AB = BA

(AB)G = A(BC), A X I = A, A(B-i-C) = AB-+-AC,

qui constituent les propriétés fondamentales de la multiplication, et qui sont comprises dans les propositions générales établies au numéro précédent; ces propositions peuvent, inversement, être déduites des égalités qu'on vient d'écrire.

Signalons quelques cas particuliers :

Le produit de / par i est — 1 ; en d'autres termes on a 1^ = — i .

Le carré d'un nombre imaginaire a-^ a' i est à^ — a'^-f- ^aa' i. Il est réel quand le nombre dont on fait le carré est ou réel, ou purement imaginaire et seulement dans ces deux cas; il est positif dans le premier, négatif dans le second.

91. Valeur absolue d'un nombre imaginaire. — Le produit de deux nombres imaginaires conjugués a + a!i^ a — a'i est réel : c'est la somme a^ -H a'^ du carré de la partie réelle et du carré du coefficient àti.

23a CHAPITRE VI.

On désigne sous le nom de module ou de valeur absolue (* ) d'un nombre imaginaire a + a'«, la racine carrée prise avec le sens arithmétique de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de i. La valeur absolue de a -h a' i est donc le nombre positif \Jà^ -h a'* ; si le nombre a-^-a'i est réel, c'est-à-dire si d est nul, la valeur absolue se réduit au nombre positif y/a^, c'est -4- a, ou — a suivant que a est positif ou négatif; c'est, pour les nombres réels, la signification à laquelle le lecteur est habitué; la valeur absolue du nombre réel ou imaginaire A= a -|- a'« se représente par le symbole | A | ou |aH-a'/|.

La valeur absolue d'un nombre nul est o; si la valeur absolue d'un nombre réel ou imaginaire est nulle, on peut affirmer que ce nombre est o, puisque y^a*^ -+- a'*, où a, a' sont des nombres réels, ne peut être nul que si l'on a séparément a = o, a'== o.

Les valeurs absolues de deux nombres conjugués sont égales.

Le produit de deux nombres conjugués est égal au carré de la valeur absolue de l'un ou de l'autre.

La valeur absolue du produit de deux nombres est égale au produit des valeurs absolues de ces nombres. On vérifie en effet de suite l'identité

qui exprime que le carré de la valeur absolue du produit des deux nombres a-^a' i^ 6 H- 6'i est égal au produit des carrés des valeurs absolues de ces deux nombres : comme la valeur absolue est essentiellement positive, le théorème énoncé est démontré.

11 s'étend évidemment, de proche en proche, au cas de trois, quatre, . . ., nombres : au reste, on peut démontrer directement que, pour un nombre quelconque de facteurs, le carré de la valeur absolue du produit est égal au produit des carrés des valeurs absolues des facteurs, en faisant d'abord la remarque suivante, qui est importante par elle-même.

(*) C'est le terme dont je me servirai, d'autant que le mot module a une foule de significations en mathématiques. Il est désirable d^en supprimer au moins une. Autrement on est amené à dire le module du module, en employant le mot module dans deux sens absolument diiïérents.

La norme d'un nombre imaginaire a -h a'i est a'-+- a'«; c'est le carré de sa valeur absolue.

Si, en efiectuant des additions, soustractions, multiplications, sur des nombres imaginaires, on a trouvé comme résultat le nombre imaginaire /? -4-/?'t, {p et p' réels), et que l'on efl'eclue ensuite les mêmes opérations sur les nombres conjugués, on trouvera comme nouveau résultat le nombre p — /?'i, conjugué du premier résultat.

Cette proposition devient évidente si l'on se reporte à la règle du n-* 86, et qu'on regarde / comme une variable réelle. Les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, effectuées sur les nombres imaginaires donnés conduisent à un certain polynôme /(«*) à coefficients réels ; les mêmes opérations effectuées sur les nombres conjugués, qui se déduisent des premiers en changeant i en — £, conduiraient au polynôme /( — «), obtenu en changeant i en — i dans/(/); dire que le résultat des premières opérations, effectuées d'après la règle du n® 86, est p-^ p^ i, cela revient à dire que p -\-pU est le reste de la division par i-^H- i de/(i)y en d'autres termes que Ton a, en désignant par o(i) un polynôme en i à coefficients réels, l'identité en /,

si l'on change dans cette identité i en — i, elle devient

elle montre que p — p^i est le reste de la division de /( — i) par i^ -h i ; c'est ce qu'il fallait établir.

Revenons, après cette remarque générale, au théorème concernant le produit de plusieurs facteurs. Considérons, par exemple, les trois facteurs a-hofî, b-{^b'i, c-\-di et désignons leur produit par p-hp'î; l'égalité

(a -h a' i) (b -h b' i) (c -h c' i) =i p -h p' i entraîne

en multipliant membre à membre et en groupant ensemble les facteurs conjugués, on a

C'est ce qu'il fallait établir.

Cette proposition fournit une seconde démonstration de ce fait qu'un produit ne peut être nul sans qu'un facteur soit nul; en effet, si p -^ p^ i est nul, c'est-à-dire si l'on a y9=o, y9'=o, le produit des nombres réels, a^-ha'*, b^-^-bf'^^ c^-f-c'^, est nul; l'un de ces nombres est nul; si c'est a^-^a'^^ par exemple, il faut que l'oa ait a == o, d= o, c'est-à-dire que aH- a' i est nul.

92. Il me reste à définir la division de deux nombres imaginaires : On appellera quotient de la division du nombre imaginaire a-\-a'i

par le nombre 6 -H b' i un nombre imaginaire c H- c'« dont le produit

par b-h b'i soit égal à a -\- a'i.

L'égalité

équivaut aux deux égalités

bc — b' c' = a^ b'c-r-bc' =a';

ces deux égalités peuvent être regardées comme deux équations du premier degré dont les deux inconnues seraient c, c'\ le déterminant des deux équations est b'^ ■+- b'^ ; il n'est pas nul, sauf dans le cas où le diviseur b -{- b' i serait nul; si l'on exclut ce cas, les deux équations admettent une solution et une seule; le problème posé admet une solution et une seule, à savoir le nombre imaginaire

ab-ha'b' . a'b -ab' .

par exemple, le quotient de la division de 3 -h « par i -h i est 2 — i. L'égalité

{b -Jrb'i){c-^c' i) = a-ha't,

en y changeant / en — i montre que, si c -f- d i est le quotient de la division de a -H a'/par b -4- 6'c, le quotient de la division de a — a' i par b — b' i sera c — d i.

Au lieu de dire « le quotient de la division de A par B » je dirai le plus souvent « rapport de A à B » et je représenterai ce rapport par

la notation ^r : c'est le nombre qui, multiplié par B, reproduit A. Les

mots dividende et diviseur sont remplacés alors par les mots numérateur, dénominateur.

La valeur absolue d'un rapport est le rapport des valeurs absolues du numérateur et du dénominateur, ainsi qu'il résulte du théorème analogue relatif à la multiplication.

L'inverse d'un nombre non nul B, ou le nombre qu'il faut multiplier par B pour que le produit soit i , se représente, d'après la notalion précédemment expliquée, par ^•

En supposant B = b -\- b'i, on a

le rapport C de A à B est le produit de A par -g» comme on le vérifie sans peine et comme il résulte de l'égalité

Les propriétés des fractions à termes réels qui reposent sur la définition, en vertu de laquelle le numérateur est égal au produit du dénominateur par la valeur de la fraction, s'étendent sans changement aux fractions à termes imaginaires.

On peut, par exemple, multiplier ou diviser les termes d'une fraction à termes réels ou imaginaires, par un même nombre non nul.

Ce théorème donne le moyen le plus commode pour effectuer une

division; considérons par exemple la fraction t rr-:* on multipliera

le numérateur et le dénominateur par le nombre b — 6'/ conjugué du dénominateur ; on trouve ainsi

ia'-ha'i)ib-^b'i) __ ab -^ a' b' -h (a' b — ab')i

On peut réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur, ajouter des fractions qui ont même dénominateur.

Le produit de deux fractions se fait en divisant le produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. Pour obtenir l'inverse d'une fraction, il suffit de la renverser. Pour diviser une fraction par

l36 CHAPITRE VI.

uae fraction, on multiplie la fraction dividende par Tinverse du diviseur.

93. Raoine carrée. — On montrera bientôt comment on peut obtenir, en général, la racine /i**"" d'un nombre imaginaire ; je veui dire ici un mot de la racine carrée :

La racine carrée d'un nombre imaginaire a+ bi (a, b réels) sera, par définition, un nombre imaginaire x -\- iy (^, y réels) tel que Ton ait {x H- iyY = a -h 6«, ou

(i) a?* — j^* = a, ixy = b.

Supposons b différent de o, or etjK devront être différents de o; on tire de la seconde équation

et en portant dans la première.

L'équation en x^ ainsi obtenue a une racine positive

et une racine négative, qu'il faut écarter, puisqu'on veut avoir pour x une valeur réelle ; on aura ainsi deux valeurs symétriques pour j?, à savoir

Va*-H*V

à chacune desquelles correspond une valeur de y par l'équation (2). On reconnaît immédiatement, en remontant la suite des calculs, que les valeurs ainsi trouvées pour a:, y vérifient les équations (i).

Le problème admet deux solutions et deux solutions seulement : ces deux solutions sont des nombres symétriques qu'on peut écrire sous la forme

(3) + -L (sja. -4- //x»-^ A» -t- ^^ ^ =^ ^ >

en donnant aux radicaux la signification arithmétique.

De l'égalilé

(an- /a«-H b*) (—an- •a»-t- 6») = 6«,

on lire de suite

eu désignant par e un nombre égal à + i ou à — i , suivant que b est positif ou négatif; le facteur t a été introduit afin que le second membre soit positif comme le premier (* ) ; on en déduit

va -f- /a*-H *• d'où cette seconde forme de la solution

qui est plus élégante, mais moins avantageuse pour le calcul numérique, puisqu'elle exige une extraction de racine carrée de phis que la première.

Enfin, si b est nul, c'est-à-dire si le nombre proposé est réel, la seconde équation (i) montre que l'un des nombres y, a: doit être nul ; en vertu de la première équation, on doit avoir alors soit x^=a, soil^^ = — a; puisque ar, y doivent être réels, on prendra jk = o, x = ±^a si a est positif, x = Oy y = ± \/ — a si a est négatif; dans le premier cas, les deux solutions du problème proposé sont les nombres réels it ^a ; dans le second cas, les deux nombres purement imaginaires ± £ y/ — a .

Ces deux solutions sont d'ailleurs comprises dans la formule (4); puisque \/a^ -+• b'^ se réduit alors à ^à^ , c'est-à-dire à a si a est positif, à — a si a est négatif.

{ ' ) Le nombre < ainsi défini se représente souTent par le symbole sgn b ( signe de 6).

a38 CHAPITRE VI.

Exemple, — Les deux nombres dont le carré est i -h i sont

db -i= (v/ 1 -h /î -f- 1 \/--n- /•! ) ;

les deux nombres dont le carré est i sont zh —;r(n- «)•

Si l'on applique les formules précédentes, dans le cas où a =— i, 6 = o, on trouve que les deux nombres dont le carré est — i sont ±: i. Si l'on convient de représenter en général par ^a -4- bi un nombre imaginaire dont le carré est a -K 6t, on sera conduit à poser

et à écrire un nombre imaginaire a + ^i (ol^ ^ réels) sous la forme a -h p ^ — 1 . On est ainsi ramené à la notation qui nous a servi de point de départ, mais qui, maintenant, est justifiée.