Je rappelle tout d'abord quelques définitions

Si l'on considère une ou plusieurs lettres x^y, z^ ... susceptibles de prendre telles valeurs qu'on voudra, un monôme en x^yj z^ ... e?i un produit de facteurs dont l'un (coefficient) est un nombre, dont chacun des autres est représenté par quelqu'une des lettres x^ y, V. . . . : le nombre de ces derniers facteurs est le degré du monôme. I>e monôme prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques déterminées aux variables x, y^ ^, ... : c'est ce qu'on entend en disant qu'il est une fonction de ces variables. Si l'on n'attribue pas une valeur numérique déterminée à ces variables, le monôme est une simple écriture, caractérisée, d'une part par son coefficient, d'autre part par le nombre de facteurs x, le nombre tie facteurs j^, ....

Lorsque le monôme est précédé du signe -f- ou du signe — , on regarde ce signe comme attaché au coefficient, que l'on écrit d'habitude avant les variables : — ixxv est un monôme dont le coefficient e>t -- 3. Le coefficient d'un monôme peut d'ailleurs être i ou — i : tel serait le cas pour les monômes xx^ — xy.

Le coefficient d'un monôme peut être représenté par une lettre que l'on choisira habituellement parmi les lettres de l'alphabet éloipiées de celles qui représentent les variables. Axxy est un monôme Hont le coefficient est A. Sans doute cette lettre peut représenter des nombres distincts; mais, si on lui attribue des valeurs distinctes, on aura affaire à des monômes distincts. Dans un même monôme, le coefficient, s'il est représenté par une lettre, est une constante; cette lettre joue un rôle tout à fait différent de celles qui figurent les variables.

6o CHAPITRE ri.

Deux monômes qui ne diffèrent que par le coefficient sont ditsemblables. Deux monômes sont identiques si les coefficients s<nit les mêmes, et s'ils contiennent le même nombre de facteurs .r. le même nombre de facteurs j-, ....

Il est naturel de grouper ensemble les facteurs égaux à x^ ceux qui sont égaux à j^, . . ., et d'employer la notation des exposants pour représenter les produits partiels des facteurs x^ des facteurs j\ ... : ces exposants sont des nombres naturels : si le facteur x entre n f(»i> dans un monôme, si le facteur y entre/? fois, . . ., le monôme est dit du degré n en :r, du degré p en j^, .... Le degré du monôme en j-, y^ z^ ... est la somme des exposants dont sont affectées ces lettre>.

Une lettre .r, y, 5, . . . qui n'entre qu'une fois comme facteur doit être regardée comme affectée de l'exposant i, qui ne s'écrit pas.

Il peut être commode de regarder celles des lettres x, y^ ^, . . . qui n'entrent pas effectivement dans le monôme comme y figurant cependant et comme étant affectées de l'exposant o (n** 22).

Enfin, il peut encore être commode de regarder un nombre, ou une constante, comme étant aussi un monôme en x^ J'j ^j • • •? *lt^ degré o par rapport à chacune de ces variables.

La somme de plusieurs monômes en a:, y, 5, . . . est, par définition, un polynôme en x^y^ 5, . . . ; un polynôme peut d'ailleurs se réduire à un seul monôme ; parmi les monômes qui constituent un polynôme (les termes du polynôme) peut figurer une constante. Un polynom«* prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques aux variables x^y^ -s? • • • J c'est une fonction de ce^ variables. Quand on n'attribue pas de valeurs déterminées à ces variables, le polynôme est une simple écriture dont les éléments essentiels sont les coefficients et les exposants qui caractérisent chacun tlf ses termes. Le polynôme est dit réduit lorsqu'il ne contient pasdeui monômes semblables; étant donné un polynôme, on peut toujoui*^ effectuer la réduction des termes semblables, c'est-à-dire remplacer l'ensemble des monômes semblables par un seul monôme qui leursoii semblable et dans lequel le coefficient est la somme algébrique decoefficients des termes semblables, et supprimer les termes dont le coefficient serait nul : le polynôme que l'on obtient ainsi prend la même valeur numérique que le proposé quand on attribue aux variables x^ y, z, . , . des valeurs numériques, d'ailleurs quelconques-

Lorsqu'un polynôme en x, y, z, , , , est réduit, son degré, en;r, est

POLYNOMES. 6l

l'exposant le plus élevé dont est affectée la lettre x dans celui ou ceux des monômes constitutifs du polynôme qui la contiennent avec le plus fort exposant. De même pour les degrés en y^ en z^ Relativement à l'ensemble des variables x^y^ z^ . . ., chaque terme du polynôme, que je suppose toujours réduit, a un degré, la somme des

exposants dont sont affectées, dans ce terme, les lettres x^ y^ 5,

Le plus grand de ces degrés est le degré du polynôme en :r,^, -s, . . . ; c|uand tous ses termes sont de même degré, le polj^nome est dit homogène.

Deux polynômes sont dits identiques lorsque, étant réduits, ils sont composés des mêmes monômes. Leurs valeurs numériques sont alors les mêmes quand on attribue aux variables un système de valeurs numériques.

L'ordre dans lequel sont écrits les termes du polynôme réduit n'importe pas. Toutefois, il est souvent commode de ranger ces termes dans un ordre déterminé, (ïordonner le polynôme. Quand il ne contient qu'une variable, on range les termes par degrés croissants, ou décroissants; c'est ce qu'on appelle ordonner le polynôme par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la variable.

On déduit des règles relatives à l'addition, à la soustraction, à la multiplication des nombres des règles qui permettent, deux polynômes étant donnés, de trouver un polynôme réduit dont la valeur numérique soit toujours égale, quel que soit le syslème de valeurs numériques attribuées aux variables, à la somme, à la différence, ou au produit des valeurs numériques des polynômes donnés. Je ne reviens pas sur ces règles, bien connues du lecteur. Que la solution <|u'elles fournissent des problèmes posés soit la seule possible, c'est ce qui sera établi tout à l'heure.

L'objet propre de TAlgèbre est l'étude des polynômes à différents points de vue; une des parties les plus importantes de cette étude est la recherche des systèmes de valeurs qu'il faut attribuer aux variables pour que la valeur du polynôme soit nulle : c'est la théorie des équations algébriques. Je commencerai par l'étude des polynômes à une \ariable, en me plaçant surtout au point de vue de la façon dont la \aleur du polynôme dépend de la valeur de la variable. Il est intéressant, en particulier, de savoir si la valeur du polynôme croît ou» décroîl, quand la valeur de la variable croît; quel est le signe de la ^aleur du polynôme, etc.

Au lieu de dire valeur du polynôme pour une valeur déterminée de la variable, il m'arrivera fréquemment de dire simplement le polynôme par une ellipse un peu incorrecte. C'est ainsi qu'on dit : le polynôme est nul, il croit, il décroît,

28. L'étude de la variation a été faite dans les éléments pour les polynômes en x du premier et du second degré ax -\-b^ ax^ -h bx -\- c (a, 6, c sont les coefficients; a est supposé différent de o).

On sait de quelle commodité, pour cette étude, est la représentation graphique.

Après avoir fait choix d'un système d'axes coordonnés rectangulaires OX, OY, dont l'origine est le point d'intersection O, d'une

Fi

g. fi.

unité de longueur, d'un sens positif sur chacun des axes, on fait correspondre à chaque point M du plan ses coordonnées x^y^ c'est-à-diit les deux équivalents algébriques des vecteurs OP, OQ dont les extri-- Hiités sont les projections orthogonales P, Q du point M sur les axes, et à chaque système de nombres relatifs x^ y le point dont ct-^ nombres sont les coordonnées, le premier étant Vabscisse, le secoiul V ordonnée.

On sait que le lieu des points M, de coordonnées x^ y^ pour lesquels on diy = ax -f- b est une droite (dont on dit que j^ = ax-^ff est l'équation) : a est le coefficient angulaire ou la pente de cellf droite et de toutes ses parallèles; c'est l'ordonnée du point d 'abscisse égale à i, pour la parallèle à la droite considérée qui passe par l'ori-

POLYNOMKS.

gine, parallèle dont l'équation est jv' = d^ ' cette parallèle est, ou non, située dans l'angle des coordonnées positives et dans l'angle opposé par le sommet suivant que a est positif ou négatif.

Si l'on suppose que le point variable P, d'abscisse x, se déplace sur l'aie des x de gauche à droite, que x croisse de — oo à -j- oo, on voit ourles figures comment l'ordonnée j^z= ax -\- b du point M croît (le — X à -h 00, ou décroît de -|- oo à — oc, suivant que a est positif ou négatif. Le nombre y = ax H- h est de signe contraire à a, tant

que X n'a pas atteint la valeur pour laquelle y est nul, c'està-dire tant que le point P est à gauche du point A, où la droite rencontre l'axe des a: ; j^ est au contraire du même signe que a lorsque x

a dépassé la valeur » quand le point P est à droite de A.

11 est commode d'imaginer que le point variable P, d'abscisse x, se meut sur l'axe des x d'un mouvement uniforme avec une vitesse égale à I, en passant à l'origine à l'époque o, en sorte que cette ab- >cisse j: représente le temps, mesuré avec une unité convenable. Le point Q, correspondant à x^ se meut alors d'un mouvement uniforme ^ur l'axe des^, avec une vitesse égale à a, en montant ou en descendant constamment suivant que a est positif ou négatif : il est en O quant le point P est en A : il se déplace plus ou moins vite suivant que la valeur absolue de a est plus ou moins grande, que la pente de la droite est plus ou moins forte.

Si l'on considère une droite quelconque (D), non parallèle à l'axe des y, les coordonnées x^ y d'un point quelconque de cette droite vérifieront une équation j^ = ax + 6, dans laquelle les constantes a et 6 (la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite) caractérisent la posi-

lion (le la droilc. Si celle-ci doit passer par un point de coordonnées x\y^ on doit avoir

y = ax'-\- b^ b—y — ax\ et son équation peut, par suite, s'écrire

telle est Téquation d'une droite dont la pente est a et qui passe par le ])oint x\ y.

Si jc"^ y sont les coordonnées d'un point de cette droite, autre qu»le [)oint de coordonnées x\ r', on aui*a

v'-.v' rt = '-= — =-; :

ainsi la pente d'une droite qui joint deux points est égale à la difl'érence des ordonnées de ces deux points, divisée par la différence do leurs abscisses. En particulier, la pente d'une droite qui joint rorigint»

au point dont les coordonnées sont x',y est*—»

La formule Vy; > qui donne la pente de la droite qui joint le^

deux points de coordonnées a:', y et oc" ^ y représente aussi la ^ile^^o d'un point qui se mouvrait uniformément sur l'axe des j^ et qui. \\\w époques x', a/', passerait aux points dont les ordonnées sont )'', >'•

L'équation de la droite qui joint les deux points de coordonnées x',^ et x^\ y\ ou l'équation du mouvement uniforme sur Ta^t* des y du point qui, aux époques x\ x", passe aux points dont lr> ordonnées sontj'', j^', est

dans le dernier cas, x représente le temps.

La variation du trinôme du second degré ax^-\- bx -f- c, la forme et la disposition de la parabole lieu des points dont les coordonnées X, y vérifient l'équation

y = ax^-\- bx 4- c, résultent aisément de ce qu'on vient de dire sur la variation d'un

POLYNOMES. 65

binôme du premier degré et de l'identité

je ne m'y arrêterai pas, non plus qu'à la façon dont le point Q, d'ordonnée^', se déplace sur l'axe des y^ quand le point P d'abscisse x se meut uniformément sur l'axe de Xj de gauche à droite.

29. Considérons encore la fonction a^', où a est un nombre différent de o, et n un nombre naturel.

Le cas où n est égal à i a été étudié plus haut : on peut l'écarter.

Comme le produit de deux ou plusieurs nombres positifs augmente quand ces nombres augmentent, il est clair que x" croît de o à -+- oo, quand x croît de o à + <» : d'un autre côté, quand on chans:e x en — x^ x'^ se change en — x", ou ne change pas, suivant que n est impair ou pair. Il suffit de ces remarques pour reconnaître, grossièrement, que la courbe définie par l'équation y=iax^ a l'une des quatre formes figurées ici.

Fig. 8, 9, 10, II.

Les deux premières figures se rapportent au cas où n est impair, la première au cas où a est positif, la seconde au cas où a est négatif; l'origine est alors un centre de symétrie pour la courbe, parce que ileux points, dont les coordonnées sont des nombres symétriques, sont eux-mêmes symétriques par rapport à l'origine.

Les deux dernières figures se rapportent au cas où n est pair, la troisième au cas où a est positif, la quatrième au cas où a est négatif. Dans ce cas l'axe desjK est, pour la courbe, un axe de symétrie.

Dans tous les cas, ax'^ est nul pour:r = o; dans le premier cas (n impair, a > o), pour :r=o, ax'' est plus petit que pour les valeurs de x un peu plus grandes que o, et plus grand que pour T. 5

CCy CHAPITRE II.

les valeurs de x un peu plus petites que o : oi> dît que ax"j pour ^ == o, est une fonction croissante. Dans le second cas (n impair. a<io) pour x = o, ax'* est plus grand que pour les valeurs de x un peu plus grandes que o, et plus petit que pour les valeurs de x un peu plus petites que o : on dit que ax", pour o: = o, est une fonction décroissante.

Dans le troisième cas (n pair, a>o), pour x = o, ax" est plus petit que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que pour o: = o, ax'* passe par un minimum; dans le quatrième cas, enfin (/i pair, a-<o), pour x = o, ax" est plus grand que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que ax"y pour x = o^ passe par un maximum.

Lorsque x est nul, ax" est nul; quand x est voisin de o, aar" est voisin de o. Il est aussi voisin de o qu'on veut, pourvu que x soit luimême suffisamment voisin de o. D'une façon précise, si Von se donne un nombre positif a, aussi petit que Ton veut, on peut trouver un nombre positif ^, tel que ax" soit certainement plus petit que a, en valeur absolue, pourvu que x soit plus petit que (3, en valeur absolue, tel, en d'autres termes, que la condition |j7|<p entraîne l'inégalité \ax"\<ix.

Cette dernière inégalité, en effet, est vérifiée, pourvu que l'on ait

i-"i<ifi' i-i<v7]li'

il suffira donc de prendre (3 =i/.— -. •

Le fait que ax'* est aussi petit que l'on veut, en valeur absolue. pouiTu que x soit suffisamment petit en valeur absolue, s'exprime en disant que ax'* est infiniment petit avec x.

En supposant que le nombre naturel p soit plus grand que /i, bxP

est infiniment petit avec x^ de même que ax". On dit que hxP est

infiniment petit par rapport à ax"^ en entendant par là que le rapport

bxP b • /» • •

= - xP~" est infiniment petit avec x.

ax'* a *■

Pourvu que x soit suffisamment petit, hxP est petit par rapport à ax'* (note du n° 19). Il est à peine utile de dire que les nombres a, b sont supposés différents de o.

Considérons, par exemple, les expressions 2^2, loooa;'* etneconsî-

POLYNOMES. 67

dérons que des valeurs de x moindres que 0,01 en valeur absolue; 2ar" restera, en valeur absolue, moindre que 0,0002 et ioooj:*, moindre que 0,0000001; si, sur une feuille de dessin, on voulait figurer les deux courbes dont les équations sontj^ = 2:r^, y = 1 000 x*, en prenant le mètre pour unité de longueur, la portion de la première courbe dont les points ont une abscisse moindre qu'un centimètre, en valeur absolue, ne pourrait guère se distinguer de l'axe des x\ la portion analogue, pour la seconde courbe, ne s'en distinguerait nullement; cette courbe ne paraîtrait guère se séparer de l'axe des x que pour les points dont l'abscisse serait comprise entre quatre et cinq centimètres.

En particulier, si n est plus grand que 1 , aa?" est infiniment petit par rapport à x^ ou un infiniment petit d'ordre supérieur à x. Quand x est suffisamment petit, en valeur absolue, ax'^ est, en valeur absolue, beaucoup plus petit que x.

Considérons la courbe dont l'équation esty = ax^^\ le rapport

^ = aa?'*-

est la pente de la droite qui joint le point O au point M de la courbe, qui a pour coordonnées ar et^ = ax'^ ; pourvu que x soit assez petit en valeur absolue, pourvu que le point M soit suffisamment voisin du point O, cette pente est aussi faible qu'on veut, la droite qui joint le point O au point M s'écarte aussi peu qu'on veut de l'axe des x : c^est ce qu'on exprime en disant que l'axe des x est tangent à la courbe au point O. Ceci suppose n > i .

Lorsque n est impair la courbe traverse la tangente en O : le point O est un point d' inflexion.

Lorsque n est pair, aux environs du point O, la courbe est tout entière d'un côté ou de l'autre de l'axe de x : c'était pour les anciens la propriété caractéristique de la tangente.

Dans tous les cas, la distance MP du point M à la tangente est beaucoup plus petite que OP, pourvu que P soit assez près de O.

Quand x est très grand en valeur absolue, ax" est lui-même très grand en valeur absolue. D'une façon précise :

Quelque grand que soit le nombre positif A, on peut trouver un nombre positif B tel que la condition |:r|>B, entraîne l'inégalité

I aa:" I >• A. On pourra prendre

On dit que ax'^ est infiniment grand avec x.

Si l'on suppose p > /2, bxP est infiniment grand par rapport à ajr", c'est-à-dire que le rapport àe bxP k ax'^ finit par être aussi grand qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment grand, en valeur absolue. En particulier, si n est plus grand que i, ax'^ est infiniment grand, par rapport à x.

Par exemple, on a vu que, pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la courbe dont l'équation est j^= loooj:^ est située entre l'axe des x et la courbe dont Téquation est y = 2^-, beaucoup plus près de Taxe que cette dernière ; pour les grandes valeurs positives de J7, au contraire, la première courbe monte beaucoup au-dessus de la seconde.

§ 2. - ÉTUDE D'UN POLYNOME A UNE VARIABLE POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES DE ZÉRO.

30. On verra tout à l'heure comment l'étude d'un polynôme en x. pour les valeurs de x qui avoisinent un nombre quelconque x©, se ramène à l'étude d'un autre polynôme pour les valeurs de la variable qui sont voisines de o. C'est sur cette étude fort importante que je vais m'arréter.

Lorsqu'on veut étudier un polynôme en x pour les valeurs de j" voisines de o, il convient d'ordonner ce polynôme par rapport aux puissances croissantes de x, parce que, alors, chaque terme est petit, en valeur absolue, par rapport à ceux qui le précèdent, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue.

Considérons, par exemple, le polynôme

3 — IX -\- ^x^ — 5a:' -f- ar*;

chaque terme sera plus petit, en valeur absolue, que le terme qui le précède, si x est, en valeur absolue, inférieur au plus petit des nombres

i ^ -^ 5 j» 4> it •'»

POLYNOMES. 69

c'est-à-dire plus petit que ^. Supposons qu'on n'ait afiaire qu'aux valeurs de x qui vont de — -^ à + j^, ou, comme on dit, qui appartiennent à l'intervalle (*) ( — y^, -1-750)» ^^^ termes — 2:c, 4^'? — 5j:', x^ resteront tous petits; la valeur du polynôme sera à peu près égale à 3, c'est une première valeur approchée. Une valeur plus approchée sera fournie parcelle de 3 — 257, car l'erreur que l'on commet en substituant la valeur de 3 — ix à celle du polynôme, c'est-à-dire la valeur du polynôme l^x- — 5 jc' + x^^ sera très petite ; puisque les valeurs (absolues) de 4^', — 5a?', x^ sont petites par rapport à celle de :r. 3 — 'ix est une expression approchée du polynôme, beaucoup plus facile à calculer que ce polynôme lui-même, et dont il suffira, dans bien des cas, de connaître la valeur. L'expression 3 — 2;r -h 4^* sera de même une expression plus approchée du polynôme, etc.

Si, p^r exemple, on veut calculer la valeur du polynôme pour j7== 0,0020, en se servant des expressions approchées 3, 3 — 2^, 3 — IX -^ 4^^j oii trouvera les valeurs approchées

3, 2,9950, 2,995oîi5ou;

tandis que la valeur exacte est 2,9950249219140625.11 n'y a pas de science d'observation, si précise soit- elle, où cette valeur exacte importe, ait même quelque signification; la première valeur approchée, bien souvent, et la seconde, presque toujours, suffiront amplement dans la pratique.

Ces observations semblent n'avoir qu'une valeur pratique; on va voir qu'elles ont une très grande importance théorique. 11 est d'ailleurs clair qu'elles ont besoin d'être précisées, car elles tomberaient en défaut s'il y avait dans le polynôme un coefficient très grand; 3 — IX ne fournirait pas, pour:r = o,oo25, une valeur approchée du polynôme 3 — 2;r-l- 4^* — 5x*'-f- io-"j7*.

Observons d'abord que si, dans un polynôme, on remplace tous les coefficients par leur valeur absolue et x par sa valeur absolue, ou un nombre plus grand, on ne peut qu'augmenter la valeur absolue du polynôme. Si, en particulier, on ne veut considérer que des valeurs

(*) Si a, b sont des nombres dislincts V intervalle (a, 6) est rcnsembic des nombres a> b et des nombres réels compris entre a, b.

de la variable qui soient, en valeur absolue, au plus égales à i, il est clair que la valeur absolue du polynôme sera au plus égale à la somme des valeurs absolues de ces coefficients. D'un autre côté lorsque, dans un produit de facteurs positifs, on remplace un des facteurs par un nombre plus grand, on ne peut qu'augmenter le produit.

Ces simples remarques nous fournissent un moyen simple d'évaluer des limites des erreurs que l'on commet en procédant comme on vient de l'expliquer.

Si, par exemple, on revient au polynôme

3 — ix-h ix* — 5x^-hT^,

cl si l'on désigne par x' la valeur absolue de Xj supposée inférieure à I, on voit que les erreurs que l'on commet quand on substitue au polynôme les expressions approchées 3, 3 — 2jr, 3 — 9lX-\-^x^^ à savoir les valeurs des polynômes ' *

— IX -h 4^* — 5a7'-H a?*= x{ — 2 — ^x — 5a?* H- a?'),

4 ar' — 5 r' -h ar* = a?* ( 4 — 5 ar -H ar* ),

— 5a;'-t-a:*= a7»( — 5-+-ar),

sont respectivement moindres, en valeur absolue, que

ar'('2 -i-4 -t- 5-Hi)= 12a?'.

a:'*(4 -4- 5 -h I) = loar'*, a7'«(5-+-i) =6a:'»,

et par conséquent, si x* est moindre que 0,01, respectivemenl moindres que

0,12, 0,001, OjOOOOOC.

Si l'on prenait le mètre pour unité de longueur, et si l'on voulait construire, sur une feuille de papier à dessin, la partie de la courbe définie par l'équation

y •= 3 — aar-H \x^ — jarî-Hx*

qui correspond aux valeurs de x comprises entre — 0,01 et 0,01, celte partie de courbe différerait peu de la droite dont l'équalion e>l

yr=zZ — ix,

POLIISOIIES. 7 1

et ne pourrait pas se distinguer de la parabole dont l'équation est

31. Les propriétés des polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x vont toutes se déduire du théorème suivant :

Si un polynôme en x ne contient pas de terme constant y ce polynôme, qui s' annule pourx = Of reste aussi petit qu'on veut, en valeur absolue, pourvu que x soit sujffîsamment petit en valeur absolue. En d'autres termes, un tel polynôme est infiniment petit avec X.

Quand il ne contient pas de terme constant, un polynôme est nul pour x=:o; réciproquement, pour que la valeur d'un polynôme réduit soit nulle pour x = o, il faut évidemment que le terme constant soit nul; tel est, par exemple, le polynôme, ordonné suivant les puissances croissantes de x,

2ar3 — x^-h 3.r» — ix*.

Si Ton désigne par x' la valeur absolue de x^ la valeur absolue du polynôme ne peut dépasser

2x'^-hx'^-h 3rF'»-t- 4x'« = a?'3(2-H a:'-T- 3ar'«-+- 4-^''),

ni a fortiori

(2 -t- I -H 3 -h 4)a?'3 = ioa:'3,

si x^ est moindre que i .

Si j:/ est très petit, il en sera de même de lox'*, a fortiori de la valeur absolue du polynôme; quand x reste voisin de o, la valeur du polynôme reste elle-même voisine de o; d'une façon précise :

Si Von considère un polynôme en x, sans terme constant ^ et si Von se donne un nombre positif ol^ aussi petit qu'on le veut, on peut fixer un nombre positif p, tel que le polynôme reste, en valeur absolue, moindre que ol, pourvu que x soit moindre que j^ en valeur absolue.

Pour que le précédent polynôme, par exemple, reste moindre que 0,01, en valeur absolue, il suffira de supposer x'<; o,i.

Si un poljnome en x contient un terme constant, sa valeur, pour ^ =r G, est celle de ce terme constant : je vais montrer que, si x reste voisin de o, la valeur du polynôme reste voisine de celle de ce terme constant.

Considérons, par exemple, le polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x^

sa valeur, pour a? = o, est — 5 ; sa valeur, pour n'importe quelle valeur x^ de J7, s'obtient en faisant la somme de — 5 et de la valeur, pourj7 = a7o, du polynôme ix^ — ic*H-3j:* — 4^*? qui ne contient pas de terme constant; cette dernière valeur sera voisine de o, si jr est voisin de o. La différence entre la valeur du polynôme proposé et la valeur — 5 qu'il prend pour :r = o reste, en valeur absolue, aussi petite qu'on le veut, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. En d'autres termes, qui s'appliquent d'ailleurs, soit que le polynôme comporte un terme constant, soit qu'il n'en comporte pas :

Si Von se (/onne un nombre positif a, on peut lui faire correspondre un nombre positif p tel que la différence entre les valeurs que le polynôme prend pour x = o et pour x = Xo soit moindre que a en valeur absolue, pourvu que Xo soit lui-même moindre que ji en valeur absolue.

C'est ce que l'on exprime d'une façon abrégée en disant que tout polynôme en x est une fonction continue de x, pour ^ = o.

Un polynôme en x, qui contient un terme constant^ ne s^ annule pas pour les valeurs de x suffisamment voisines de o; pour ces mêmes valeurs, il est de même signe que son premier terme.

Il suffira de prendre, dans l'exemple précédent, a inférieur à la valeur absolue 5 du terme constant, et de déterminer p de façon que la valeur absolue du polynôme 2X^ — x^+3x^ — 4^* soit moindre que a ; on sera certain que, si x est moindre en valeur absolue que ^y le polynôme

— 5 -t- 2a:3 — jr^-f- 3ar*— ^a;6

ne sera jamais nul, et qu'il sera toujours du signe de — 5.

POLYNOMES. 73

C'est ce qui arrivera, par exemple, si Ton prend a = 4, P = o,7<V^.

Pour les valeurs de X y autres que o, mais suffisamment voisines de o, un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de X et ne contenant pas de terme constant ne s'annule pas et est du même signe que son premier terme.

Considérons, par exemple, le polynôme

Sa valeur est égale au produit de x^ par celle du polynôme

1 — 4-ï^H- 5ar';

celle-ci, pourvu que x ne soit pas nul et soit moindre, en valeur absolue, qu'un nombre positif convenablement choisi, est différente de o et du même signe que 2; son produit par x^ sera donc, dans les mêmes conditions, du même signe que ax', et ne s'annulera que pour ;r = o.

L.e polynôme 2a:' — 4^*+ 5 a:' est nul pour x = o, positif pour a: un peu plus grand que o, négatif pour x un peu plus petit que o, de même que 2^'; les valeurs qu'il prend pour des valeurs de x un peu plus grandes ou un peu plus petites que o sont respectivement plus grandes ou plus petites que celles qu'il prend pour x = o. C'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme est, pour a? == o, une fonction croissante de x (n" 29).

Soit, en général, ax'^ le premier terme d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x^ dans lequel ne figure pas de terme constant. Pour ^ = 0, le polynôme sera nul, comme ax^] pour X voisin de o, le polynôme sera du même signe que ax"*^ : le polynôme sera, comme «.r"*, plus grand ou plus petit que la valeur qu'il prend pour x=^o\ le polynôme, au point de vue de la variation, se comporte, pour j? = o, comme son premier terme ao:'". Si m est impair, il sera croissant ou décroissant, suivant que a sera positif ou négatif. Si m est pair, le polynôme, suivant que a sera positif ou négatif, passera, pour j; = o, par un minimum ou un maximum, c'està-dire qu'il sera, pour les valeurs de x voisines de o, positives ou né-

74 CIIAPITIIK II.

gatives, plus grand que pour x = o^ dans le premier cas, plus petit que pour or = o, dans le second cas.

Si le polynôme contient un terme constant, ce terme constant n'influe pas sur le sens de la variation : on n'en tiendra pas compte, et l'on regardera seulement le terme ax'^j du plus bas degré, en dehors du terme constant. Pour :r = o, le polynôme sera croissant ou décroissant, présentera un minimum ou un maximum, dans les mêmes conditions que ax"^. Seulement, sa valeur, pour x = o, sera le terme constant, au lieu d'être o, comme dans le cas précédent.

Considérons, par exemple, le polynôme

2 — 7.x -\- 4^* — 5ar5-+-a?* et la courbe définie par l'équation

ou plutôt la portion de cette courbe qui correspond à des valeurs de jr voisines de o.

Fie. 13.

Pour X = o, ^ est égal à 3 ; 3 est l'ordonnée du point A de la courbe situé sur J'axe des y, pour avoir les ordonnées des autre> points il faut ajouter à 3 la valeur de — ix -^ /\x^ — 5 jc' 4- x* ; pour les valeurs de x voisines de o, la valeur de ce polynôme est positive si x est négatif, négative si x est positif; la valeur de y est d'abord

POLYNOMES. 75

an peu plus grande que 3, puis un peu plus petite; à gauche de l^axe des j^ la courbe est au-dessus de la droite A.V; à droite, elle est au-dessous : pour x = o, le polynôme est décroissant. Considérons la droite dont Téquation est y = 3 — 2X, droite que le lecteur sait tracer; pour les valeurs de x voisines de o, l'ordonnée de cette droite diflere peu de celle de la courbe; à un point M' de la droite correspond un point M de la courbe, de même abscisse x ; on obtient Fordonnée de ce point M en ajoutant à l'ordonnée 3 — %x du point M' la valeur du polynôme 4^* — 5x'-|- x* : cette valeur est l'équivalent algébrique du vecteur M'M, en prenant pour direction positive, sur les parallèles à l'axe des y, la même direction que sur cet axe.

Le polynôme \x^ — 5x^*4-^* est positif, quand x est voisin de o : la courbe est au-dessus de la droite AB, de part et d'autre de A. Cette droite est tangente à la courbe, au sens que les anciens donnaient à ce mot; elle lui est encore tangente, dans le sens des modernes; en effet, la pente de la droite qui joint au point A, dont les coordonnées sont o et 3, le point de la courbe dont les coordonnées sont x et

3 — 2X-+- 4^' — 5ar'-4- a"*, est (n« 28)

^ = — 2-+- 4^-+- 5a:*-+-ar';

cette pente diflere aussi peu qu'on le veut de la pente de la droite AB, qui est égale à — 2, pourvu que x soit suffisamment voisin de o. C'est ce qu'on exprime en disant que la droite AB est la limite d'une sécante qui joint le point A à un point voisin de la courbe, quand ce point se rapproche du point A, ou encore en disant que la droite AB est tangente en A à la courbe.

Je n'ai pas tracé, pour ne pas compliquer la figure, la parabole dont Téquationest j^ = 3 — ix •\- 4^*> qui, pour les valeurs de x voisines de 0, semblerait presque se confondre avec la courbe, et qui est, elle aussi, tangente à la droite AB, en A ; pour une même valeur de x I ordonnée de la courbe s'obtient en ajoutant à l'ordonnée de la parabole la valeur du polynôme — 5j?'-|-^*, qui, pour les valeurs de x voisines de o, est positive si x est négalif, négative si x est positif. A droite de l'axe des y, la courbe est au-dessus de la parabole, à gauche elle est au-dessous : les deux courbes se traversent au point A, où elles sont tangentes.

La signification des expressions approchées que l'on peut substituer au polynôme apparaît clairement.

Dans le polynôme qu'on vient d'étudier, il y avait un terme du premier degré. Les choses se passeraient un peu différemment si ce terme n'existait pas, et suivant que le premier terme qui ne manquerait pas serait de degré pair ou de degré impair. Je me contente d'indiquer les résultats sur un exemple.

Si l'on considère le polynôme 2 -f- 4^^ — 5j:'-f- j:*, ou la courbe définie par l'équation

on voit que, pour a: = o, le polynôme passe par un minimum, dont la valeur est 2 ; la tangente en A à la courbe est parallèle à l'axe des j;

Fig. i3.

la courbe est, dans le voisinage du point A, au-dessus de sa tangente; la parabole dont l'équation est^^ =z= 2 -h 4^* a ^^^ figurée en ponctué; elle traverse la courbe en A tout en lui étant tangente.

Enfin, si l'on considérait le polynôme 2 — 5^'-hx* ou la courbe définie par l'équation

on voit encore que le polynôme est décroissant pour x = o; la tangente à la courbe au point A, dont les coordonnées sont o et 3, esl encore parallèle à l'axe des x; la courbe est au-dessus de la tangente à droite de l'axe des y, elle est au-dessous, à gauche. Elle serait au-

POLYNOMES.

dessus de la courbe, facile à tracer, dont l'équation est

Le point A est un point d'inflexion des deux courbes.

Fig. 14.

Si l'on considère, d'une façon générale, le polynôme AoH- A|a7-h Ajir'-+- Asar^-^.. .,

dans lequel on admet que certains des coefficients Aq, A|, •.. puissent être nuls; la valeur du polynôme, pour x = o, est Ao ; elle est voisine de A©, pour les valeurs de x voisines de o.

Pour ces valeurs le signe du polynôme est le même que celui du premier des termes A©, AiX, Aj^c*, . . ., dont le coefficient n'est pas nul. Le sens de la variation du polynôme pour x = o est donné par le premier de ces termes, autres que Ao, dont le coefficient n'est pas nul. Si le premier de ces termes est de degré impair, le polynôme, pour j? = o, est croissant ou décroissant, suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif; si le premier de ces termes est de degré pair, le polynôme, pour j: = o, passe par un minimum ou un maximum suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif.

Les expressions

Ao, Ao-+-Aia?, Ao+ AiXH- Ato:', ...

sont des expressions approchées du polynôme, pour les valeurs de x voisines de o ; on sait calculer une limite de l'erreur que l'on commet

quand on substitue à la valeur du polynôme Tune de ces expressions approchées.

L'équation

^= Ao-+- A,a?

est Féquation de la tangente à la courbe définie par l'équation

jr = Ao -+- Al a: -h Ajx* -h . . . ,

au point de cette courbe qui est sur l'axe des y. Cette courbe est, dans le voisinage du point de contact, d'un même côté par rapport à sa tangente, si le premier des termes K^x"^^ K^x^^ K^x^^ . . ., dont le coefficient n'est pas nul, est de degré pair; au-dessus, ou au-dessous, suivant que ce coefficient est positif ou négatif. Elle traverse sa tangente, le point de contact est un point d'inflexion, si le premier terme dont le coefficient n'est pas nul est de degré impair.

32. Il nous sera très utile plus tard d'avoir observé que ces propositions s'étendent à des expressions qui ne sont pas des polynômes, mais qui peuvent être mises sous une forme analogue à celle que nou» venons de considérer.

Reprenons l'expression

Ao-^ Ai^: -h Aja:»-+-. . .-4- Kn-\X^~^-^ ^n^^y

qui nous a servi jusqu'ici à représenter un polynôme. Je suppose que toutes les quantités Ao, A| soient des constantes, sauf la dernière A»: quant à cette dernière, qui peut maintenant dépendre de x, je fais seulement sur elle Thypothèse suivante : en désignant par a un nombre positif plus petit que i, convenablement choisi, A;, reste, en valeur absolue, moindre qu'un certain nombre positif fixe B, pourvu que X soit lui-même moindre que a, en valeur absolue. Telle serait, par exemple, l'expression

3 — 'IX -\- ^x^ — 5 a?' H- a:* sina:,

puisque la valeur absolue de sinar est, au plus, égale à i .

Alors toutes les conclusions précédentes subsistent : en effet, si l'on désigne par xf la valeur absolue de x et par A^, A',, ..., A^, les valeurs absolues des coefficients constants A©, A|, . . ., A«|, il est ,

POLYNOMES. 79

clair que, si l'on suppose x' plus petit que a, la valeur absolue de l'expression

Ao-+- A|ar H-., .-h \n-\T"-^-h A^a-'»

sera moindre que S en désignant maintenant par S la somme des nombres A^, A',, ..., A^^^ et B. C'est une remarque de cette nature qui a été notre point de départ; toutes les démonstrations peuvent être reprises sans changement, et les conclusions sont les mêmes.

Le lecteur n'aura, par exemple, aucune peine à prouver que, si l'on suppose o/^T» l'expression — 2 -f- 4^ -I- 5a:^4- J:^' sinx ne peut s'annuler et est du même signe que — 2 ; dans les mêmes conditions, l'eipression — 2X -h 4^^ — 5 J?' -+- x^ sinx ne s'annule pas, sauf pour x = o; elle est du même signe que — 2X] si l'on regarde — 2X comme une expression approchée, l'erreur commise en la substituant à — 2a:-4-4^^ — 5:r*-|-ar* sina? sera moindre, en valeur absolue, quex'2(4 + 5 -j-i) = iox'2.

On voit se reproduire toutes les circonstances des démonstrations précédentes, et je crois inutile d'insister davantage, pour montrer que les conclusions relatives à la continuité, à la croissance ou à la décroissance pour x = o, au signe pour les valeurs de x voisines de o subsistent : les mots continuité, croissance, décroissance doivent être entendus dans le même sens qu'on leur a attribué quand il s'agissait des polynômes.

Il con\ient toutefois de remarquer que les conclusions relatives au signe ou à la variation de l'expression considérée n'offrent d'intérêt que si, dans cette expression, le terme qui détermine soit le signe, soit le sens de la variation, n'est pas le dernier terme AnX"j dont on sait seulement que le coefficient A„ reste compris entre certaines limites quand x est suffisamment petit, mais bien un des termes précédents, à coefficient différent de o.

§ 3. — POLYNOMES IDENTIQUES.

33. Un polynôme réduit, à une variable, ne peut être nul pour toutes les valeurs de la variable que si tous les confidents sont nuls : on dit alors que le polynôme est identiquement nul.

Cette proposition résulte immédiatement de ce qui précède.

8o CHAPITRE II.

Deux polynômes en x, réduits^ ne peus?ent prendre des valeurs égales, quelle que soit la valeur de x^ sans être composés exactement des mêmes termes.

En effet, la différence des valeurs de ces deux polynômes est la valeur d'un polynôme dont les coefficients sont les différences des coefficients respectifs des polynômes proposés : ces différences doivent être nulles d'après la proposition précédente (*).

Ces propositions, qui sont capitales, s'étendent de suite aux polynômes à deux, trois, . . . variables.

Par exemple, un polynôme réduit à deux variables x, y ne peut être nul pour tous les systèmes de valeurs attribuées à la variable sans que tous ses coefficients soient nuls.

Un polynôme en x, y, en effet, peut être ordonné suivant les puissances d'une des variables, dey par exemple ; en réunissant ensemble tous les termes qui contiennent y au même degré et en mettant en facteur la puissance de y qui figure dans tous ces termes, on parviendra à une expression de la forme

Po-+- Pir -+- Pîr*-+-. • •-+- P«r"i

(^) Les propositions et leurs démonstralions subsistent pour ces sortes de polynômes que Ton a considérés dans le numéro précédent : Une expression de la forme

Ao-f- X^x -h Ajd?' -h. . -H- K^yX'*-^-\- A^a:%

où Aq) Ap ...., A„i sont des constantes et où Ton sait que A„, qui peut d^aillean dépendre de x^ reste compris entre deux nombres fixes, quand x reste compris entre — a et 4- a, ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x comprises cnlrc —a et -4- a que si les coefficients constants \, A,, ..., A^, sont nuls et si A. est nul pour toutes ces valeurs de x.

Deux expressions de la forme

Ao-+- AiX -f- Ajj7--<-.. .+ A^i;r'^-'-f- A^a?*, B„4- Bjo: -+- B^x' -h. . .-h B„,a7'-»-h B^a:»,

où les coefficients Ao, A,, ..., A^j , B^, B,, ..., B„j sont constants, et où l'on sait que les quantités A„, B^, qui peuvent dépendre de x^ sont comprises entre des nombres fixes quand x reste compris entre — a et -+- a, ne peuvent être égale» pour toutes ces valeurs de x que si l'on a Ao = B,, A, = B,, ..., A^, = B^,, et si, co outre, A„ et B^ ont toujours des valeurs égales. Il convient toutefois d'observer que cette dernière proposition suppose que le nombre naturel n est le même dans les deux expressions. Il est aisé de s'arranger pour qu'il en soit ainsi, en mettant dans les derniers termes de l'une des expressions une puissance convenable de x en facteur.

POLYNOUES. 8 1

OÙ Po, P|, Po, . . ., P// sont des polynômes en x^ dont les coefficients sont manifestement les coefficients du polynôme proposé en x, y. Supposons que ce dernier polynôme soit nul quelles que soient les valeurs attribuées à x^ y. Si l'on attribue à x une valeur numérique x% les polynômes (en x) Pq, P|, ..., P/i prendront des valeurs numériques P^, P,, ..., P^j et l'expression précédente deviendra un polynôme à une variable y

Pi -+- p; J' -^ Pij»-^. . .4- p;^«.

La valeur de ce polynôme en y doit être nulle pour une valeur quelconque^ à^y^ puisqu'elle est évidemment la même que celle du polynôme proposé (enx,y) pour x =: x' ^ ^=^; il faut donc que roQaitP^ = o, P'j = o, ..., P^=o, c'est-à-dire que chacun des polynômes (en x) Po, P|, ..., Prt doit s'annuler quand on remplace x par un nombre quelconque x' ^ c'est-à-dire encore que chacun de ces polynômes est identiquement nul : tous les coefficients du polynôme proposé (en x^y) sont nuls.

Du cas de deux variables on passe au cas de trois variables, puis de quatre, etc Le théorème est général.

On en déduit que deux polynômes réduits, à n variables, ne peuvent prendre la même valeur pour tout système de valeurs de ces variables sans être identiques terme à terme.

34. La portée de cette proposition est considérable ; elle éclaire tout d'un coup les opérations de l'addition, de la soustmction, de la multiplication des polynômes, en montrant que ces opérations jouissent de propriétés que l'on a établies pour les nombres :

En parlant du polynôme qui est la somme, la différence, le produit de deux polynômes donnés, j'entendrai toujours parler du polynôme réduit que l'on sait former par les éléments de l'Algèbre et dont la valeur est égale, comme on sait, à la somme, à la différence, ou au produit des valeurs des polynômes proposés, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables ; d'après ce qu'on vient de dire, il n'y a qu'un seul polynôme qui puisse avoir cette propriété; tous les autres lui sont identiques terme à terme. Je me borne à énoncer les propositions suivantes, en me contentant de donner quelques explications sur la dernière, afin de bien fixer le sens qu'il faut leur attribuer à toutes.

Plusieurs polynômes étant donnés, on peut les ajouter dans Tordre qu'on voudra, on retombera toujours sur le même polynôme (réduit).

Dans une somme de plusieurs polynômes, on peut remplacer tels polynômes que Ton veut par leur somme effectuée.

On peut multiplier plusieurs polynômes dans Tordre que l'on veut ; le polynôme produit, après qu'on Ta réduit, est toujours le mt^nie.

Dans un produit de polynômes, on peut remplacer tels facteurs (polynômes) que Ton veut par leur produit effectué ; le produit final est toujours le même polynôme.

Le produit de plusieurs polynômes ne peut être identiquement nul que si Tun des facteurs est identiquement nul (*).

Pour multiplier la somme de deux polynômes P, Q par un polynôme R, on peut multiplier par R chacun des polynômes P, Q el ajouter les deux produits.

Ce dernier théorème s'exprime par l'identité

(P-^Q)R= PR-hyR.

Dans le premier membre, P -f- Q représente le polynôme obtenu en ajoutant, d'après la règle élémentaire, les polynômes P, Q; (P-+-Q)R représente le polynôme (réduit) obtenu en multipliant, d'après la règle élémentaire, le polynôme P 4- Q par le polynôme R; dans le second membre PR, QR représentent de même les polynômes obtenus en multipliant le polynôme P par le polynôme R, le polynôme Q par le polynôme R; PR -f- QR représente le polynôme (réduit) obtenu en ajoutant les deux polynômes PR, QR ; en disant que l'égalité écrite est une identité, on entend que le polynôme (réduit i (P 4- Q)R est le même polynôme que le polynôme (réduit) PR -f- QR.

Qu'il en soit ainsi, c'est ce qui résulte évidemment de la proposition précédente ; en effet, si l'on attribue aux variables des valeurs numériques quelconques, les polynômes P, Q, R prennent des valeurs numériques P', Q', R' et le nombre ( P'-l- Q')R' est ceruinenement égal au nombre P'R'-j- Q'R'. Cela revient à dire quelesdeui

(*) Je rappelle à ce propos que, lorsqu'on fait le produit de deux ou plasieors polynômes en j?, le terme du plus bas degré s'obtient en faisant le produit des termes du plus bas degré dans les différents facteurs; le terme du plus haut degré s'obtient de même en faisant le produit des termes du plus haut degré dans les différents facteurs.

POLYNOUES. 83

polynômes (P-h Q)R et PR H- QR prennent les mêmes valeurs numériques pour un système quelconque de valeurs numériques attribuées aux variables ; les deux polynômes, lorsqu'ils sont réduits, sont donc identiques terme à terme.

Il est à peine utile d'appeler l'attention du lecteur sur les conséquences de ce dernier théorème : si dans une somme de produits de polynômes figure, dans chaque terme de la somme, un même polynôme, on peut le mettre en facteur; pour multiplier une somme de polynômes par une somme de polynômes, on peut multiplier chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde et ajouter les produits partiels ; le polynôme ainsi obtenu est le méuïc que celui qu'on aurait obtenu en efl'ectuant la première somme, puis la seconde et en multipliant les résultats.

Si, en multipliant les deux polynômes A, B par le polynôme C, non identiquenient nul, on trouve le uïéme produit, c'est que les deux polynômes A, B étaient identiques ; en eiFel, le polynôme AC — BC étant, par hypothèse, identiquement nul, il en est de même du produit (A — B)C, qui lui est identique; si donc le polynôme C n'est pas identiquement nul, c'est que la diflerence A — B est identiquement nulle, ou que le polynôme A est identique au polynôme B.

§ 4. — ÉTUDE D'UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE x VOISINES DE a.

3o. Après cette digression, arrivons à l'étude des valeurs d'un

polynôme en x^ pour les valeurs de x voisines d'un nombre donné a.

Soit

fix) = Ao-h Ai^r -f- Ajar*-+-. ..-h A„a?»

le polynôme proposé, ordonné suivant les puissances croissantes de x] je suppose qu'il soit de degré /i, c'est-à-dire que le dernier coefficient A„ ne soit pas nul. Quelques-uns des autres coefficients Ao, A|, ..., A«| peuvent d'ailleurs être nuls.

Pour ramener l'étude qu'on veut faire au cas, déjà traité, où la variable reste voisine de o, il suffit de poser j: = a 4- A, en regardant h comme une variable qui restera voisine de o ; la valeur de a H- A, ou de X, restera voisine de a. Le polynôme proposé deviendra alors

/(a -H /*) = Ao-h A|(a-h A)4- A, (a h- A )«-+-... -h A„( a -i- A)».

On sait, par de simples additions et multiplications de polynômes, développer le second membre et l'ordonner suivant les puissances ascendantes de A, de manière à le mettre sous la forme

Bo-+-Bi/i-+-Bj /!«-+-....

Relativement à ce développement, je ferai d'abord quelques remarques, qui concernent surtout les deux premiers coefficients el le dernier.

Lorsque, en désignant par r un nombre naturel quelconque, on développe (a 4- liy et qu'on l'ordonne suivant les puissances ascendantes de A, c'est-à-dire lorsqu'on effectue le produit de /'polynômes égaux à a 4- /i, le premier terme (le terme de moindre degré) est égal à a'*, le terme du plus haut degré est A'*, puisque ces termes s'obtiennent respectivement en multipliant les termes du plus bas degn-, ou du plus haut degré dans les /• facteurs ; il est aisé d'avoir aussi le terme du premier degré en h : il est 2 «A, ia^li^ ^a^h^ ... dans les développements de (a -+- A)^, (a -+- A)', (a -h A)*, ... ; il est ra''~*h dans le développement de (a-f- A)'*; si l'on admet, en effet, que la proposition soit vraie pour le nombre r, on aura

(a -h hy= a''-¥- ra'-^h -»-...,

les termes non écrits au seconcl membre contenant A*, A', ... ; si Ton multiplie les deux membres par a -h A, les termes non écrits dans le second membre ne fourniront pas de termes du premier degré en A. Le terme du premier degré en A, dans le développement de (a -h A)'^* proviendra exclusivement du produit de a'*-f- ra'"* h par a -h A (*); il est (r -i- i)rt'*A ; la loi se continue donc.

11 résulte des remarques précédentes que, si l'on ordonne le poly-

(•) II y a là une remarque générale qu'il est bon de faire: Lorsqu'on a à effectuer le produit de deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances ascendantes de x»

ao-+- a, ^ -h a, a:' -h...,

et qu'on ne veut conserver au produit que les termes de degré m ou de degré inférieur, on pourra, dans les deux facteurs, effacer les termes de degré supérieur i m,. faire ensuite le produit, en supprimant, dans ce produit, les termes qui sontdedcffé supérieur à m.

POLYNOMBS. 85

nome

/(«-+- A) = Ao -h Al (an- /i) -4- A, (a 4- A)«-+-. . .-4- Art(a -+- A)»

suivant les puissances ascendantes de A, on tombera sur un polynôme de la forme

(I) /(a4-A)= Bo-4-B,A-+-B,/t*4-...-t-B«A«,

où B« est égal à A„, puisque A„{a -j- hy* est le seul terme qui fournisse un terme en A", et où Ton a

Bo=AoH- Aian- Ata'-+-. ..-4- A„a«, B|= Ai-haA^aH- SAaa*-^-. . .-+- nXna^"^;

quant aux autres coefficients, on donnera, un peu plus tard, une règle simple pour les calculer.

Dans le développement de /(«-h A)? ordonné suivant les puissances croissantes de A, le terme constant B^ est /(a) ; il s'obtient en remplaçant x par a dans le polynôme proposé /(x) : ce résultat est d'ailleurs évident sur l'identité (i) elle-même ; il suffit, pour l'obtenir, (le faire A = o dans cette identité.

Le coefficient B| de A, dont on verra bientôt toute l'importance, s'obtient en remplaçant x par a dans le polynôme

/'(x) = A|-4- 2\tx-h 3AiX^-h. . .-h nA/ia:'»-*,

qu'on appelle la dérivée (*) du polynôme /(j:), ou le polynôme dérivé de f{x)y et qui se déduit de ce dernier polynôme par la règle suivante :

On supprime le terme constant dans le polynôme proposé ; on multiplie chaque coefficient par l'exposant de x dans le terme correspondant (^). On diminue enfin cet exposant d'une unité.

Au lieu de dire que/(a-l- A) se met sous la forme (i), il revient au même, en remettant x — a à la place de A, de dire que le poly-

(') La notion de dérivée a été déjà introduite dans les éléments, à un autre point àt Tue auquel je reviendrai plus tard. On verra, lorsqu'il sera question de polynômes à variables imaginaires, l'intérêt de la définition actuelle.

(') Cette dernière règle, appliquée au terme A^ ou A,^, conduirait à supprimer ce terme, comme ou doit le faire efTectivcment.

nome/(^) peut se mettre sous la forme

(2) /(a-) = Bo-+-B,(j' — a)-HBî(ar — a)»-+-...-+-B„(a? — a)«.

C'est ce qu'on appelle ordonner le polynôme f(x) suivant le> puissances Ae x — a.

Les coefficients Bo, B|, ..., B,,.! peuvent être nuls, mais non le dernier coefficient B«, qui est égal à A„.

Quand h est voisin de o, la valeur du polynôme (en A), /(a -h A), est voisine de la valeur Bo que prend ce polynôme pour /i = o; le polynôme f{x) est voisin de la valeur Bo = /(a) qu'il prend pour X'=a] la valeur du polynôme reste aussi voisine qu'on veut de Bo pourvu que x reste suffisamment voisin de a; c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme f{x) est une fonction continue (') de X pour x ■= a.

Pour les valeurs de h suffisamment voisines de o, le polynôme /((i-^h) est du signe du premier de ses termes B©, B|A, B2A*, .... dont le coefficient n'est pas nul; pour les valeurs de x suffisamment voisines de a, le polynôme /"(.r) est du signe du premier des termes Bj, B, (x — a), B2 (x — a^j . . . dont le coefficient n'est pas nul.

Laissons, pour le moment, B© de côté. Le premier des coefficients suivants B|, B2, ..., B,,, qui n'est pas nul, joue un rôle important, c'est lui qui fixe en quelque sorte la façon dont le polynôme se comporte, pour les valeurs de x voisines de a. Soit B,. ce coefficient : si r est impair, en sorte que le terme Br A'', ou Br{x — ay soit de degré impair, le polynôme /{x)j lorsque Br est positif, est plus grand pour X = a que pour les valeurs de x un peu plus petites que a, plus petit que pour les valeurs de x un peu plus grandes que a : le polvnomey(j7) est alors croissant pour x z=z a; quand, au contraire, B^ est négatif, le polynôme y*(^) est décroissant pour x = a.

Si r est pair, en sorte que Br A'* ou Br{x — ay soit de degré pair, le polynôme /{x) est plus petit, ou plus grand, pour x = f[^ que pour les valeurs voisines, suivant que B^ est positif ou négatif; suivant

( ') Pour peu qu'il veuille y réfléchir, le lecteur rec«nnaitra que cette continuité est admise implicitement quand on admet que l'équation y = f{x) peut être représentée par une courbe. Quand un point décrit une courbe, l'ordonnée varie très peu, lorsqne l'abscisse varie très peu. C'est donc prématurément que j'ai parlé de la courbe qui représente un polynôme.

POLYNOMES. 87

les cas, le poljnoiney(x) passe, pour a: = a, par un minimum ou un maximum.

Les expressions

Bo, Bo-+-B,(ar — a), Bo-4- Bi(ar — a) -4- BsCar — a)«, ...

fournissent des expressions approchées de la valeur du polynôme f{x) pour les valeurs de x voisines de a; on sait calculer une limite de Terreur commise en substituant au polynôme Tune de ces expressions : par exemple, si l'on choisit la dernière, et si l'on suppose que la valeur absolue Ae x — a soit inférieure à i, Terreur commise sera moindre en valeur absolue que S(j: — a)*^, en désignant par S la somme des valeurs absolues des coefficients B3, B4, . . ., B„.

Pour les valeurs de x voisines de a, la courbe dont l'équation ^^iy=f(^x) se rapproche de la droite dont l'équation est

y = Bo4-B,(ar — a)\

quand B2 n'est pas nul, suivant que Bj est positif pu négatif, la courbe est au-dessus ou au-dessous de cette droite, qu'elle affleure au point dont les coordonnées sont ^ = a, ^ = Bq =/(«) ; si B2 est nul sans que Bj le soit, la courbe traverse la droite au même point.

Dans tous les cas, la droite est tangente à la courbe : en effet, la pente de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont respectivement a et /(a) = Bo, a-j- A et/( a+ A) = Bo-|-B, A -H... est (n« 28)

et cette dernière quantité est aussi voisine de B| qu'on le veut, pourvu que h soit suffisamment petit; en d'autres termes, B, est la limite de la pente d'une sécante joignant les deux points, quand le second se rapproche du premier. C'est la pente de la tangente (') au point dont les coordonnées sont a et y(6f) = Bo; Téquation de celte tangente est

(*) Par définition, la pente d'une courbe en un point de cette courbe est la pente de la tangente en ce point : on peut donc dire que la pente de la courbe défînie par réqoation y — f{x)y au point de cette courbe dont les coordonnées sont o. tl f{a)j est

B,= A, -h 2Aja -^ SAja'-t-.-.-f- nS„a'*-K

88 CIUPITBE II.

bien j' — Bo= B< {x — a) (n" 28). Ce résultat subsiste, ainsi que la démonstration, lors même que l'un ou l'autre des coefficients Bo, B, est nul. S'ils sont nuls tous deux, l'axe des x est la tangente à la courbe. Pour les valeurs de x voisines de a, la parabole dont l'équation esi

y = Bo-h Bi{x — a) -h 3,(3- — a)»

est très voisine de la courbe dont l'équation est j^ =f(^x)y etc. Si, par exemple, le lecteur veut étudier le polynôme

/(x) ~ 3 — iLX-\- 4X^— 5x^-h x'*,

pour les valeurs de x voisines de i, il trouvera, en effectuant le^ calculs,

/(i -f- A) = I — 5A -^ 5A»— A'H- AS

/(a?) = I — 5(a: — I) — 5(^ — !)«— (ar — 1)'-^- (ar — !)♦.

Pour X = ij le polynôme prend la valeur i ; pour cette valeur il est décroissant; au point dont les coordonnées sont x = i , y = i ,\a tangente à la courbe définie par l'équation

y = 3 — 2a?-h4^' — 5ar*-i-x* = i — 5(x — i) — ... a elle-même pour équation jk = i — o{x — i).

36. Il importe de se rappeler le rôle du coefficient B| dont la valeur s'obtient en remplaçant x par a dans la dérivée f'{x) du polynôme /(j:) :

La pente de la tangente en un point de la courbe définie par Inéquation y =f(^x), dont l'abscisse est a, s'obtient en remplaçant X para dans la dérivée f {x) du polynôme /(x).

Lorsque le résultat /' (a) de cette substitution n'est pas nul^ le polynôme f{x) est croissant ou décroissant pour x = a suivant que f\a) est positif ou négatif.

37. Le cas particulier où le polynôme f{x) s'annule pour j: = a mérite qu'on s'y arrête; on dit alors que a est une racine du polynôme f{x); Bo est alors nul, et il peut se faire que plusieurs des coefficients suivants B|, B2, . . ., B(x i soient nuls; je suppose que B» soit différent de o. (On sait que tous les coefficients ne peuvent être

POLYNOMES. 89

nuls.) On a alors

/(a-i-A) = BaiA«-+-Ba-HiA«^»-^...-+-B«^« = A«rBa-+-Ba+iA-t-...-+-B„A«-«),

f{x) = (ar — «)«[ Ba-h B,^, (ar - a) -+-...-+- B„(ar — a)«-»] = (x - «)« ^(a:),

en posant

g{x) = Ba-h B«+,(x — a) 4-. . .-+- B„(ar — a)'*-« ;

le polynôme (en A)

^(a-+-A) = Ba-hBa+iA4-...-+-B„A«-a

ne s^annule ni pour A = o, ni pour les valeurs de h voisines de o ; le polj-nome g{x) ne s'annule ni pour j: = a, ni pour les valeurs de x voisines de a.

Dans ces conditions, on dit que a est une racine d'ordre de multiplicité a du polynôme f{x). Si a est égal à i , la racine a est dite simple. Si a est plus grand que i , la racine a est dite multiple : elle est double, triple, quadruple, ..., si a est égal à a, 3, 4» •••; c'est par un abus de langage, quand la racine est simple, que l'on dit que son ordre de multiplicité est i .

Un polynôme en x étant donné, on appelle racine de ce polynôme toute valeur de x pour laquelle il s^ annule; si a est une racine^ en remplaçant x par a-h h dans le polynôme, en ordonnant ensuite sui\?ant les puissances croissantes de A, on obtient un polynôme en A, sans terme constant : le degré du premier terme de ce polynôme est, par définition, l'ordre de multiplicité de la racine a.

Le polynôme 2j:'4-5j?^ — ^x — 1, par exemple, s'annule pour -2^=1. 1 est une racine; en remplaçant x par 1-I-/1, le polynôme devient A'-f-aA'. i est une racine d'ordre de multiplicité 2, ou, si Ton veut, une racine double.

Lorsqu'un polynôme, ordonné par rapport aux puissances croisantes de JT, ne contient pas de terme constant, o est une racine de ce polynôme. L'ordre de multiplicité de cette racine est le degré du premier terme.

On a vu plus haut que, si a était une racine du polynôme /{x)j

d'ordre de multiplicité a, on pouvait mettrey(:F) sous la forme (*)

f(x) = {x — aYg(x)

g{x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour j? = a, et que l'on a d'ailleurs appris à former.

Inversement cette forme même caractérise une racine d'ordre a de multiplicité : en d'autres termes, si l'on a réussi, n'importe comment, à mettre le poljnome f{x) sous la forme {x — «)*5'(^)? g{^) ^^"' un polynôme en x qui ne s'annule pas pour a; = a, on peut affirmer que a est une racine dey*(.r), d'ordre a de multiplicité.

En effet, si, dans l'identité /{x) = (x — ^)^ff{^)j ^^ remplacer par a + /j, elle devient

/(aH-/0 = /t«^(a-T-A);

si l'on développe le polynôme g{a 4- h) et qu'on l'ot-donne suivant les puissances croissantes de A, le développement commence par un terme constant, g (et), qui, par hypothèse, n'est pas nul. Le développement de /(a 4- h) commencera donc par le terme h^ g{à)^ qui est de degré a en A.

On peut tirer d'autres conséquences de ce dernier résultat : c'est précisément ce premier terme du développement de f{a-\-h) qui, d'après le numéro précédent, détermine la façon dont varie f{x) pour ;r = a, et la forme de la courbe dont l'équation esty=/(j:) aux environs du point A, d'abscisse «, où cette courbe rencontre l'axe des X. Si a est impair, en particulier si a est racine simple, elle traverse cet axe en montant (lorsque x croît), ou en descendant, suivant que g{a) est positif ou négatif. Si a est pair, la courbe, aux environs du point A, reste au-dessus ou au-dessous de l'axe des x^ suivant que g{a) est positif ou négatif. Si a est plus grand que i, elle esl tangente à l'axe, au point A. Si a est égal à i , si a est racine simple, la pente de la tangente en A, ou de la courbe, est g{a). Tout ceci résulte de la règle générale pour la détermination de la tangente.

38. Décomposition en facteurs d'un polynôme dont on connaît les racines. — Supposons toujours que a soit une racine d'ordre de

(') On entend parla que les deux polynômes /(a:) et {x — «)*^(^) sont identiques.

POLYNOMES. 9(

multiplicité a du poljTiorae

f{x) = Ao-i- A|ar -h A jar* -+-...-+- A/iar",

en sorte que l'on ait, avec les mêmes notations que précédemment,

le polynôme g{x) ne s'annulant pas pour x =^ a\ puisque le produit des termes du plus haut degré dans {x — «)« et dans g{x) doit reproduire A„x", on voit que le terme du plus haut degré dans g{x) est k„x'^~^ et que g(x) est de degré n — a.

Supposons maintenant quey(;r) s'annule pour un nombre 6, autre que a; il faudra que (6 — ^Y g{f>) soit nul et, comme le premier facteur n'est pas nul, que le second g{b) le soit; b est donc racine de^(j7); je dis que b est une racine du même ordre de multiplicité pour g{x) que pour /(x).

Si, en effet, b est d'ordre de multiplicité ^ pour^(:F), c'est que l'on

peut poser

h{x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour x = b; le polynôme /(x) pourra donc se mettre sous la forme

et comme le polynôme entre crochets ne s'annule pas pour x = b^ /> est bien une racine d'ordre de multiplicité j3 pour /{x). Le polynôme h{x) ne s'annule pas non plus pour x := a, sans quoi a serait une racine de g{x); s'il y a un nombre c, différent de a et de 6, qui annule /"(.r), ce nombre est aussi une racine de h{x)^ du même ordre de multiplicité y pour/(x) que pour li{x)^ et l'on peut poser

f{x) = {x — a)^(x — b)^{x — cy k{x),

k{x) étant un polynôme qui ne s'annule pour aucune des trois valeurs rt, A, c de X,

g{x) étant de degré n — a, h{x) est de degré n — a — j3, k{x) de degré n — a — ^ — y; dans chacun de ces polynômes, le terme du plus haut degré en x sl toujours pour coefficient A„.

Il est clair que le raisonnement peut se continuer, et que, si le

polynomey(^) admet les racines distinctes a, t, . .., /avec les ordres de multiplicité respectifs a, p, A et n'en admet pas d'autres, on

aura

<f{x) étant un polynôme de degré n — a — ^ — ... — X qui ne s'annule plus pour aucune valeur de Xj et dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de x est A„ ; si l'on avait

or -4- P-f-...-4-X = /l,

on aurait identiquement

Il est bien clair que a 4- ^ + ... 4- X ne peut dépasser n et que, en particulier, le nombre des racines distinctes d'un polynôme de degré n ne peut dépasser n.

Ceci complète une proposition établie au n" 33; non seulement un polynôme en J7, qui n'est pas identiquement nul, ne peut être nul pour toutes les valeurs de x, mais il ne peut pas avoir plus de racines différentes qu'il y a d'unités dans son degré. Il en résulte que deui polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n ne peuvent pas, sans être identiques, être égaux pour plus de «valeurs distinctes de x, puisque leur différence s'annulerait pour ces valeurs de x.

39. Orandes valeurs de la variable. — Il me reste à dire quelques mots de l'étude des valeurs d'un polynôme pour de très grandes valeurs absolues de la variable.

Pour cette étude, il convient d'ordonner le polynôme par rapport aux puissances descendantes de la variable et. de porter son attention sur les premiers termes, qui importent le plus; si la valeur absolue de la variable est assez grande, chaque terme est plus grand que ceux qui le suivent, et l'erreur relalU'e que l'on commet en ne conservant que les premiers termes est faible.

Si l'on veut avoir par exemple la valeur pour x = 10 000 du polynôme 3^' — ^x^-\-x — I, les erreurs relatives que l'on commettra en calculant, au lieu de la valeur du polynôme proposé, celle des polynômes 3a:*, 3»r' — 2J7^ seront respectivement plus petites que— ^»

r- Ceci va d'ailleurs être précisé.

POLYNOMES. 93

Considérons en général le polynôme, ordonné suivant les puissances décroissantes de x^

fle, ûi, . . . , a,i sont les coefficients : je suppose que le premier «o ne soit pas nul.

La valeur de ce polynôme, pour une valeur quelconque de x^ autre que o, est égale au produit de la valeur de ^" par celle de l'expression

qui peut être regardée comme un polynôme, dont la variable s'appellerait-, ordonné suivant les puissances croissantes de cette variable; quand x est très grand en valeur absolue, — est très petit en valeur

absolue, le lecteur prévoit bien qu'il va être ramené à un cas qu'il connaît déjà.

PosoE

— = z, o(z) = ai^ -h aj3*-4-. . .-h an^";

on aura, pour toutes les valeurs de x autres que o,

/(ar) = ar«[aoH-<p(z)];

le polynôme o{z) s'annule pour x; = o; sa valeur absolue reste aussi petite qu'on veut pourvu que la valeur absolue de z soit assez petite,, que celle de x soit assez grande.

Désignons para:', s', a'^ les valeurs absolues deo;, 5, a^. Donnonsnous un nombre positif e aussi petit qu'on voudra, moindre en particulier que rtp. Supposons qu'on ne considère que des valeurs de x assez grandes absolument pour que la valeur absolue de ^{z) soit moindre que e. Il suffit pour cela que z' soit inférieur à un nombre positif que l'on sait calculer, que x' soit supérieur à l'inverse de ce dernier nombre. Dans ces conditions, la valeur absolue de «©+ çC^) sera évidemment supérieure au nombre positif a'^ — s; ao-\-o{z) ne s'annulera pas et sera toujours du signe de ad le produit ^[ûo4-o(5)] ne s'annulera pas non plus et sera du signe de a^x^^y

la valeur absolue de ce produit est supérieure à (aj, — i)x^" el ce dernier nombre peut évidemment être supposé aussi grand qu\)n veut pourvu que xf soit suffisamment grand.

Pourvu que la valeur absolue de x soit plus grande qu un nombre positif P quon sait calculer, le polynôme /{x) ne s^unnule pas, il est du même signe que son premier terme a^x" ; sa valeur absolue est aussi grande qu'on veut, pourvu que la vuleur absolue de x soit suffisamment grande.

Si Ton considère par exemple le polynôme

f{x) = ix^ — {x'-f- 5x» — 8x -H 2, le polynôme cp(^) sera ici

pourvu que V soit plus petit que i, il est plus petit en valeur absolue que

192'*, que '1 par conséquent, si Ton suppose «'< -y :r'> 4* Si la valeur absolue

de X est plus grande que 4) le polynôme f{x) ne sera jamais nul, il sera «lu signe de son premier terme xx*^ positif si x est positif, négatif dans le cas contraire, plus grand en valeur absolue que

\ i()/ ib

si Ton voulait déterminer un nombre positif B tel que la condition ^' >> B

entraînât \f{x)\ > 1000, il suffirait de prendre B > iV — ^, par exemple

En supposant :r'> 4,2 le polynôme sera plus grand que looosi x est positif, plus petit que — 1000 si x est négatif.

L'erreur commise en remplaçant /(j^; par son premier terme ax» est J7«ç< z \: Teneur relative

x^^(z) ^ ^{z) x*['?.-^oiz)] 2-f-«p(z)

est moindre en valeur absolue que

pourvu que ig-f'* soit plus petit que 2, ce qui arrivera sûrement si z' est plu5 petit que -' Si Ton voulait que cette erreur fût moindre que le nombre pos,i*

POLYNOMES. 9J

tif ■»!, il suffirait de supposer z' plus petit que 7 et que

elle serait, par exemple, moindre que 0,001 si Ton supposait ir'>ioo. Pour en revenir au cas général où l'on a

on voit qu'on aura, comme au n • 31, à distinguer quatre cas suivant que n est impair ou pair et que a© est positif ou négatif.

Lorsque n est impair le polynôme est de signes contraires pour les valeurs positives ou négatives de x assez grandes en valeur absolue. Je me permettrai d'employer les expressions suivantes, suffisamment éclaircies par ce que je viens de dire :

Si Ton a ^/o> o, le polynôme est égal à 4- 00 si :f est égal à -h 00, à — oc si j; est égal à — 00. Si l'on «o < o, il est égal à — 00 ou à -{- oc, suivant que x est égal à -|- 00 ou à — 00.

Au contraire, lorsque n est pair, le polynôme est du signe de «0? pour les grandes valeurs absolues de o;; il est égal à -h 00 ou à — oc, pour x = zh 00, suivant que l'on a ûTo > o ou éZo "< o.

Il est évident que ces dernières conclusions subsisteraient si le dernier terme an de l'expression a^x'^ -\- a^x'^'^ '\', , ,-\- an-\ x -\- an^, au lieu d'être une constante, dépendait de x et si l'on savait que pour les grandes valeurs de x^ ce dernier terme reste, en valeur absolue, inférieur à un nombre fixe. L'analogie avec ce que l'on a dit au n° 32 pour les petites valeurs de x est évidente.

Si Ton veut reconnaître le sens de la variation du polynôme /(.r) pour de grandes valeurs (absolues) de j?, il n'y a qu'à appliquer la règle du n" 3o. La dérivée du polynôme f{x) est

f'(x) = /iaoar'»-*-4-(/i — i)rt|a:«-«-+-...-i-an-i;

suivant que pour une valeur Xq de x ce dernier polynôme est positif ou négatif, le polynôme proposé est croissant, ou décroissant, pour x = Xo- Or, si X est suffisamment grand en valeur absolue, le polynôme dérivé f'{x) est du signe de son premier terme /léZo^""*, qui n'est autre chose que la dérivée du premier terme a^x'^ du poly-

g6 CHAPITRE II.

nome proposé. Par conséquent, pour j: suffisamment grand en valeur absolue, le polynôme f{x) est croissant ou décroissant suivant que son premier terme est croissant ou décroissant; on voit l'importance de ce premier terme qui fournit une valeur grossièrement approchée du polynôme, le signe et le sens de la variation du polynôme. •

Remarquons enfin, en supposant le degré du polynôme /"(^r) supésieur à i , que, si x est grand en valeur absolue, il en est de même de la valeur absolue de la dérivée; or la valeur de cette dérivée est la pente de la tangente, au point de la courbe, définie par l'équation y=f(^x)^ dont l'abscisse est x\ cette tangente est donc presque parallèle à l'axe des y^ et cela est d'autant plus vrai que la valeur absolue de x est plus grande.

Le lecteur a tout ce qu'il faut pour comprendre les schémas suivants qui donnent quelque idée de la partie de la courbe qui corres-

Fig. i5.

Kig. i6.

Fig. 17-

Fig. i8.

pond à de grandes valeurs de Tabscisse suivant les quatre cas considérés : n impair, a© > o et ao< o ; ^ paîr, a© > o et ao < o.

POLYNOMES. 97

Il convienl de signaler ce qui manque à Tétude précédente : on a appris à reconnaître comment se comportait un polynôme pour les valeurs de x voisines d'une valeur donnée, en particulier pour les valeurs de x voisines de o, comment aussi il se comportait pour les grandes valeurs absolues de j?; on n'a pas appris à suivre ses varialions comme on l'apprend dans les éléments pour les polynômes aX'\-b^ ax'^-k-bx -\- c^ ax^\ sans traiter ce problème, sur lequel j'aurai à revenir, je crois pouvoir dire de suite que la question de savoir comment varie un polynôme fi^x) quand x croît depuis A jusqu'à B revient à reconnaître quel est, dans ces conditions, le signe du polynôme y (:r). Si, par exemple, ce polynôme /'(j:) est toujours positif dans ces conditions, c'est que pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (A, B) le polynôme est croissant pour chacune de ces valeurs.

Est-il permis d'en conclure que le polynôme est croissant dans cet intervalle, c'est-à-dire que la plus grande valeur du polynôme correspond toujours à la plus grande valeur de la variable, ou encore que le rapport

jf — x'

est toujours positif pourvu que les nombres x' . x!' appartiennent à rintervalle (A, B)? Le lecteur, s'il veut bien y réfléchir, reconnaîtra que ce point n'a pas été démontré, mais il sera certainement très disposé à l'admettre. Dès lors, il voit qu'il sera en mesure de suivre complètement la variation d'un polynôme dans tous les cas où il saura reconnaître quelles sont les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée est positive, celles pour lesquelles elle est négative; dans le tas, par exemple, où la dérivée est un trinôme du second degré, ou un trinôme bicarré ; dans le cas où cette dérivée peut se mettre sous la forme

A(^ — a)a(ar — 6)?(a? — c)Y. . .(a: — /)\

où A, a, 6, c, . . . , / sont des nombres quelconques et a, p, y, . . . , X des nombres naturels.