REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES IMAGINAIRES

94. Les nombres imaginaires sont susceptibles d'une représentation géométrique sur laquelle je vais maintenant insister. Mais, auparavant, je rappellerai quelques définitions.

Fig. 25.

Considérons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires. Pour fixer, dans ce plan, une direction, il suffit évidemment de fixer la parai-

NOMBHBS IMAGINAIRES. 239

lèle menée à cette direction, dans le même sens, à partir de Torigine : je ne considérerai donc que des directions partant de ce point; en particulier Tangle de deux directions sera l'angle des deux parallèles à ces directions, à partir de l'origine.

Pour fixer une direction à partir de l'origine O, ou, si Ton veut, une demidroite ayant son origine au point O, il suffit évidemment de se donner un point A situé sur cette demi-droite (et non sur la demi-droite opposée), ou, ce qui revient au même, les coordonnées a, b de ce point. Le point unique M où la demi-droite considérée rencontre le cercle décrit de O comme centre avec un rayon égal à Tunité de longueur est particulièrement utile à considérer; ses coordonnées a, ^ s'appellent les cosinus directeurs de la demidroite considérée; elles vérifient la relation a*-HP' = i. Inversement, deux nombres réels quelconques vérifiant cette relation sont les coordonnées d'un point unique sur le cercle et sont les cosinus directeurs de la demi-droite qui part de Torigine et aboutit en ce point.

Si l'on désigne par r le nombre positif qui mesure la longueur OA, on a

a = ar, 6 = ^r, r = /a*-»- 6*, a=-f p=-;

le radical est pris avec son sens arithmétique. Ces formules permettent, quand on se donne a, 6, de calculer r, a, ^ sans ambiguïté.

Soient X, Y les points où les directions positives des axes des x et des y rencontrent le cercle; un mobile M, qui se meut sur le cercle toujours dans le même sens (sans oscillations), se meut dans le sens direct ou positif s'il se meut dans le même sens qu'un mobile qui partirait du point X pour aller vers le point Y en décrivant le quart du cercle ; dans le cas contraire, il se meut dans le sens indirect ou négatif. Dans les mêmes conditions, on dit que le rayon OM, ou une parallèle quelconque à ce rayon, menée dans le même sens à partir d'un point fixe, tourne dans le sens direct ou dans le sens indirect.

Un nombre quelconque peut être regardé comme Vabscisse circulaire d'un point M sur le cercle : on obtient ce point M en imaginant un mobile qui se meuve sur le cercle, sans osciller, en partant du point X (origine des arcs), dans le sens positif ou dans le sens négatif, suivant que 6 est positif ou négatif, et qui s'arrête lorsqu'il a parcouru, sur le cercle, un chemin dont la longueur est la valeur absolue de 6. Le point où le mobile s'arrête est le point M dont l'abscisse circulaire est 0. Son abscisse et son ordonnée sont, par définition, les nombres cosÔ et sin6; tangO est, par définition, la pente de la droite qui joint le point O au point M.

Inversement, à chaque position du point M sur le cercle correspondent une infinité de nombres dont chacun peut être regardé comme l'abscisse circulaire du point M : ces nombres forment une progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens, dont la raison est iiz. Tous ces nombres ont même cosinus, même sinus, même tangente.

Si l'on considère deux directions OM, OM', définies, comme on l'a expliqué plus haut, par deux points M, M' du cercle, et si l'on attribue un ordre à ces

a4o CHAPITRE VI.

deux directions, en sorte que OM soit la première et OM' la seconde, Tangle (OM, OM') de ces deux directions, ou l'arc MM', sera, par définition, l'abscisse circulaire du point M', définie comme plus haut, mais en prenant ie point M comme origine des arcs (et non le point X). Le sens positif reste celui qu'on a défini plus haut. Cet angle ou cet arc ne sont définis qu'à un multiplie près de 2 7r.

En d'autres termes, toutes leurs déterminations s'obtiennent en ajoutant à Tune quelconque d'entre elles le produit de aie par un nombre entier quelconque : la valeur principale de l'angle (OM, OM') ou de l'arc MM' est celle de ces déterminations qui est comprise entre — it et -h tt ; elle est entièrement déterminée, sauf dans le cas où les deux directions sont opposéeSy où les deux points M, M' sont diamétralement opposés; elle peut alors être prise, à volonté, égale à tt ou à — ir. En écartant ce cas d'exception, la valeur principale de l'angle (OM, OM') est positive ou négative, suivant que l'angle de OM et de OM' considéré comme une figure géométrique a, ou non, la même disp<H sition que l'angle (OX, OY) considéré aussi comme une figure géométrique.

La somme des deux angles (OM, OM') et (OM', OM) est nulle ou égale à un multiple de itz.

Si l'on considère trois directions à partir du point O ou, si l'on veut, trois points M, M', M* sur le cercle, il est clair qu'on peut se mouvoir sur le cercle, à partir du point M, de manière à rencontrer d'abord le point M', puis le point M'; on voit ainsi qu'il existe une détermination des angles telle que l'on ait