DE LA VARIABLE

SI. La division des polynômes à une variable peut êlre considérée de plusieurs points de vue; du premier de ces points de vue l'opéralion, parfaitement déterminée, est analogue à l'opération de la division arithmétique au sens de la théorie des nombres entiers.

Etant donnés deux polynômes en x, A. et B, dont on appellera le premier dividende et le second dU'iscur, on se propose de trouver deux polynômes Q et R, dont le second soit de degré inférieur au degré de B, et tels que l'on ait identiquement

(i) A = BQ-t-R;

DIVISION DES POLYNOMES. l35

le polynôme Q s'appelle le quotient, le polynôme R s'appelle le reste.

Si, par exemple, on avait

A = 3a?»— 2ar*4- 5a?'— 7a*«-i- 82: — I, B = j:^,

on satisferait évidemment à l'identité A = BQ -1- R en prenant

Q = 3^5— 2a?H-5, R =— 7a?* 4- Sa? — I.

La règle pour diviser un polynôme quelconque de degré n par un monôme xP de degré inférieur ou égal à n est évidente.

G>mme on le verra, le problème général que l'on a posé admet toujours une solution et une seule. Suivant l'ordre des questions auxquelles on a affaire, c'est le quotient, ou le reste, qui importe le plus.

L'analogie de celte opération avec la division des nombres entiers est évidente : on verra, d'ailleurs, qu'elle conduit à une théorie de la divisibilité des polynômes qui suit pas à pas la théorie de la divisibilité des nombres entiers.

Je supposerai le problème résolu et les polynômes A, B, Q, R ordonnés suivant les puissances descendantes de x,

11 importe d'abord de remarquer que, si le polynôme Q n'est pas identiquement nul, le terme du plus haut degré dans le produit BQ, terme qui s'obtient en multipliant les deux premiers termes de B et de Q, est de degré au moins égal au degré de B et ne peut, par conséquent, se réduire avec aucun terme de R : on voit alors que le produit des deux premiers termes de B et de Q doit être identique au premier terme de A.

Lorsque A est de degré inférieur à B, il ne peut pas y avoir de polynôme Q contenant effectivement x^ ou même se réduisant à une constante non nulle pour lequel l'identité (i) puisse avoir lieu, puisque, autrement, le polynôme BQ, et, par suite, le polynôme BQ-+-R, serait de degré supérieur à A : la seule solution du problème posé est évidemment Q = o, R = A. Il faut, pour l'admettre, convenir de regarder o comme un polynôme (identiquement nul).

Je suppose maintenant que A soit de degré n supérieur ou égal au degré /? de B.

Le produit du premier terme de B par le premier terme de Q étant identique au premier terme de A, le premier terme de Q

l36 CHAPITRE III.

s'obtiendra en divisant, comme on Fa expliqué dans le n° oO, le premier terme de A par le premier terme de B. En désignant le monôme quotient par y©, et par Qj le polynôme qu'il faudrait ajouter à q^ pour reproduire Q, on devra avoir identiquement

A = B(groH-Q,)H-R, A — Bgro= BQ,-t-R;

comme R est toujours de degré inférieur à B, la détermination de Qi est ramenée à la division du polynôme A< = A — B^r^, par B. Dans le polynôme A^ , ordonné suivant les puissances descendantes de x^ ne figure plus de terme de degré n : si ce polynôme est de degré inférieur au degré de B, l'opération est terminée, on a Q, = o, R = Ai, Q = ^Q. Si A| est de degré supérieur au degré de B, on déterminera le premier terme q^ de Qi de la même façon, et l'on aura

Qi = ^1 -^ Qt, A, - B çr, = BQ,H- R = A,.

On continuera de même jusqu'à ce qu'on parvienne à un polynôme Ar qui soit de degré inférieur à B, ce qui ne manquera pas d'arriver, puisque les degrés des polynômes A, Aj, A2, ..., Ar vont en diminuant d'une unité, au moins, à chaque fois.

D'ailleurs, d'après la façon même dont on a opéré, on a identiquement

A = B^o -^ Ai,

A, =Byi -+-At,

Xr-\ = B^r-l-t- A,.,

et, par suite, en ajoutant,

A = B(5ro+ S^i-H. . .-h g^i-i) -h A,.,

et cette identité montre bien, puisque A^ est de degré inférieur au degré de B, qu'on est parvenu à la solution du problème posé, que le polynôme 90-+- ?i +• • •+ ^r-\ est le quotient Q, et le polynôme A^ le reste R, que l'on cherche.

Chacun des termes du polynôme Q a été déterminé d'une façon nécessaire, le polynôme Q étant déterminé, le polynôme R = A — BQ est lui-même déterminé ; on voit bien que le problème ne peut admettre qu'une solution.

DIVISION DES POLYNOMES. l3y

Le degré du quotient Q, dont le premier terme s'obtient en divisant le premier terme de A par le premier terme de B, est toujours égal à la différence entre les degrés de A et de B, sauf dans le cas où le degré de A serait inférieur au degré de B et où, alors, Q serait identiquement nul.

La règle pour faire la division résulte des explications précédentes.

On écrit sur une même ligne horizontale le dividende à gauche, le diviseur à droite en les séparant par un trait vertical ; ces deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x ; on trace une barre horizontale sous le diviseur, pour le séparer du quotient que l'on écrira au-dessous de cette barre.

Le premier terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : ce terme étant écrit, on écrit au-dessous du dividende les produits, changés de signe, des termes du diviseur par le terme obtenu au quotient, en avant soin de placer chaque produit partiel au-dessous du terme du diviseur qui a le même degré. On écrit la somme du dividende et des larmes écrits au-dessous de lui : celte somme est le premier reste partiel. Il con\ient d'avoir séparé ce reste partiel des deux lignes qui le précèdent en plaçant au-dessous de ces lignes un trait horizontal.

Le second terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du reste partiel par le premier terme du diviseur; au-dessous du reste partiel, on écrit les produits, tous changés de signe, des termes du diviseur par le second terme du quotient, et l'on ajoute au premier reste partiel ; la somme est le second reste partiel, qui fournira le troisième terme du quotient, etc.

On continue de la même façon, en s'arrêtant quand on ne peut plus continuer, c'est-à-dire quand le premier terme du reste partiel auquel on est parvenu est de degré inférieur au diviseur. L'opération est alors terminée : le quotient est formé par l'ensemble des termes obtenus, le reste est le dernier reste partiel.

Il convient de remarquer que, chaque fols qu'on a obtenu un reste partiel, le dividende est égal au produit du diviseur par le polynôme écrit au quotient, plus le reste partiel. La différence entre le degré du reste partiel et le degré du diviseur est moindre que le degré du dernier terme écrit au quotient.

Le lecteur pourra suivre cette règle sur l'opération écrite

l38 CHAPITRE III.

cl-dessous, que je crois inutile de détailler davantage.