r* — ox"* -4- x^ — X [aa^**— 5a

— 2a** H x^ — - ar' — x

ars

Quand le reste de l'opération est nul, on dit que la division se fait exactement, que le polynôme dividende est divisible parle polynôme diviseur, ou encore que le polynôme diviseur divise (exactement) le polynôme dividende. Le dividende est alors identiquement égal au produit du diviseur par le quotient (*).

S'il en est ainsi, le dernier terme du dividende doit être égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient. Si donc on est amené à écrire au quotient un terme de degré moindre que le degré du quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, ou un terme qui soit précisément de ce degré, mais qui ne soit pas égal au quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, on est sûr que l'opération ne pourra se faire exactement; par exemple, dans l'opération écrite plus haut, dès qu'on a écrit au quotient le terme — x, et non — -x,, on est certain que la division ne se fera pas exactement.

Lors même que la division de A par B ne se fait pas exactement, il peut être utile de mettre le polynôme A sous la forme BQ 4- R, ou, ce qui revient au même, la fraction -^ sous la forme Q + ô^'

(^) Quand le polynôme A est divisible par le polynôme H, on dit que B est un diviseur de A. J'écarterai, dans ce Chapitre, cette forme de langage qui pourrait créer des confusions.

DIVISION DES POLYNOMES. iSq

On a souvent à calculer la valeur numérique que prend le polynôme A pour une valeur de x qui annule un autre polynôme B; au lieu de substituer cette valeur dans A, il est plus commode, surtout si elle est irrationnelle, de la substituer dans R, ce qui donne le même résultat, et est plus aisé. Le lecteur s'en rendra compte en pensant au cas où B est du second degré et où R est, par conséquent, au plus du premier degré.

D'un autre côté, on verra plus tard que pour les valeurs de x, qui

R sont très grandes en valeur absolue, la valeur de la fraction -^ est très

petite, en sorte que la valeur de „ est à peu près égale à celle de Q, dont le calcul est plus facile.

Enfin, les notions qui précèdent conduisent à des propositions qui sont l'extension manifeste, aux polynômes, de théorèmes bien connus d'Arithmétique, concernant les nombres entiers.

52. Quand on multiplie le dividende A et le diviseur B par un même polynôme C, le quotient Q n'est pas changé et le reste R est multiplié par le polynôme C. En d'autres termes, le quotient de la di\ision de AC par BC est Q, comme celui de A par B, et le reste est RC.

L'identité A = BQh-R entraîne, en effet, AC = BCQ-hRC et celte dernière identité, où le degré du polynôme RC est moindre que le degré du polynôme BC, permet d'affirmer que Q et RC sont le quotient et le reste de la division de AC par BC.

Quand le dividende A et le diviseur B sont divisibles par le diviseur C, le reste R de la division de A par B est aussi divisible par C; quand on divise le dividende A et le diviseur B par C, le quotient Q n'est pas changé et le reste est divisé par C.

Puisque C divise exactement A et B, par hypothèse, soient A'etB' les quotients, on aura identiquement A = A'C, B = B'C, et l'identité A = BQ -I- R pourra s'écrire

A'G = B'CQ-hR, R = (A'-B'Q)C;

la dernière forme montre bien que R est divisible par C et que le quotient de la division est le polynôme R'= A' — B'Q ; cette identité, qui sert de définition au polynôme R', peut s'écrire A'= B'Q -|- R';

l4o CHAPITRE III.

le degré de R', égal au degré de R diminué du degré de C, est inférieur au degré de B', qui est égal au degré de B diminué du degré de C; Q et R' sont donc bien le quotient et le reste de la division de A' par B'.

Remarquons en passant que le polynôme C peut se réduire à une constante (non nulle) ; la division est toujours possible. Si l'on prend pour cette constante C le coefficient de la plus haute puissance de x dans B, on ramènera la division proposée à une autre dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x^ dans le diviseur, sera l'unité, ce qui peut être commode. On peut d'ailleurs se borner à diviser tous les coefficients du diviseur par le premier, sans toucher au dividende : le quotient est alors multiplié parle premier coefficient et le reste n'est pas changé.

On ne change pas le reste d'une division quand on ajoute (*) au dividende un multiple du diviseur :

L'identité A = BQ -|- R implique en effet l'identité

A + BG = B(Qh-C)-hR,

où G est un polynôme quelconque, et cette dernière identité montre que le quotient de la division de A + BC par B est Q -h G, et que le reste est R, puisque le degré de R est inférieur au degré de B.

Si le dividende est une somme ou un produit de deux polynômes, le reste de la division par un polynôme quelconque n'est pas changé, quand on ajoute un multiple du diviseur à l'un des termes de la somme ou à l'un des facteurs du produit. G'est une conséquence immédiate du théorème précédent. On voit ensuite qu'on peut aussi bien, sans changer le reste, ajouter aux deux termes de la somme, ou aux deux facteurs du produit, tels multiples du diviseur que l'on veut, puis que le théorème s'étend au cas où le dividende est une somme ou un produit d'autant de polynômes que l'on veut, ou encore une somme dont les termes seraient des produits de polynômes : on peut, sans changer le reste, ajouter un multiple du diviseur à l'un quelconque de ces polynômes et, en particulier, remplacer chacun d'eux par son propre reste, dont il ne diffère que par un multiple du diviseur.

(*) Il est inutile de dire ou qu'on retranche, puisque la soustractioo peut toujours être regardée comme une addition.

DIVISION DES POLYNOMES. l4l

En particulier, si les deux termes d'une somme sont divisibles par un polynôme, il en est de même de la somme. Si un polynôme divise une somme et l'une de ses parties, le reste de la division de la somme el de l'autre partie seront les mêmes, puisque, lorsqu'on ne s'occupe que du reste, on peut supprimer la première partie. Si un polynôme divise une somme et l'une de ses parties, il divise l'autre. Tout multiple d'un multiple du diviseur est un multiple de ce diviseur, etc.

On voit combien toute cette théorie ressemble à la théorie de la divisibilité, en Arithmétique : on verra plus tard que l'analogie s'étend très loin.

53. Les remarques précédentes permettent, dans bien des cas, de simplifier la recherche du reste dans une division.

Si, par exemple, le diviseur est x — a, on remarquera d'abord que le reste de la division de x par x — a est a, puis qu'on ne change pas le reste de la division par x — a d'un polynôme quelconque en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le polynôme, chacun des facteurs x par son reste a, c'est-à-dire en remplaçant x par a dans le polynôme ; le résultat que l'on obtient ainsi est de degré o, inférieur au degré i du diviseur; c'est donc le reste cherché.

Supposons que le diviseur soit x'^ — i, a étant un nombre naturel quelconque; le reste de la division de x'^ par x^ — i est i ; on en conclut que le reste de la division par x^ — i d'un monôme x*^ est^r*', en désignant par a' le reste de la division du nombre entier n par a ; car, si le quotient de cette division est y, on aura

et l'on peut, sans changer le reste dans la division de {x^)^.x^' par QC^ — I , remplacer x^ par i ; le résultat x^' est de degré inférieur au degré du diviseur. Le reste de la division d'un polynôme par x^ — i s'obtient en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le dividende, l'exposant de x par le reste que l'on trouve en divisant cet exposant par a. En appliquant cette règle au cas où le dividende est J?" — I, on reconnaît que la condition nécessaire et suffisante pour que ^r" — i soit exactement divisible par x^ — i est que le nombre naturel n soit divisible par a.

Soit encore à chercher le reste de la division par x^-{- 1 d'un poly-

i^l CHAPITRE m.

iiome A; on verra au Chapitre VI rintérêt de ce reste. Dans chacun des monômes axP qui constituent A, il est permis, quand on ne se préoccupe que du reste, de remplacer tels facteurs que Ton veut par leurs restes : suivant que p est pair ou impair, est de la forme 2 A' ou 2 A -I- I , on peut regarder xP comme le produit de k facteurs x-, ou de A" -h I facteurs dont l'un est x et dont les autres sont égaux à x- ; puisque — 1 est précisément le reste de la division de x^ par J7--h 1, on remplace chacun des facteurs x- par — 1 , c'est-à-dire xP par (—1)* ou par ( — i)*^, ou encore xP par i, a:, — 1, — x, suivant que p est un multiple de 4? un multiple de 4 augmenté de 1, de 2 ou de 3; le reste ne sera pas changé; mais, après cette opération faite sur tous les termes de A, on obtient un résultat qui est au plus du premier degré en x] c'est le reste cherché.

L'opération que l'on vient de décrire s'appelle remplacer xpar — I dans A. La signification qu'il faut donner à ces mots est suffisamment éclaircie par ce qui précède.

Si l'on considère, par exemple, le polynôme

on voit que le reste de la division par X'-{- i est

— 7 — 8a7-hi-HtiiF-t-i-+-i= — 4 — 6x.

On observera, en passant, que si l'on considère la suite des puissances successives de x

x^=iy Xy JT*, ar', ar*, a?*, ...,

les restes de la division par x^-\-i^ à savoir

se reproduisent périodiquement de quatre en quatre : cela résulte aussi de ce que x^ — i = (a?^ — i)(.r^+i) est divisible par x^-\-i^ en sorte que le reste de la division par ^-^ -H 1 de j?* est i , d'où il suit que les restes de la division par x'^ + i sont les mêmes pour xP et xP'^^ z=z xP . x^ .

54. Division par x — a. — Il convient de s'arrêter sur le cas où le diviseur est du premier degré en x : s'il est égal à aa? 4- p, on peut,

DIVISION DES POLYNOMES. l43

en vertu d'une remarque précédente, le remplacer par x -\- - ou

par J7 — a ; on vient de voir comment on obtenait le reste de la division d'un polynôme par x — a] on va retrouver ce résultat et montrer aussi comment on obtient le quotient.

Soit/(j?) = Ao^r^H- A, j?"-* +. . .-h A,, le polynôme proposé, que Ton veut diviser par x — a.

On a vu, au n° 5i, comment, lorsque a est nul, le quotient et le reste s'obtiennent immédiatement. On ramène le cas général à celui-là en ordonnant le polynôme par rapport aux puissances de x — a; il s'écrit alors

/{x) = Ai (^ — «)•*-+- Ai {X — a)«-» -h. . . -h a;,., {x — a)-{- X',, ;

on voit de suite que le quotient est

Ai (a: — a)«-«-i- a; (a: — a)**-» -h. . .-h A;^,

et que le reste est A^,, c'est-à-dire la valeur /{a) que le polynôme prend pour x = a :1a condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit divisible par x — a est qu'il s'annule quand on y remplace X par a.

La valeur du reste s'aperçoit aussi bien sur l'identité fondamentale

/{x) = {x — a)q(x)-hR,

où Q(x) désigne le quotient de la division du polynôme /(x) par X — a et R le reste. Ce reste, en effet, doit être de degré o, puisque le diviseur est du premier degré; il ne contient pas x effectivement, c'est une constante, dont la valeur /{a) s'obtient en remplaçant x par a dans l'identité précédente. Au fond, ce raisonnement ne diffère pas de celui qu'on a fait au n** 35.

Quoique le procédé précédent fournisse l'expression du quotient et du reste, il y a lieu d'appliquer une autre méthode, ne fût-ce que pour avoir le quotient ordonné suivant les puissances de x et non de X — a.

Le lecteur pourra, sans difficulté, appliquer simplement la règle de la division, il retrouvera ainsi les résultats que je vais obtenir par la méthode des coefficients indéterminés.

■ 44 CHAPITBE III.

Le quotient doit être du [n — i)'ème degré; désignons-le par

et désignons le reste (une constante) par B«. B©, B|, ..., B/,|, B^, sont des coefficients qu'il faut déterminer. On y arrive en écrivant que le produit du quotient par x — a, augmenté de B„, est identique terme à terme au dividende Ao^^H- Ai^c""* + . • . -h A„,a: -1- A,,. On trouvera ainsi, en égalant à chaque coefficient de ce dividende, le coefficient de la même puissance de x dans le produit,

Bo=Ao, Bout — Bi = A|, Bia — B, = Aj,

B/«-i <^ — Brt = A„ ;

ces égalités peuvent être regardées comme des équations qui permettent de déterminer successivement Bo, B|, . . ., B„, et B^,; on en

tire

Bo = Ao,

Bi = Boa -H Al,

Bj = B^a -+- Aj,

on en tirerait, tout aussi bien, en général,

B;.= Aoa''4- Aia'*- * -4-. . .-+- A^-ia -h A,.,

/• étant l'un quelconque des indices i, a, . . ., /i; mais cette formule^ quoique plus explicite, est moins avantageuse dans la pratique que les formules précédentes, qui permettent le calcul successif des quantités Bo, B|, ..., B„| et B^, dont chacune s'obtient en multipliant la précédente par a, et en ajoutant le coefficient correspondant du dividende.

Soit, par exemple, à diviser par x — 3 le polynôme

aar* — 3 a:* -h a?* — 7.

DIVISION DES POLYNOMES. l4^

J'écris la suite des coefficients, en remplaçant par des zéros ceux qui manquent

et je trouve successivement, en appliquant Ja règle précédente, les coefficients du quotient

et le reste i38x3 — ^ = 407.

En appliquant ce procédé, le reste doit- être égal à la valeur du dividende pour j; = a; c'est la meilleure manière pour calculer la valeur exacte d'un polynôme pour une valeur donnée de la variable.

Pour reconnaître si un polynôme est divisible par x -|- «, ou pour faire la division d'un polynôme par J7 + «, on n'aura qu'à changer a en — a dans les raisonnements ou les calculs qui précèdent.

J.11 — op. ggj^ toujours divisible par x — a; le quotient est égal à

a-n-t | aa?»-* -+- a*ip'»~' -4- ... 4- a^-^ x -\- a^;

x'*4-a" = ^" — a"-!- 2 a" n'est pas divisible par ;r — a, le quotient est le même polynôme qu'on vient d'écrire et le reste est 2a". x" — a'* est divisible par x -\- a quand n est pair et n'est pas divisible quand n est impair; dans les deux cas le quotient est

a?/»-i __ aa?«-* -h a*a?«-* — . . . -h (— i)»-îa'*-»a: -h (— 1)»-^ a«-*,

et, dans le second cas, le reste est — 2 a".

x"-i- a" est divisible par x -{- a quand n est impair et ne l'est pas quand n est pair; le quotient est, dans les deux cas, le polynôme que l'on vient d'écrire et, dans le second cas, le reste est 2 a".

Si un polynôme est divisible séparément par les binômes x — a, x — b,.,.jX — /, où «, b, ..., l sont des nombres distincts, il est divisible par le produit {x — a){x — b) ...{x — /) de ces binômes.

Il suffit de remarquer que le polynôme s'annule alors pour les nombres différents a, è, ..., /; dès lors la proposition a été démontrée, sous une forme plus complète, au n** 38.

5o. Cas où les coefficients sont entiers. — Le cas où, dans une division, le dividende et le diviseur sont des polynômes à coefficients entiers, offre un intérêt particulier. On a alors à sa disposition un T. 10

l46 CHAPITRE III.

théorème qui permet souvent de reconnaître, sans la pousser jusqu'au bout, qu'une division ne peut s'eflecluer exactement, et qui est d'ailleurs très utile quand on veut clierclier quels sont les polynômes à coefficients entiers qui di\isent exactement un polynôme à coefficients entiers. Je vais m'arréter un instant sur ce sujet, où le lemnie suivant, relatif à la théorie de la multiplication de deux polynômes, est fondamental :

Le plus grand commun diviseur des coefficients du produit (réduit) de deux polynômes (réduits) P, Q, à coefficients entiers, est égal au produit du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme P et du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme Q.

Dans ce numéro, je désignerai sous le nom Ae polynôme primitif y un polynôme à coefficients entiers, dont les coefficients n'ont j)a> d'autre commun diviseur que i.

Je commencerai par établir la proposition suivante : Le produit de deux polynômes primitifs P, Q est un polynôme primitif.

Supposons, en effet, que les coefficients du produit (réduit) PQ aient un diviseur commun autre que i; ce diviseur admettra un diviseur premier a qui divisera aussi tous les termes du j)roduit PQ. Posons

en désignant par P, l'ensemble des termes de P dont les coefficients sont divisibles par a, par Qi l'ensemble des termes de Q dont les coefficients sont divisibles par a; au contraire, aucun terme de Pj, ni de Qo, n'est divisible par a. 11 y a certainement des termes dans P^ et dans Qa, car s'il n'y avait pas de termes dans Pa, par exemple, c'est que tous les coefficients du polynôme P seraient divisibles par a : le polynôme P ne serait pas primitif.

D'ailleurs, on a identiquement

PQ = PiQiH- PiQî-^ P*Qi -H PîQ,;

tous les coefficients des termes de PiQ«, P^Qa- P2Q1 sont évidemment divisibles par a; si tous les coefficients du produit réduit PQ sont divisibles par a, c'est qu'il en est de même des coefficients du produit réduit P2Q2> puisque chacun de ces coefficients, augmenté peut-être d'un multiple entier de a, provenant des autres produits partiels, fournit un coefficient de PQ. Or, le coefficient du premier

DIVISION DES POLYNOMES. 14?

terme de P2Q2? ordonné suivant les puissances descendantes de x^ est le produit des deux premiers coefficients de P2 et de Q2, ordonnés de même : aucun de ces coefficients n'est divisible par le nombre premier a; leur produit n'est pas divisible par a. Les coefficients du produit PQ ne peuvent être tous divisibles par un nombre premier a, ni, par conséquent, par aucun nombre entier, autre que i. Le produit PQ est primitif.

La proposition générale se déduit immédiatement du cas particulier qu'on vient d'établir.

Soient P, Q deux polynômes à coefficients entiers; soient/? et q les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de P d'une part, des coefficients de Q d'autre part. En désignant par P' et Q' les deux Jpolynomes à coefficients entiers que l'on obtient en divisant par p les coefficients de P, par q les coefficients de Q, on aura

¥=p?\ q = qq\ PQ==/>grP'Q';

mais les polynômes P' et Q' sont primitifs, puisque, quand on divise un groupe de nombres entiers par leur plus grand commun diviseur, on obtient comme quotients des nombres entiers qui ont i pour plus grand commun diviseur. Le polynôme P'Q', lorsqu'il est réduit, est primitif, comme on vient de le démontrer : les coefficients ont i pour plus grand commun diviseur, les produits par pq de ces coefficients, ou les coefficients du produit réduit PQ ont donc pq pour plus grand commun diviseur.

Voici maintenant quelques conséquences de ce lemme dans la théorie de la division.

Convenons de dire, pour un instant, qu'un polynôme A, à coefficients entiers, est entièrement divisible par un polynôme B à coefficients entiers, s'il existe un polynôme C, à coefficients entiers, tel que Von ait identiquement A = BC.

Désignons, en supposant qu'il en soit ainsi, par a, 6, c les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de A, des coefficients de B, des coefficients de C, en sorte qu'on puisse poser

A = aA', B = ^B', C = cG',

en désignant par A', B', C'des polynômes primitifs; l'identité A = BG entraîne l'identité aAJ= bcB'C; le polynôme (réduit) B'C est primitif comme A'; a est le plus grand commun diviseur des coefficients

l48 CHAPITRE m.

(lu polynôme aA', bc est le plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme ôcB'C qui est identique à ak!\ on a donc

a=^bc, A'=B'G'.

Ainsi le nombre b divise le nombre a et le polynôme B' divise entièrement le polynôme A'.

Lorsque B est primitif, b est égal à i, B est identique à B' : un polynôme primitif ne peut donc diviser entièrement un polynôme à coefficients entiers, sans diviser entièrement le polynôme primitif que Ton en déduit en divisant tous ses coefficients par leur plus grand commun diviseur.

Lorsque A est primitif, a est égal à i ; les deux nombres naturels 6, c, dont le produit est égal à i, sont certainement tous les deux égaux à 1 . Donc :

Un polynôme primitif ne peut être entièrement divisible par un autre polynôme à coefficients entiers que si ce dernier est primitif. Alors, le quotient, lui aussi, est primitif.

Supposons seulement, en désignant toujours par A et B des polynômes à coefficients entiers, que A soit divisible par B, sans Tétre entièrement : le quotient Q sera un polynôme à coefficients rationnels, comme il résulte évidemment de la façon dont se fait la division (*).

(^) Les remarques suivantes, qui ne supposent pas que A soit divisible par B, nous seront utiles :

Désignons par b^ le premier coerficient de B; dans chaque division partielle, on a à diviser par b^ soit le premier coefficient de A, soit le premier coefficient d'un reste partiel, en sorte qu'il s'introduit, en général, des coefficients fractionnaires dans le quotient : les dénominateurs de ces fractions sont des puissances de b^. De pareils coefficients fractionnaires s'introduisent aussi dans le reste. Mais si, avant de faire la division, on multiplie A par un nombre convenable oc, on peut éviter tous les coefficients fractionnaires, tant dans les restes partiels que dans le quotient et le reste final. Observons d'abord que le nombre de divisions partielles est au plus égal à la différence entre le degré de A et le degré de B, augmentée d'une unité: désignons par/; cette différence augmentée de i; multiplions A par bÇ et divisons par B; le premier terme du quotient est entier et divisible par bf~^ ; il en est de mèine de tous les termes du premier reste partiel; le second terme du quotient est entier et divisible par 6f~', ainsi que tous les termes du second reste partiel, etc. Le quotient et lé reste ont maintenant tous leurs coefficients entiers. On peut donc prendre a= 6f ; d^ailleurs il peut arriver qu'on atteigne le but en prenant pour a un nombre moindre. Dans tous les cas, les restes partiels, le reste final, le quotient de la division de a A par B sont les produits par a des restes partiels, du reste final, du quotient de la division de A par B, comme il résulte de l'opération même.

DIVISION DES POLYNOMES. t49

En réduisant tous les coefficients au même dénominateur gr, on voit que Q peut se mettre sous la forme — > où Q» désigne un polynôme à coefficients entiers; l'identité A = BQ entraîne qk = BQi : donc B divise entièrement qA.

Soit maintenant, comme plus haut, a le plus grand commun diviseur des coefficients de A et soit A=:aA'; le polynôme primitif B devant diviser entièrement le polynôme qaA\ doit diviser entièrement le polynôme primitif A' et, a forlion\ le polynôme «A' ou A. Donc ;

Si un polynôme primitif à coefficients entiers divise un polynôme A à coefficients entiers, les coefficients du quotient doivent être des nombres entiers ; si, dans le courant de la division, on est amené à écrire, au quotient, comme coefficient, une fraction irréductible, la division ne peut se faire exactement.

56. Extension de la division. — Revenons au cas général. Quand on a terminé, conformément aux explications données dans le n° 51, la division du polynôme A, de degré a, par le polynôme B, de degré 6, que Ton est parvenu au quotient Q et au reste R, de degré r < 6, on peut, si Ton veut, continuer l'opération, de la même façon, en introduisant au quotient un terme de degré négatif r — ft, et en suivant toujours la même règle; le nouveau terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme de R par le premier terme du diviseur, le nouveau reste partiel s'obtient en retranchant de R le produit du nouveau terme écrit au quotient par le diviseur, etc. On peut continuer et Ton s'arrête quand on veut : Si l'on désigne par Q' l'expression écrite alors au quotient, et par R' l'expression écrite au reste, on a, toujours identiquement, A=BQ'-|-R', en ce sens que, si l'on fait la multiplication et l'addition indiquée au second membre, comme si l'on avait affaire à de véritables polynômes, on retombe sur A.

Cette identité montre, lorsque B se termine par une constante, non nulle, que R' ne peut être identiquement nul : si, en effet, R' était identiquement nul, le produit du dernier terme de B par le dernier terme de Q' serait de degré négatif, et devrait être identique au dernier terme de A. R' n'étant pas nul, on peut continuer l'opération qui, ainsi, ne se termine jamais.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer que l'opération ne peut

l5o CHAPITRE Iir.

se terminer que dans le cas où B est de la forme B'j;'', B' étant un polynôme qui divise exactement A.

J'ai reproduit ci-dessous une division ainsi continuée.

x^ — 2a:*-h3ar — i la;* — Sa: -h ï

— ar'-HSa?* — X X -\- \ -+- 5^-*-h i3a:-*

— x^-k-Zx— I

--5a?-i-i5-- 5ar-»

— \Z + 'iciX-^ —

i3ar-«

34ar-t-i3ar-5

au moment où elle est ainsi arrêtée, on est parvenu à ridentité

a;»— ix^-fr 307— i = (a7«— 3a7-M)(ar-i- i-h 5^-*-H i3ar-*)-t- 34^^-*— i3ar-*;

je ne veux que faire pressentir ici l'utilité que peuvent présenter de pareils calculs, qui apparaîtra nettement plus lard. De l'exemple qu'on vient de traiter, on peut conclure que, pour toutes les valeurs de X qui n'annulent pas x^ — 3x + i , on a

a?' — aar'-H -4- 3a: — i ^ . « . 34^~* — i3a7-*

=a:|-i + 5ar-i-+-i3a:-«H- -^î- ;

X* — ia:-hi X* — 3a7-hi

si X est très grand en valeur absolue, on voit sans peine que la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue; en sorte que le premier membre aura à peu près la même valeur que l'expression

a? -+- i-H Sx- * -h 1 3a7-*,

plus facile à calculer. Si l'on suppose que la valeur absolue de x soit supérieure à looo, l'erreur sera moindre que

io6 — 3.IO»— I lo*

le premier membre de l'inégalité précédente est, en effet, plus grand que la fraction qu'on veut évaluer, puisque l'on a remplacé le numé-

DIVISION DES POLYNOMES. l5l

râleur par un nombre plus grand, le dénominateur par un nombre plus petit.

Lorsque l'on effectue une division sur les polynômes A, B ordonnés suivant les puissances décroissantes de x^ d'après le procédé que Ton a d'abord expliqué au n'* ol et dont on vient de montrer comment il pouvait être poursuivi, on peut s'arrêter quand on veut, soit avant d'être parvenu au reste proprement dit, soit quand on a fini l'opéralion au sens du n** ol, soit après l'avoir poursuivie, lorsque la division ne peut se faire exactement : dans tous les cas on parvient, au moment où l'on s'arrête, à une identité de la forme A = BQ'+R', où les expressions Q' et R' qui figurent respectivement à la place du quotient et du reste sont, soit de véritables polynômes, soit de ces expressions analogues à des polynômes qui contiennent des termes de degré négatif : Q' et R' sont aussi ordonnés suivant les puissances descendantes de x. Dans le cas où l'opération peut se poursuivre indéfiniment, on peut toujours s'arranger pour que le degré du premier terme de R' soit inférieur à tel nombre entier p, positif, nul ou négatif que l'on voudra, inférieur toutefois au degré a de A : imaginons qu'on s'arrête dès que cette circonstance se présente.

Soit toujours b le degré de B. Dans le reste partiel qui précédai tR', le premier terme était, par hypothèse, au moins de degré p ; le dernier terme de Q' a été obtenu en divisant par le premier terme de B le premier terme de ce reste partiel : le dernier terme de Q' est donc au moins de degré p — 6 : en résumé, si l'on se donne le nombre entier p <; a, on peut trouver un polynôme ou une expression analogue R' dont le premier terme soit de degré inférieur à p et un polynôme ou une expression analogue Q' dont le dernier terme soit au moins de degré p — 6, tels que l'on ait identiquement A = BQ'-1-R'«

D'un autre côté, si Ton cherche à déterminer des expressions Q' et R' qui satisfassent à ces diverses conditions, le raisonnement du n* 51 montre que les termes de Q' s'obtiennent les uns après les autres d'une façon nécessaire. Cela est évident pour le premier terme de Q' dont le produit par le premier terme de B, étant de degré supérieur à p — 6-|-6 = p, ne peut se réduire avec aucun terme de R' et doit par conséquent reproduire le premier terme de A; c'est à ce cas qu'on est toujours ramené par le raisonnement du n° 51, que l'introduction de termes à degré négatif n'infirme en rien. Q' est donc entièrement déterminé, ainsi que R'= A — BQ'.

152 CHAPITRE m.

Il est aisé de voir que la proposition subsiste quand A est divisible par B, pourvu que l'on ait a^ p^b.

Enfin, on voit encore que la division peut se faire de la même façon quand A et B, au lieu d'être des polynômes (*), sont des expressions contenant des termes de degré négatif. La proposition qu'on vient de démontrer subsiste, en regardant alors «, b comme les degrés, d'ailleurs positifs ou négatifs, des premiers termes des expressions A, B que l'on suppose toujours ordonnées suivant les puissances descen- |

dantes de x. \