On a défini au n** 33 la dérivée d'un polynôme en x

f{x) = Ao-h Aia?-t- Aja:»-»-. . .-f- A„a7« :

Lorsque, dans ce polynôme, on remplace x par x -h A, que l'on développe et que l'on ordonne suivant les puissances de A, de manière à mettre /(j7 -h h) sous la forme

(i) /(ar-+-/i) = Po(ar)-+-AP,(jr)H-A»P,(^)-h...-H/i«Pn,

Po(^), P| (x), . . . , P„ sont des polynômes en x dont le premier est identique à f{x)^ dont le dernier se réduit à la constante A„, dont le second P|(^) est, par définition, la dérivée du polynôme /(x), et se représente habituellement pary'(ji*); son expression, comme on Fa vu au n" 35, est

P,(j?) =/'(a7) = Ai-+- 2A,ar-4- 3A3a7»-h.. .-+- nA^a:'»-».

On dit aussi (\\xe f'{x) est la dérivée du polynôme /(^) par rapport à x^ pour rappeler simplement que x est le nom de la variable qui figure dans le polynôme /(x). On verra plus tard l'utilité de cette façon de parler.

Si l'on veut regarder une constante numérique comme un polynôme en Xj de degré o, il faut regarder la dérivée d'un tel polynôme comme Identiquement nulle, puisqu'il ne change pas quand on y remplace x par x -^ h et qu'ainsi le terme en h fait alors défaut dan> le second membre de l'identité (i ).

La définition de la dérivée d'un polynôme permet de justifier immédiatement certaines règles de calcul, sur lesquelles j'insiste d'autant moins que j'aurai à y revenir en considérant les dérivées à un autre point de vue; je me contente de signaler celles qui suixent, où f{x)^ ?(^) désignent des polynômes en x dont les dérivées sont /'(^)j ?'(^) ^^ ^^ A., B désignent des constantes.

La dérivée du polynôme \/(x) -f- Bff(x) est \/'(x) -t- B^'(x);

La dérivée du produit /(j?) «(«f) eslf'(x)o{x)-\-/(x)o'{x).

On a, en effet, en remplaçant x par x -\- h, et en ordonnant sui-

POLYNOMES. 99

\anl les puissances croissantes de la variable /i,

o{x -4- A) = <p(vr)-4-/i9'(J?) -+-. ..;

les points suspensifs sont mis à la place des termes en A-, A', . . . ; on en conclut que, dans le développement de A./(x 4- A) + B o (j? -h A), ordonné suivant les puissances croissantes de A, le coefficient de A est Af\x)-^B^'(x)] que, dans le développement du produit /(x-h A)o(^ H- A) ordonné de même suivant les puissances croissantes de A, le coefficient de A esl f{x)^'{x)-\'o{x)f'{x) : ces remarques, si Ton se reporte à la définition de la dérivée, justifient les propositions énoncées.

La première proposition contient comme cas particuliers les suivantes : la dérivée de A./{x) est A/'(^); la dérivée de la somme de deux polynômes est la somme des dérivées de ces polynômes. Cetle proposition et sa démonstration s'étendent évidemment au cas où la somme comporte trois, quatre, . . . , un nombre quelconque de polynômes. La règle même du n" 35 pour former la dérivée d'un polynôme consiste à faire la somme des dérivées des termes de ces polynômes; il convient de remarquer qu'elle conduirait à un résultat exact lors même que le polynôme proposé ne serait pas réduit.

De la règle relative à la dérivée d'un produit de deux polynômes on déduit sans peine une règle pour le calcul de la dérivée d'un produit d'autant de polynômes que l'on veut, d'une puissance naturelle d'un polynôme, etc.

J'ai besoin, pour ce qui suit, de la proposition que voici :

Soit a un nombre quelconque, je considère le polynôme en x

/(ar + a) = Ao-4- Ai(:r-+-a)-4- A,(j7-+-a)«-+-...H- \„(x-ha)^,

obtenu en remplaçant, dans le polynôme f{x)^ x par ^ 4- a : la dérivée de ce polynôme s'obtient en remplaçant x par x -^ a dans la dérivée y (j:) du polynôme /*( a:); en d'autres termes, cetle dérivée est le polynôme en x

fix-i-a) = Ai4-2A,{ar-ha)-H3Aj(a?-+-a)«4-...-i-/iA„(ar-4-a)'»-».

Si, en effet, dans l'identité (i), qui doit avoir lieu pour toutes les

lOO CHAPITRE II.

valeurs de Xj on remplace x par x -{-a, elle devient /{a? -h a H- A) = Po(a:-4-a)-h APi(a:H-a)-4- A*Pt(ar-+-a)4-...-+-A«P«:

la forme même du second membre montre que P| (^ -1- rt) est le coefficient de h dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de h, du polynôme qu'on obtient en remplaçant x par X -{- h dans le polynôme /{x-^a)] c'est la définition même de la dérivée de ce dernier polynôme.

Par exemple, la dérivée du polynôme i — 3x-^ x* est — 3 -+- 237; d'après la règle précédente, la dérivée du polynôme

I — 3(x — a) -h (a* — 2)'= 10 — yx -{- X* doit être

C'est, en effet, le résultat qu'on trouve en appliquant au polynôme 10 — jx t-t' la règle du n° 35 pour obtenir sa dérivée.