . ,, n, n'est pas nulle, les équations proposées sont incompatibles; si toutes les constantes a,^r+n ^^ ^^^^ '^s déterminants du (r -f- i)'*^'"** ordre :

auxquels on donne quelquefois le nom de déterminants caractéristiques du système d'équations, sont nuls, les équations X, = o, X2= o, . . ., Xr= o entraînent les équations Xr+i = o, Xr+2= o, . . ., X^= o : donc la solution la plus générale est fournie par les expressions de J7,, X2f ..., Xr au moyen de ^r+i? .^r+t* . ••? ^w, que Ton a commencé par former.

DKTERMINANTS. SqS

On n'oubliera pas qu'on est certainement dans le cas r<Cpj si Ton a n <C/>-

En résumé, un système d'équations du premier degré peut avoir une solution et une seule (p = n = r), peut être impossible (/'</>, un déterminant caractéristique non nul), peut admettre une infinité de solutions; dans ce dernier cas, la solution la plus générale s'obtient en laissant n — r inconnues arbitraires, les r autres s'expriment au moyen de celles-là.

1 o9. Les théories précédentes, relatives aux systèmes de polynômes du premier degré et aux équations du premier degré, se simplifient notablement quand on suppose homogènes tous les polynômes auxquels on a affaire, quand on suppose que, dans les équations, les termes tout connus sont nuls : les équations sont dites alors linéaires; au lieu de l'expression polynômes homogènes du premier degré j'emploierai l'expression /orm^5 linéaires. Il suffira, pour se placer dans ce cas, sur lequel je vais maintenant m'arréter, de supposer, dans les notations antérieures, que les quantités ai,;,^.i, «j,/,^.!, . . ., cip,n+t sont toutes nulles. Les définitions de l'indépendance et du rang subsistent sans modifications.

On remarquera d'abord que, si les équations en x^J x^, . . ., Xnj

X| = o, Xj = o, ..., X^=o

sont linéaires, au sens que je viens de dire, le cas d'impossibilité ne peul se présenter, puisque ces équations sont évidemment vérifiées quand on suppose toutes les variables nulles. Au surplus, on reconnaît immédiatement que, dans ce cas, les déterminants que l'on a appelés caractéristiques sont tous nuls.

On remarquera ensuite que, si les formes X|, Xj, ..., X;, sont linéaires en x^^ x^^ . . ., r,,, il ne peut exister entre elles de relation identique, à coefficients constants, de la forme

Xi Xi -h XjXi-h. . .-4- 'kpXf,^ y^p-^\ = o,

sans que *^p^\ soit nul : en effet, la relation précédente doit être vérifiée quand on suppose nulles toutes les variables et, par conséquent, toutes les formes X|, X^, ..., X;,; en d'autres termes, la relation considérée doit être elle-même linéaire en X|, X2, .^., X« :

on peut donc énoncer la proposition suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que les formes X|, Xj, ..., X^, soient indépendantes est qu'il n'existe pas de constantes X| , X^, ..., A^ non toutes nulles telles que l'on ait identiquement, en a?i, Xa, .. ., Xn

XjXi -h XjXj-+-. , ,-+-XpXp =0.

Au contraire l'existence de telles constantes est la condition nécessaire et suffisante pour que les formes considérées soient dépendantes.

En particulier, si les formes X|, X2, . . ., X^ sont de rang r</? et si les r formes X< , Xj, . . ., Xr sont indépendantes, les p — r autres s'exprimeront linéairement au moyen de celles-là, et seront nulles pour toutes les valeurs des variables qui annulent X|, X2, . . ., X^.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que/> formes linéaires en x^^ X2j ..., x„ soient de rang inférieur ou égal à r consistent en ce que les déterminants du (r -H i )'*'"* ordre tirés du Tableau des coefficients soient tous nuls.

Revenons aux équations linéaires en j:{, x^^ . . .. Xn-,

Xl = O, Xf = O, •••» Xjt;= o.

Supposons d'abord que les formes X|, X2, .. ., X^ soient indépendantes, ce qui exige p^n. Si l'on a yo = /i, les équations n'admettent qu'une solution, à savoir la solution évidente X| = o, 0^2=0, ..., x„=o :

n équations linéaires à n inconnues dont le déterminant n'est pas nul n^ admettent pas d'autre solution que la solution où toutes les inconnues sont nulles.

Si l'on 9i p <in^ p inconnues, dont les coefficients, dans les formes X,, X2, . . ., X^, sont les éléments d'un déterminant non nul du/?''"* ordre, s'expriment linéairement au moyen des n — p autres, qui restent arbitraires, et l'on obtient ainsi la solution la plus générale du système d'équations. Que les expressions des p inconnues au moyen des n — p autres soient effectivement linéaires, c'est ce qui résulte évidemment des formules du n° loO.

Supposons maintenant que les p formes X|, X2, . . ., X^ soient de rang r <Cp^ et que les /• formes X| , X2, . . ., Xr soient indépendantes.

Les p — r autres s'expriment linéairement au moyen de celles-là et s'annulent toutes quand les r premières sont nulles; le système ]des équations proposées est équivalent au système

X| = o, X]^o, ..., Xr=o;

r inconnues s'expriment linéairement au moyen des n — /• autres, et l'on obtient ainsi la solution la plus générale des équations proposées.

En particulier, si l'on a n équations linéaires à n inconnues, dont le déterminant soit nul, on peut satisfaire à ces équations en laissant certaines inconnues arbitraires. Le système proposé admet des solutions où toutes les inconnues ne sont pas nulles. La condition nécessaire et suffisante pour que n équations linéaires à n inconnues admettent une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles est que le déterminant de ces équations soit nul. C'est le sens précis qu'il faut attribuer à cette proposition : la condition obtenue en écrivant que le déterminant de n équations linéaires à n inconnues est nul est le résultat de l'élimination de ces n inconnues entre les n équations.

On observera qu'une proposition énoncée au n" 148 se trouve maintenant entièrement démontrée :

Quand un déterminant est nul, les éléments de toutes les lignes de ce déterminant vérifient une même équation linéaire^ dont tous les coefficients ne sont pa^ nuls.

Il convient de remarquer que, si p esl plus petit que n, les équations X| = o, X2= o, ..., X^=o admettent toujours des solutions où les inconnues ne sont pas toutes nulles.

160. Le cas où l'on a affaire k n — i équations linéaires à n inconnues se présente fréquemment et il convient de s'y arrêter un instant. On a déjà traité au n' 133 des équations

ctx -h by -k- cz = o, a'x-\- b'y-h c'js = o,

et l'on a vu que la solution la plus générale de ces équations, dans le cas où les trois déterminants 6c' — b'c, ca! — c'a, a6' — a! b ne sont

^9^ CHAHTRE X.

pas nuls à la fois, c'est-à-dire dans le cas où les deux formes linéaires égalées à o sont du rang 2, s'obtenait en prenant :r, y, z proportionnels à ces déterminants. Ceux-ci ne sont autre chose que les inineur> relatifs aux éléments de la troisième ligne d'un déterminant du troisième ordre dont les deux premières lignes sont

abc,

Le fait que les trois mineurs, mis à la place de x^ y, z^ vérifient les équations proposées est un cas particulier des relations entre les éléments d'un déterminant et ses premiers mineurs (n" 144). Si l'un des trois déterminants est nul, sans que les trois soient nuls, l'inconnue qui devrait être proportionnelle à ce mineur est nulle.

Si les trois mineurs sont nuls, et si l'on écarte le cas où tous les coefficients sont nuls, les deux formes linéaires sont de rang i ; on peut résoudre l'une d'elles par rapport à une inconnue dont lecoeflicient ne soit pas nul, en laissant les deux autres arbitraires, on obtienl ainsi la solution la plus générale des équations proposées.

Considérons maintenant trois équations à quatre inconnues

«57 -h by -^ cz -h fit =0, a'ar -^ b'y -h c' z -h d' t =0, a'x -\- b'y -^ c'z -^ cTt = o^

et supposons que le tableau des coefficients

cT.

ou les trois formes linéaires égalées à o, soit de rang 3. En regardant les trois lignes de ce tableau comme les trois premières lignes d'un déterminant du quatrième ordre, et en désignant par A'", B"', C*. D les mineurs de ce déterminant relatifs aux éléments de la quatrième ligne, mineurs qui, par hypothèse, ne sont pas tous nuls, il résulte deidentités établies au n" 144 que les équations proposées sont vérifiée> quand on prend J^, r, ^, / égaux à A'", B"', C", D'" et par conséquent aussi, à cause de l'homogénéité des équations, quand on prend x<

y^ Zj t proportionnels à A'", B"', C", D'"; c'est là d'ailleurs la solution la plus générale ; dans cette solution, en elVet, l'une des inconnues x, y^ «, t doit rester arbitraire; or, on peut choisir le facteur de proportionnalité de manière à faire acquérir à cette inconnue telle valeur qu'on voudra. Si l'un des déterminants V", B'", C", D'" est nul sans que tous les autres le soient, cela signifie que l'inconnue qui lui est proportionnelle doit être nulle.

Si le tableau des coefficients était de rang 2, il j aurait, parmi les trois formes linéaires, deux formes qui seraient indépendantes, les deux dernières par exemple ; l'un des six déterminants du second ordre qu'on peur tirer du tableau de leurs coefficients, par exemple le déterminant 6V — 6'V, ne serait pas nul; on résoudrait alors les deux dernières équations par rapport à j^ et à 5; on en tirerait des formules telles que

^ = aiF H- ^/,

Z = OL X H- Jî'/,

qui, en laissant J7 et t indéterminés, fourniraient la solution la plus générale des équations proposées. Si le tableau des coefficients des trois formes était de rang i, il ny aurait qu'une forme indépendante; on résoudrait l'équation obtenue en l'égalant à o par rapport à l'une des inconnues, dont le coefficient n'est pas nul, celte inconnue s'exprimerait linéairement au moyen des trois autres, qui resteraient arbitraires.