A(BG) = (AB)C

(3) (A-hB)G ^ AC-4-GB,

(4) Axi = A,

auxquelles je joins encore celle-ci :

que j'ai signalée plus haut comme une définition.

NOMBRES IRRATIONNELS. 3l

Les égalités (i), (2) expriment ce que l'on appelle les propriétés commutathe et associative de la multiplication, Tégalité (3) la propriété distributive relativement à l'addition.

Les propositions bien connues relatives a un produit de plusieurs facteurs se déduisent sans peine de celles qu'on vient d'écrire. Il en est de même de celles qui concernent les exposants,

A chaque nombre A, non nul, correspond son inverse B, tel que l'on ait AB = i. Supposons d'abord que A soit positif, la séparation des nombres rationnels en classes qui définit le nombre B s'obtiendra comme il suit : dans la première classe on range tout nombre qui est l'inverse d'un nombre rationnel plus grand que A, le nombre o et les nombres négatifs ; dans la seconde classe, tout nombre qui est l'inverse d'un nombre rationnel positif plus petit que A.

11 est bien aisé de voir que cette définition implique l'égalité AB = i et qu'elle est nécessitée par cette égalité.

Si le nombre A est négatif, son inverse est un nombre négatif dont la valeur absolue est l'inverse de la valeur absolue du nombre A.

Si B est l'inverse de A, A est l'inverse de B. L'inverse de A se représente par -j-'

Le nombre o ne peut avoir d'inverse, à cause de l'égalité (5).

Les deux nombres A, B étant donnés, et le second n'étant pas nul, le rapport de A à B, ou le quotient (exact) de A par B, est, par définition, un nombre x tel que l'on ait

Ce nombre est unique et s'obtient en multipliant A par l'in\erse

de B; c'est ce qu'on reconnaît sans peine en copiant le raisonnement

A qui a été fait pour la soustraction : il se représente par -^ ou A ; B.

Les propriétés qu'expriment les égalités