AB' "" AB

se démontrent comme dans les éléments de TAlgèbre.

3i CH\PITRE I.

19. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les définitions et démonstrations ont été données de façon à s'appliquer aussi bien aux nombres rationnels qu'aux nombres irrationnels, et que, quand il s'agit de nombres rationnels, les définitions des opérations sont d'accord avec les définitions classiques.

Les propositions fondamentales relatives au calcul des nombres rationnels s'étendent donc au calcul des nombres irrationnels ; il en est de même de toutes les conséquences qu'on en déduit dans les éléments de r\lgèbre, conséquences sur lesquelles je crois inutile d'insister.

En particulier, les règles élémentaires relatives aux combinaisons d'inégalités résultent de ces propositions. V^oici quelques applications importantes de ces règles au sujet qui nous occupe.

Si A est un nombre quelconque, il y a, parmi les nombres (rationnels) de la classe inférieure relative à A et ceux de la classe supérieure relative à A, des nombres qui diffèrent de A aussi peu qu'on le veut : en effet, il y a dans les deux classes des nombres qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on le veut et leur différence mutuelle est plus grande, en valeur absolue, que la différence de l'un ou l'autre d'entre eux avec A.

Si, en représentant par a un nombre rationnel positif, on désigne par /ja et (/i -4- i)a les valeurs approchées de A à a près par défaut et par excès, il est maintenant permis d'écrire, quel que soit A, les inégalités /ia£ A <1 (/i H- i)a et de dire que la différence entre nx ou (/? -h i)a et A est, en valeur absolue, au plus égale à a. Chacune de ces différences, évidemment variables avec a, reste plus petite que tel nombre positif qu'on voudra, pourvu que a reste lui-même suffisamment petit; c'est ce qu'on exprime en disant que les valeurs approchées de A à a près, par défaut ou par excès, ont pour limite A, quand a tend vers zéro.

Plus particulièrement, si l'on désigne par it,t la valeur approchée de A à — - près, par défaut, on dira que u,t a pour limite A, quand n augmente indéfiniment, ou que la suite W|, //j, . . ., u,,^ ... a pour limite A, pour dire que la différence entre A et u,t reste, en valeur absolue, plus petite que tel nombre positif qu'on veut, pourvu que n soit suffisamment grand. La même façon de parler s'applique naturellement aux valeurs approchées, à — - près, par excès.

On est assuré que les deux nombres A, B sont égaux lorsqu*on peut prouver que leur différence A — B est moindre, en valeur absolue, que tel nombre positifs que l'on \eut. En effet, si les deux nombres n'étaient pas égaux, leur différence ne serait pas nulle et, en prenant e inférieur à la valeur absolue de cette différence, il serait impossible que la valeur absolue de A — B fût moindre que c.

Plus particulièrement, comme Ton a, quel que soit a,

on est assuré de l'égalité des deux nombres A, B, quand on est assuré de pouvoir trouver des nombres a dont la différence avec A et B soit moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif que Ion voudra. Par exemple, si l'on sait seulement que les classes inférieures relati\es aux nombres A, B sont identiques, sans rien savoir sur les autres classes relatives à ces deux nombres, on peut affirmer que ces deux nombres sont égaux; il y a, en effet, dans la classe inférieure commune à A et à B, des nombres rationnels a qui approchent autant qu'on le veut de A et de B.

C'est sur les propriétés fondamentales des opérations, ou sur les combinaisons d'inégalités résultant de ces propriétés, qu'on fonde en arithmétique la théorie des erreurs et des calculs approchés ; cette théorie s'applique sans difficulté aux nombres irrationnels dont on a des valeurs approchées (*). Connaissant des valeurs rationnelles a,

(*)Les mots valeur approchée peuvent élre pris dans des sens différents, qu'il importe de distinguer.

Les valeurs approchées d'un nombre a, à a près, par défaut et par excès, ont élc définies d'une façon précise aux numéros 5, 13.

Quand on dit une valeur approchée du nombre A, sans épithèle, on entend simpiemeot un nombre a qui diffère peu de A, un nombre tel que la valeur absolue de Verreur A — a que Ton commet en remplaçant A par a soit petite : Sur le sens des mots petit ei grand, je donnerai tout à l'heure quelques explications. Si l'on dit d'oQ nombre a qu'il est une valeur approchée de A avec une erreur moindre que le nombre positif a, on entend que la valeur absolue de la différence A — a est moindre que a ou, ce qui revient au même, que A est compris entre a — aeta + a:a n'est pas nécessairement alors une valeur approchée de A à a près, sauf dans le cas où a est de la forme /ta, n étant un nombre entier, positif ou nul; si les représentations décimales des nombres a — a, a + a coïncident dans leurs premiers chiffres, ceux-ci appartiennent à la représentation décimale de A.

Voici maintenant quelques observations sur la signification des mots petit, grand, auxquels le lecteur est prié de se reporter à l'occasion : il ne s'agit ici que des va-

6, c, . . . , approchées de nombres quelconques A, B, C, • . . et des limites supérieures des \aleurs absolues des erreurs A — «, B — i, C — r, . . . , on sait calculer une limite supérieure des erreurs commises en remplaçant dans une addition, une soustraction, une multiplication, une division, les nombres exacts par leurs valeurs approchées ; on sait trouver aussi, pour ces diverses opérations, une limite de l'erreur qu'il est permis de commetire sur les nombres approchés pour que Terreur sur le résultat ne dépasse pas une limite donnée.

Si, par exemple, on veut avoir le produit du nombre

avec une erreur moindre que 9 on pourra substituer à ces nombres les va-

leurs e' = 2,7183, ?:'= 3,i4i6, approchées toutes les deux par excès a\ec une

leurs absolues. Il restera d'ailleurs, dans remploi de ces termes, une certaine imprécision.

Tout d'abord il est nécessaire de distinguer le sens absolu et le sens relatif des mots petit et grand. Quand ces mots sont employés au sens absolu, on doit regarder le nombre i comme n'étant ni petit ni grand; si maintenant il s'agit d'un nombre positif a, le plus simple pour évaluer, dans quelque mesure, sa petitesse ou sa grandeur, parait être de se reporter à sa représentation décimale : si cette représentation comporte une partie entière, non nulle, le nombre a ne sera pas petit; il ne conviendrait guère de le regarder comme grand si cette partie entière ne comporte qu*un chilTre; le nombre de chiffres de cette partie entière fournira une évaluation grossière de Tordre de grandeur de a. On voit le vague qui subsiste dans cette définition, puisque deux nombres entiers, l'un de trois chiffres, par exemple, l'autre de qualre, peuvent différer très peu. Lorsque la partie entière est nulle, le nombre n'est pas grand. Il ne conviendra guère de le regarder comme petit si le premier chiffre décimal n'est pas un zéro : le nombre de zéros qui suivent la virgule avant qu'on rencontre un chiffre autre qu'un zéro fournira de même une évaluation grossière de l'ordrâ de petitesse du nombre, avec la même restriction que tout à l'heure. 11 est clair que l'inverse d'un grand nombre doit être regardé comme petit, que l'inverse d'un petit nombre doit être regardé comme grand. Eo disant qu'un nombre a est :voisin d'un nombre 6, on entend que la valeur absolue de la différence a — b est petite. J'emploierai souvent l'expression ufi nombre voisin de a, pour dire un nombre dont la valeur absolue est petite, afin d'éviter la confusion entre les deux sens du mot petit, suivant qu'il s'agit, ou non, des valeurs absolues.

En disant maintenant qu'un nombre (positif) a tsl petit ou grand par rapport à

un nombre (positif) 6, on entend que le rapport •-. est petit, ou grand, au sens absolu que Ton vient d'essayer de préciser.

Disons de suite que les uiots infiniment petit, infiniment grand, dont on fera ultérieurement usage, ont une signification tout autre; ils ne s'appliquent qu'à des variables : il s'agissait ici de nombres fixes.

NOIIBRES IRRATIONTS'ELS. 35

erreur moindre que -9 l'erreur sur le produit 8,53981 128 sera en trop et

moindre que

•;i.io^ ^ 10*'

le produit cherché sera inférieur à 8,5398*2 et supérieur à 8,5 394; la valeur 8,539 est approchée à un millième près par défaut. On aurait pu se servir aussi, pour atteindre le même but, de la règle de la multiplication abrégée.

J'ajoute enfin une dernière remarque.

Si Ton combine par addition, soustraction, multiplication ou division un nombre rationnel non nul a et un nombre irrationnel A, le résultat est un nombre irrationnel, comme on le voit de suite en raisonnant par l'absurde ; si le produit a A, par exemple, était un nombre

rttionnel é, l'égalité a A = b entraînerait A m - ; A serait rationnel.

La proposition subsiste pour l'addition et la soustraction lors même que a est nul.

Si les deux nombres que l'on combine sont irrationnels, le résultat peut être rationnel ou irrationnel. Par exemple le produit de y/a par y/a est 2, comme on le reconnaît en se reportant aux définitions de y/a et du produit de deux nombres irrationnels : ce fait est d'ailleurs un cas particulier d'une proposition générale, qui sera démontrée au numéro suivant.

§ 2. — CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

20. Définition de la racine m}^"'*. — Soient m un nombre naturel autre que i et A un nombre positif quelconque, la racine ;w'^"*arithinélique de A est un nombre positif qui, élevé à la puissance /w, reproduit A- Un tel nombre, s'il existe, est évidemment unique, puisque la puissance /n**™® d'un nombre positif, plus petit ou plus grand que lui, est évidemment plus petite ou plus grande que A.

S'il y a un nombre rationnel dont la puissance m'''*"*^ soit égale à A, c'est le nombre cherché : ceci ne peut arriver que si A est lui-même rationnel, puisque le produit de plusieurs nombres rationnels est toujours rationnel. .

Supposons inainlenant qu^Il n'y ait aucun nombre rationnel posilîf dont la puissance m'*™*' soit égale à A ; alors les nombres rationnels positifs pourront se séparer en deux classes; on mettra dans la première tous ceux dont la ni*'"*^ puissance est moindre que A, dans la seconde tous ceux dont la m'*"'* puissance dépasse A : les nombres de la première classe sont tous plus petits que n'importe quel nombre de la seconde classe; on a donc défini une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels positifs ; cette coupure définit elle-même un nombre B; le produit de m nombres rationnels positifs plus petits que B est au plus égal à la puissance m'*"** du plus grand d'entre eux, qui appartient à la première classe : cette puissance m'^"® est donc moindre que A : le produit de m nombres rationnels positifs moindres que B est inférieur à A ; de même le produit de m nombres rationnels plus grands que B dépasse A. A est donc, en vertu de la définition de la multiplication, égal au produit de m nombres égaux à B, égal à B'". B est la racine m'*™* de A; cette racine se représente par J/A ; Vindice m se supprime habituellement quand il est égal à 2.

Lorsque A est nul, sa racine m'*""*' est nulle aussi.

Lorsque A est négatif, il y a lieu de distinguer deux cas, suivant que m est pair ou impair.

Si A est négatif et m pair, il n'y a pas de nombre réel ( *) dont la puissance m**"* soit égale à A, puisque la puissance m'^*"® de o est o, et que la puissance /n**^^"**^ d'un nombre positif ou négatif est un nombre positif. Le symbole "\fK est dénué de sens.

Si A est négatif et m impair, il y a un nombre et un seul dont la puissance m*^*"'* est égale à A, c'est le nombre négatif — '(/| A | (=*); il serait légitime de remplacer ce symbole par y, 'A; toutefois il nous sera commode, dans ce qui suit, de supposer que les nombres dont on prend la racine ne sont jamais négatifs.

Remarquons enfin que, si A est positif, et si m est pair, il y a deux nombres réels dont la puissance /n*^"** est égale à A, et seulement deux. ^A représentera toujours dans ce qui suit le noiwhve positif unique dont la puissance m'*""' est égale à A ou, comme on dit, la racine m'*^^'"*^

(*) Je rappelle que les nombres réels sont le nombre o et les nombres relatifs dont la valeur absolue est un nombre rationnel ou irrationnel; les nombres réels ont seuls été définis jusqu'ici.

(*) Le symbole | A | s'énonce et veut dire valeur absolue de A.

arithmétique de A; la puissance m'*"'* du nombre négatif — '[/A est aussi égale à A; c^est d'ailleurs le seul nombre négatif qui jouisse de cette propriété, puisque la puissance m'*"* de la valeur absolue d'un tel nombre doit être égale à A, en sorte que cette valeur absolue est le nombre ^A, défini plus haut. Lorsque m est impair, il n'y a pas de nombre négatif dont la puissance //i'*^"'* soit égale au nombre positif A.

Diaprés les conventions qui précèdent, on doit écrire /«*= a ou v^«* = — a, suivant que a est positif ou négatif : on a, dans tous les cas, v^= | ci |.

SI. Je répète encore une fois que, dans ce qui suit, les nombres dont on écrira les racines seront toujours supposés positifs ou nuls, ainsi que les racines elles-mêmes. Pour prouver qu'un nombre B est la racine /n*®"*^ arithmétique d'un nombre positif A, il suffira de prouver que ce nombre est positif et que sa puissance m'*'"® est égale à A.

Pour extraire la racine m'^'"* d'un produit de nombres positifs, ou du rapport de deux nombres positifs, on peut extraire la racine m^*"* de chacun des facteurs du produit, ou de chacun des termes du rapport: en d'autres termes, si a, é, c, ..., /représentent des nombres positifs, on a

Dans les deux égalités, les deux membres sont essentiellement positifs; pour démontrer la première il suffit de prouver que la puissance m*^"* du second membre est égale à abc.l; or, cela résulte de ce que la puissance m'*"* d'un produit s'obtient en élevant chacun des facteurs à la puissance m, La seconde résulte de même de la règle pour élever un rapport à la puissance m.

Si a et A: sont des nombres positifs, on a

en effet, le second membre d'après l'égalité (i) est égal à y/ A*'" y/a, et par conséquent à k"[/â.

Par exemple 2 ^1 est égal k ^S,

L'ëgalîlé (3) permet de faire entrer un facteur positif sous un radical qui le multiplie; on fait passer le facteur sous le radical, en l'élevant à la puissance marquée par l'indice du radical ; inversement on peut faire sortir à\\n radical, dont Findice est m, un facteur qui est une puissance m*^"*' exacte, en extrayant la racine m**™* de ce facteur.

Si, a étant toujours positif, k était négatif et si m était pair, A:*" serait positif; on aurait alors

le dernier membre est positif comme le premier.

Si dans l'égalité (i) on suppose que les nombres rt, />, . . ., / soient égaux et qu'il y ait/> de ces nombres, elle devient

Ainsi, pour élèvera la puissance/;**"*la racine /n'^^'^d'un nombre positif, on peut élever ce nombre à la puissance />, et en extraire ensuite la racine m'^"***; on dit, dans le même sens, que, pour élever un radical Jindice m à la puissance /?, il suffit d'élever à la puissance /? la quantité sous le radical ou, ce qui revient au même, de multiplier par y? l'exposant dont est affectée cette quantité sous le radical.

Pour le même objet, on peut tout aussi bien, lorsque l'indice dn radical est un multiple de p, diviser cet indice par p\ en d'autres termes, si l'on suppose m = pq^ q étant entier, on a

les deux membres de cette égalité étant positifs, il suffit, pour prouver leur égalité, de montrer que leurs puissances //'*'"*"^ sont égales; la

puissance ^r-*"* du second membre est a, celle du premier est ( v'^)''^ ou a.

Pour extraire la racine ^**"« d'un radical, il suffit d'en multiplier indice par/>; en d'autres termes, on a

(6) V7^="";fr..

Il suffit eu effet de prouver que les puissances mp^^^^* des deux membres sont égales ; celle du second membre est évidemment a ; celle

NOMBRES IRRATIONNELS. Sg

du premier peut s'obtenir en Télevant d'abord à la puissance />, ce qui donne y' a, puis en élevant le résultat à la puissance m, ce qui donne encore a. L'égalité (6) entraîne évidemment la sui\anle

.7) Wa = l^^,

qui peut s'énoncer ainsi : pour extraire la racine />•*"** d'un radical d'indice /w, il suffît d'extraire la racine/?*^'"'' de la quantité sous ce radical. Si la quantité sous le radical est une puissance yo'^"'*"; si, en particulier, elle est mise sous la forme d'une quantité affectée d'un exposant qui soit un multiple de p^ il suffira, pour extraire la racine /?••""', de diviser cet exposant par p. On a, en d'autres termes,

(8) \l"Yb^n= sl'/bFi=.'yVi,

Par exemple : ^'2^= V V^^^ = \/2.

Si un radical porte sur une quantité affectée d'un exposant, si l'indice du radical et l'exposant de la quantité sous le radical ont un facteur commun, on peut supprimer ce facteur; en d'autres termes, on a

le premier membre est en effet égal à la racine ^»«"'« de \/a''^ ou de a'\ Cette proposition permet de simplifier un radical en divisant l'indice du radical et l'exposant de la quantité sous le radical par leur plus grand commun diviseur.

On a par exemple

Inversement, on peut évidemment multiplier par un même nombre naturel l'indice d'un radical et l'exposant de la quantité sous le radical.

Cette remarque permet, étant donnés plusieurs radicaux d'indices différents, de les remplacer par des radicaux égaux, et de même indice. On peut prendre pour l'indice commun le plus petit commun multiple des indices donnés. On élèvera la quantité placée sous chaque radical aune puissance dont l'exposant est le quotient du plus petit commun multiple par l'indice de ce radical.

4o CHAPITRR I.

Si, par exemple, on considère les radicaux /i, {^2, ^5, y^j, on pourra les remplacer par

IX^'. l/^. iX^. IX?;

on aura, d'après l'égalité (1),

v/3 v^i V^ V^7 = î/31^.28.5^7»; on aurait de même

22. Exposants fractionnaires. — L'analogie entre la simplification des radicaux, la réduction de plusieurs radicaux à un même indice et la simplification des fractions, la réduction des fractions au même dénominateur est bien évidente ; elle suggère naturellement la notation des exposants fractionnaires, que je vais expliquer.

Soit a un nombre positif : l'expression a" est définie en Arithmétique comme le produit de n facteurs égaux à a; elle n'a de sens que si n est un nombre naturel; on va lui en donner un quand n est une fraction ^ dont les termes sont des nombres naturels /?, y : on a alors,

par définition,

si q est plus grand que i ; lorsque q est égal à i , on donne à cà la

même signifiration qu'à aP.

p Le symbole ol^ conserve la même valeur quand on remplace — par

une fraction égale.

En effet, supposons d'abord que p soit divisible par q et que l'on ait/? = /i5r, n étant un nombre naturel; on a, par définition,

et le second membre est égal à a" : le résultat sera évidemment le ixiéme si l'on remplace la fraction —par une autre fraction égale à n.

Si p n'est pas divisible par q^ soit ^ la fraction irréductible égale

à -, on aura p = p' r, q = r/'r, en désignant par ;• un nombre naturel ;

par définition, c^ ou a'''' est égal à UaP''' = \JaP*\ le résultat sera

évidemment le même si Ton remplace - par n'importe quelle autre

fraction égale, puisque celle-ci devra être égale à la même fraction

irréductible -, •

Avec cette notation, les règles relatives à la simplification d'un radical, ou à la réduction de plusieurs radicaux au même indice sont les mêmes que les règles relatives à la simplification d'une fraction, :i la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.

Mais il y a plus, les autres règles relatives au calcul des exposants sY'lendent à ces exposants fractionnaires : ces règles, que le lecteur traduira s'il le veut en langage ordinaire, s'expriment par les égalités suivantes, où a désigne toujours un nombre positif, où/;, q^ />', cf dé- Mgnent des nombres naturels, d'ailleurs quelconques,

/' Pi t^t.

(1) cJi.a!f'=c^ 'f,

/ ly pp:

Considérons d'abord la première de ces égalités, elle a besoin de quelque explication : le second membre en effet n'a pas été défini : on n'a défini que les quantités affectées d'un exposant représenté par

une fraction à termes entiers. 11 faut entendre que - -+• ^ est remplacé parla fraction à termes entiers — — A^> qui, en vertu des règles de r Arithmétique, est la somme des deux fractions -> ^î ou par une fraction égale à — ^-2. Ces explications une fois comprises, la démonstration de l'égalité (i) est immédiate : le second membre est, par définition,

7/ HT/ 77/ */— 7 y r

4t2 CHAPITRE I.

le dernier membre, d'après la définition des exposants fractionnaires, n'est autre chose que le premier membre de Tégalilé à démontrer.

Il est bien aisé de voir que la règle qu'exprime l'égalité (i) pour deux facteurs s'étend à un produit de 3, 4j • • • facteurs.

L'égalité (2) suppose, pour qu'elle ait un sens, que l'on ait— > — ,»

on pq'^p'q] on doit entendre le second membre, de la même façon que le second membre de l'égalité (i), c'est-à-dire que l'expo-

sant — — —, doit être remplacé par la fraction à termes entiers q q' r r

-, ou par une fraction égale; elle se démontre soit comme

l'égalité (1), soit en constatant que, en vertu de l'égalité (i), les

EL deux membres deviennent égaux quand on les multiplie par a'^.

L'égalité (3) est évidente si q et q' sont égaux à i; la démonstration est immédiate si (^ est égal à i .

Je me borne au cas où q et q' sont plus grands que i , le premier membre de l'égalité (3) représente, en vertu des définitions, la puis-

sance p' de la racine q^ de la quantité a''= \/aP\ en d'autres termes, ce premier membre est égal à

or, la quantité élevée à la puissance p' n'est autre chose que W ^i^et, pour élever cette quantité à la puissance /?', il suffit de multiplier par p' l'exposant p de la quantité sous le radical; on obtient ainsi

x/clPp'i qui est la définition même du second membre.

Cette égalité (3) contient, comme cas particuliers, les règles suivantes, où r désigne un nombre naturel.

Pour élever une quantité affectée d'un exposant fractionnaire à la puissance r, il suffit de multiplier par r le numérateur de l'exposant.

Pour extraire la racine r**"® d'une quantité affectée d'un exposant fractionnaire, il suffit de multiplier par r le dénominateur de l'exposant.

Exposant zéro. — L'égalité (2) n'a pas de sens quand on a - = Aelle reste toutefois vraie si l'on convient de regarder a® comme

égal à i; c'est une convention qui sera adoptée dorénavant. 11 est clair qu'en adoptant cette convention, on a les égalités analogues aux

égalités (i),(2>, (3)

r Ji.

en d'autres termes, les règles de calcul relatives aux exposants se conser\'ent, avec cette nouvelle extension.

Exposants négatifs. — Les exposants rationnels que Ton a considérés étaient des nombres absolus, entiers, fractionnaires ou nuls. Conformément aux conventions de l'algèbre, on confond, ici encore,

les nombres positifs avec leurs valeurs absolues; a"*"^, a ^ ont, par

définition, le même sens que a^, ar.

On va, maintenant, définir les puissances négatives d'un nombre positif a.

On a, par définition, en désignant par a un nombre rationnel positif (ou absolu)

d'une façon plus explicite, si - est une fraction égale a a dont les termes soient des nombres naturels, on a

l'égalité (4), qui peut s'écrire «"*.«*= i, pour s'énoncer en disant que, si l'on élève un même nombre positif a à deux puissances rationnelles qui soient des nombres symétriques a et — a, on obtient deux nombres inverses l'un de l'autre; on voit dès lors qu'elle

subsiste, lors même que a est négatif. En se reportant à la définition de l'exposant o, on voit qu'elle est encore vraie quand a est nul.

Les règles relatives au calcul des exposants subsistent avec cette nouvelle extension, c'est-à-dire que l'on a, quels que soient les nombres rationnels a, ^ positifs, nuls ou négatifs,

(5) * a«.aP=a«-^-P,

(6) a«:aP=a»-P,

On doit entendre la première égalité, par exemple, de la façon suivante : dans le second membre, a + ^ doit être remplacé par la fraction ifc ^, à termes entiers positifs/?, q que l'on obtient en effectuant la somme a H- P, d'après ks règles de l'arithmétique et de l'algèbre élémentaire, et a*+P doit être regardé comme égal à y/aP ou à —^

suivant que la somme a -j- P est égale à 4- — ou à — — • Si a 4- [i était nul, a*"*"P devrait être regardé comme égal à i . Les autres égalités s'interprètent de la même façon.

Lorsque a et ^ sont positifs ou nuls, l'égalité (5) résulte des règles relatives aux exposants positifs ou nuls.

Si a est positif et si p = — ^' est négatif, le premier membre de l'égalité (5) est, par définition, égal à

a«.-T77 = aaïaP'.

Si P' est égal ou inférieur à a, le second membre est égal à a*~&'; mais a — P' est alors égal à a -f- p, l'égalité (5) est vérifiée. Si ^' était supérieur à a, on aurait

a« : aP' = ». ^ = a-<?'-*\

la dernière égalité résultant de la définition des exposants négatifs, puisque P' — a est positif; mais — ( P' — a) n'est autre chose que a -4- P; l'égalité (5) est encore vérifiée.

Si a est négatif et p positif, l'égalité (5) est encore vraie, comme on le voit en échangeant les deux nombres a, ^ : on est ramené au cas précédent.

Si X = — a' et P = — p' sont tous deux négatifs, !e premier membre de l'égalité (5) est, par définition, égal à

Enfin, on reconnaît sans peine que l'égalité (5) est encore vraie quand l'un ou l'autre des nombres a, ^ est nul.

L'égalité (6) est contenue dans l'égalité (5) : en effet, on a, dans tous les cas,

et, par suite,

^* « ft —5. = a«.a-p; a?

or le second nombre, en vertu de l'égalité (5), est égal à a élevé à la puissance a -f- ( — P) = * — P«

Enfin l'égalité (7) se démontre encore, dans tous les cas, en remontant aux définitions et aux règles pour la multiplication des nombres relatifs.

23. Exposants irrationnels. ~ Il reste, pour compléter ce sujet, à définir a* quand a est irrationnel : on suppose toujours a >> o ; j<; vais commencer par supposer a>>i. Le nombre irrationnel a est défini par une coupure qui sépare les nombres rationnels en deux classes, la classe inférieure qui comprend tous les nombres rationnels plus petits que a, la classe supérieure qui comprend tous les nombres rationnels plus grands que a. Par définition, a* sera un nombre plus grand que tout nombre obtenu en élevant a à une puissance dont l'exposant est un nombre (rationnel) de la classe inférieure^ relative à a, plus petit que tout nombre obtenu en élevant a à une puissance dont l'exposant est un nombre (rationnel) de la classe supérieure, relative à a.

On montrera qu'il y a bien là une définition du nombre a*, en prouvant que chaque nombre obtenu en élevant a à une puissance rationnelle a'<;a est inférieure n'importe quel nombre obtenu en ^Hevanl a à une puissance rationnelle ^">(i^ et que, parmi les nombres de la première et de la seconde espèce, il s'en trouve

qui dlflerent aussi peu qu^on le veut; on s'aidera enfin, pour compléter la démonstration, d'une image analogue à celle du n** 10.

24. I* Je vais prouver que, si a' et i? sont deux nombres rationnels, dont le premier est inférieur au second, on a

cette inégalité équivaut évidemment à la suivante :

a" — a' est un nombre rationnel positif : l'égalité précédente sera donc établie si l'on montre qu'en élevant un nombre a plus grand que i à

une puissance rationnelle positive -> on obtient un nombre plus

grand que i ; en d'autres termes, on a

aP est le produit de p facteurs égaux à a, donc plus grands que i; aP est plus grand que i : l'inégalité précédente sera établie si Ton prouve que la racine y»^"« d'un nombre A plus grand que i est ellemême plus grande que i; or elle ne peut être plus petite que i, puisque la puissance y**™* d'un nombre plus petit que \ est plus petite que I et ne peut donc être égale à A ; la racine y»*^»»*^ de A ne peut pas non plus être égale à i puisque la puissance y»ème j^ j est i . La racine y»*"* de A est donc plus grande que i . La proposition énoncée et l'inégalité (i) sont établies.

2'* Je vais prouver, en désignant par a', d' des nombres rationnels assujettis seulement à être inférieurs, en valeur absolue, à un nombre positif fixe /•, que les nombres a*', a*' sont aussi voisins qu'on le veut, pourvu que a' soit suffisamment voisin de a" : on a, en supposant a'<I a",

les deux facteurs du second membre sont positifs, puisque, a" — a' étant positif, on a a^"'^' — i >» o; le facteur a*' est d'ailleurs moindre que a'', puisque a' est plus petit que /•; on a donc en posant, pour

N0MBAE8 IIBATIOIQIBLS. 4?

abréger, a"— a' =3,

o < a«' — a*'< a''(aP— 1);

pour établir la proposition énoncée, il suffit de prouver que la quantité qui figure dans le dernier membre des inégalités précédentes est plus petite que tel nombre positif e que Ton voudra, pourvu que ^ soit suflisamment petit.

Or, si Ton désigne par m la valeur approchée de ^ par excès, à une unité près, on aura

m>Q> P<— » a^<^a*" ou "y/ a

et, par conséquent,

o < aP — I < ")/a — I ;

lout est donc ramené à montrer que le nombre positif \^a — i est plus petit que e'= — > pourvu que Ton prenne m assez grand; en d'autres termes, que Fune ou l'autre des inégalités équivalentes

est vérifiée, pourvu que Ton prenne le nombre naturel m assez grand.

Le nombre (i+e')'" étant supérieur à i +/ne' (*), il suffira de

(') Ceci se démontre de proche en proche : on a évidemment

en admettant que, pour le nombre naturel /i, on ait

(H- e)">i-t-«c, on en conclut, en multipliant les deux membres par (i + e)> que Ton a

(i-h e)'»+*>(x-h/i€)(i-4- s) ou l-h (« -f-i)s -h /12'

et, par suite,

la proposition est vraie pour /i ^ 2, 3, ... ; elle est générale.

prendre m assez grand pour avoir \-\- mt'> a\ de prendre, par exemple, m supérieur à la partie entière de

-ir - i

Notons en passant que Ton a établi la proposition suivante : Si a', cl" sont des nombres rationnels plus petits en valeur absolue c|ue le nombre positif r, on aura

la*"— a*'| < e

pourvu que la valeur absolue de a" — a' soit inférieure à — > en désignant par m la partie entière de — > augmentée d'une unité.

Sous cette forme la proposition ne suppose pas a'<; a".

25. Revenons à la définition de a*, quand a est un nombre quelconque. Si l'on désigne par a', a*' des nombres rationnels tels que l'on ait

et d'ailleurs quelconques, on aura

Il y a des nombres rationnels a', n" satisfaisant à la condition (i) qui sont aussi voisins qu'on le veut, et tels, par conséquent, que a*' et a*' soient aussi voisins qu'on le veut.

Imaginons que, sur l'axe X'X, on ait marqué en bleu tous les points dont Tabscisse est de la forme «*', en rouge tous les points dont l'abscisse est de la forme a^' ; chaque point bleu est en deçà de chaque point rouge. Au delà de chaque point bleu, par exemple du point a"', il y a d'autres points bleus, par exemple le point a*'», ou prenant pour a'^ un nombre rationnel satisfaisant aux conditions

de même, en deçà de chaque point rouge, il y a d'autres points rouges. Colorons en bleu la partie de l'axe qui est à gauche de n'importe

quel point bleu, en rouge la partie de Taxe qui est à gauche de n'importe quel point rouge. Appelons point blanc tout point (s'il y en a) qui n'est coloré ni en bleu ni en rouge. La partie bleue n'empiète pas sur la partie rouge; entre les parties rouge et bleue il n'y a pas (rintervalle blanc, puisqu'il y a des points bleus et des points rouges aussi voisins qu'on le veut.

La partie bleue et la partie rouge ne peuvent être séparées que par lui point, en deçà duquel sont les points bleus, au delà duquel sont les points rouges, qui ne peut être un point bleu, puisque au delà de tout point bleu il y a encore des points bleus, qui ne peut être un point rouge, puisqu'en deçà de tout point rouge il y a encore des points rouges. C'est ce point de séparation dont l'abscisse est, par définition, le nombre a^.

Cette image, toute grossière qu'elle est, donnera au lecteur une idée suffisante de ce qu'est le nombre a" quand a est irrationnel.

Quant à la définition abstraite de la coupure qui constitue la définition abstraite de a*, il suffira de dire, en conservant aux nombres a', ^ la même signification que plus haut, qu'on range dans la classe inférieure tout nombre rationnel qui est inférieur ou égal à un nombre de la forme a"', dans la classe supérieure tout nombre rationnel qui est supérieur ou égal à un nombre de la forme a*'. De ce qu'il y a des nombres de la première et de la seconde forme qui sont aussi voisins qu'on veut, on déduit sans peine que, si un nombre rationnel échappe à la classification, il est seul à échapper à celte classification, et constitue la classe intermédiaire du n° 12; ce nombre rationnel unique est alors a*. Si aucun nombre rationnel n'échappe à la classification, on a aOaire au premier mode de classification du n" 12; il définit alors le nombre irrationnel a". Il est aisé de démontrer, sous forme abstraite, que, dans un cas comme dans Tautre, le nombre a« est plus grand que tous les nombres de la forme a"', plus petit que tous les nombres de la forme a*".

Lorsque a' et a"' sont très voisins de a, et, par conséquent, très voisins l'un de l'autre, les nombres aP-\ a*' fournissent des valeurs approchées de a*, par défaut et par excès, avec une errreur moindre que a** — a*'; on a donné à la fin du numéro précédent une limite supérieure de cette erreur, qui peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu qu'on prenne a' et a" suffisamment voisins. Quant aux nombres a*', a"", on peut les calculer avec telle approximation T. 4

5o CHAPITRE I.

que l'on veut, par des extradions de racines. La définition du nombre «* fournit ainsi un moyen de le calculer approximativement.

Quand on se donne l'un des nombres rationnels a', a'', très voisin de a, on peut choisir l'autre aussi très voisin de a et, par conséquent, très voisin du premier. Il suit de là que l'erreur qui consiste à remplacer a'^ par a*', ou a^\ peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu qu'on suppose a', ou a", suffisamment voisin de a.

La propriété fondamentale qu'exprime l'égalité

(I) a«.aP=aa+P

subsiste quels que soient les nombres a, (ri. Si l'on désigne, en eflet, par a', a" et P', P" des nombres rationnels tels que l'on ait

on aura, en vertu de ces inégalités et de la définition de a*, aP,

a«' < «« < a«% aP' < aP < a?',

d'où il résulte que le produit a<*.aP est compris entre les produits a«'.aP'= a«'+P' et a»".aP"= a«"+P''; mais a'H- .3' et a" 4- ^' sont des nombres rationnels qui vérifient les inégalités

et il résulte de la définition de a""*'P que ce nombre doit, comme le produit a*.aP, être compris entre a<*'+P' et a'^"'^^" \ or, les nombres rt! et a" d'une part, P' et ^ de l'autre peuvent être pris assez voisins pour que les deux nombres a'-i-|5' et a"+P'' et, par suite, les nombres a*'"*"P' et a^"'^^" dlfl'èrent aussi peu qu'on le veut : il ne peut donc y avoir aucune différence entre les deux nombres a^,a^ et a^+P, qui peuvent être compris entre des nombres aussi voisins qu'on voudra.

En supposant ^ = — a dans Tégalité ( i ) et en se rappelant qu'on a a<*= 1, on obtient

puis, en changeant dans la même égalité ^ en — ji, et tenant compte

NOMBRES IRRATIONNELS. 5l

de la propriété qu'on \ient d'établir,

Pour la définition de a*, j'ai supposé a > i; cette supposition n'a rien d'essentiel. Si a est un nombre /?05«V£/' plus petit que i, on peut reprendre la suite des propositions qui aboutit à la définition de a* avec quelques modifications, dont la principale consiste en ce que l'on a, en désignant par a', a" deux nombres rationnels, dont le premier est le plus petit, a*'> «*" au lieu d'avoir ^.*'<; a*". On évitera ce recommencement en remarquant que, si a est un nombre positif plus petit que i, il est l'inverse d'un nombre b plus grand que i, et, en définissant a" par l'égalité

la propriété fondamentale ( i ) subsiste encore.

Si a est égal à i, 1°^ est regardé comme égal à i, quel que soit a; o* est regardé comme égal à o si x est positif; ce symbole n'a pas de sens quand a est nul ou négatif. Lorsque a est négatif, le symbole a^ n'a de sens que si a est un nombre entier, ou une fraction irréductible à dénominateur impair; il n'a pas de sens, en particulier, quand a est irrationnel.

Il resterait à montrer que la propriété qu'exprime l'égalité

établie lorsque a, ^ sont des nombres rationnels, subsiste dans tous les cas; afin d'éviter quelques longueurs, je renverrai cette démonstration à un autre Chapitre.

On peut enfin remarquer, en revenant au cas où a est plus grand que I, que la proposition qui termine le numéro précédent ne suppose nullement que les nombres a', a" soient rationnels; la démonstration de cette proposition repose, en efl'et, sur des propriétés qui ont maintenant été étendues au cas des exposants irrationnels. II en est de même de cette inégalité

qui a été le point de départ des explications du n**2o; elle reste vraie, en supposant a'<a", lors même que a' et a'' seraient irrationnels; elle équivaut, en eflet, à l'inégalité a*'^"*'^!, dans laquelle a"— a' est positif; or ^P, si ^ est positif, est plus grand que i , puisque Ton a, en désignant par P' un nombre rationnel positif plus petit que p, rt?^ aP' et que aP' est plus grand que i .