Considérons quelques exemples simples

ri.'. 33.

Soit d'abord f(z) = z-^ k, \ étant un nombre imaginaire quel-

conque; d'après le n° 97, le point ^ + A se clécluipa du point z en lui faisant subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point A : En d'autres termes, le vecteur qui va du point z au point 5 + A est équipollent au vecleur fixe qui va du point O au point A.

Quand le point z décrit une courbe quelconque, le point 5 + A décrit une courbe égale : on passe de la première courbe à la seconde par la translation qu'on vient d'expliquer; de même, quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, le point s + A est assujetti par là à rester dans une région égale, qui se déduit de la première par cette même translation.

Soit /(z) = Kz, Désignons par a la valeur absolue de A : On commencera par déduire du point z un point z\ homothétique du point z

Fig. 34.

par rapport au centre O, le rapport d'homothétie étant a; le point z' sera l'image du nombre az\ puis on fera tourner le vecteur qui pari du point O pour aboutir au point ^ d'un angle égal à l'argument de A; Textrémité du vecteur viendra au point A^ ; c'est ce qui a été expliqué au n" 97; le point A.z se déduit donc par une homothétie, définie par son centre (le point O ) et son rapport (le nombre positif rt), suivie d'une rotation effectuée autour du point O, rotation dont Tangle est Targument de A, qui est fixe. Si le point :; décrit une figure quelconque, la figure décrite par le point A:; s'en déduira par une homotliétie, suivie d'une rotation; ce sera une figure semblable à la figure décrite par le point j3, le centre de similitude (le point qui coïncide avec son homologue) étant le point O; elle lui serait homothétique si A était réel, directement si A était positif, inversement si A était négatif. Si le point z décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son

centre au point O, le point Az décrirait, dans le même sens, un cercle concentrique; le rapport des rajons des deux cercles serait a. Si le point z était assujetti à rester dans le premier cercle, le point Az serait assujetti à rester dans le second.

Soit /(z) = Az-i- B. On déduira le point Az du point z, comme on vient de l'expliquer, puis on fera subir à ce point As une translation égale au vecteur qui part du point O et aboutit au point B; si le point z décrit une figure quelconque, le point As + B décrira une figure semblable, mais le centre de similitude ne sera plus le point O. Si le point z décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son centre en O, et de rayon égal à p, le point As -f-B décrirait, dans le sens direct, un cercle ayant pour centre le point B, et un rayon égal k ap, en continuant de désigner par a la valeur absolue de A. Si le point z était assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point As + B serait assujetti à rester à l'intérieur du second.

Soity(s)= s". Désignons par p et par 6 la valeur absolue et l'argument de s; la valeur absolue et l'argument de z" seront respectivement p" et nH; si l'on considère les deux cercles décrits du point O comme centre avec les rayons p et p", le point z sera sur le premier, le point s" sur le second ; s'il faut faire tourner de l'angle 6 la direction positive de l'axe des abscisses pour l'amener à passer par le point z, il faudra la faire tourner de l'angle /i6 pour l'amener à passer par le point s" .

Supposons que p, et par conséquent p'*, soit constant, et que le point z se meuve sur le cercle de rayon p, le point z" se mouvra sur le cercle de rayon p''. Si le point z se meut dans le sens direct, il en sera de même du point s" ; si le point z décrit la ^'*"' partie du premier cercle, dans le sens direct, le point s" décrira, dans le sens direct, le second cercle tout entier; si le point s décrit le premier cercle tout entier dans le sens direct, le point s" décrira n fois le second cercle, dans le même sens; il passe alors n fois par un point quelconque de ce second cercle. Si, pour la position Zq du point s sur le premier cercle, le point s'* est au point Zo sur le second cercle, lorsque le point z aura décrit sur le premier cercle, à partir de s©, la n'*"* partie de la circonférence, le point s" se retrouvera en Zq, ..., les n positions du point z sur le premier cercle pour lesquelles le point s" coïncide avec le point Zq sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans ce premier cercle; ils figurent les n va-

leurs de z pour lesquelles le nombre z" est égal à Zo, les n racines /i'*"*** de Zq , ces résultats sont bien conformes avec ceux des n°* 99, 100. Si le point z était assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point :;" serait assujetti à rester à l'intérieur du second. Les deux cercles coïncident si Ton suppose p = i ; le second cercle est intérieur au premier si p est plus petit que i, extérieur si p est plus grand que i.

Soit /(s) = \z" ; après avoir déduit le point z" du point z^ on déduira le point A^" du point z" par une homotbétie, dont le centre est le point O, dont le rapport est le nombre a = | A|, suivie d'une rotation autour du point O, rotation dont l'angle est l'argument de A. Si l'on suppose encore que le ])oint z décrive, dans le sens direct, le cercle de rayon p dont le centre est le point O, le point A:;" décrira, dans le sens direct, le cercle concentrique, dont le rayon est «p"; il le décrira n fois si le point z décrit une fois le premier cercle.

Soit enfin f{z) =^ Az^-hB. Ayant construit, comme on vient de l'expliquer, le point A:;" en partant du point ;:, on lui fera subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point B, et l'on aura ainsi le point A^^'+B. Si l'on suppose toujours que le point z décrive, une fois autour du point O, le cercle de rayon p, dans le sens direct, le point A3"-hB décrira n fols, dans le sens direct, le cercle déduit du point B comme centre avec le rayon ap", en passant n fois par chaque point de ce cercle; si le point z est assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point A:;" H- H sera assujetti à restera l'intérieur du second.

§ 2. - ÉTUDE D'UN POLYNOME POUR LES VALEURS. DE LA VARIABLE VOISINES D'UNE VALEUR DONNÉE.

lOo. Soit maintenant

/(z) = Ao-+- Ai^ -h A2^2^. . .-h XnZ",

un polynôme en z^ ordonné suivant les puissances ascendantes de z, que l'on veut étudier pour les valeurs de z voisines de o. Désignons par p la valeur absolue de :; et par ao, «i, ...,«/! les valeurs absolues des coefficients Ao, A|, A2, ..., A„ ; La valeur absolue de/(v)

sera au plus égale au nombre «o + ^ip H- • • • + ^«0", au nombre So= <7o -h ^1 + • • • H- ^/M si p est inférieur ou égal à i . L'expression «o-f"«ip+... est un polynôme en p à coefficients réels et positifs; on sait comment elle varie avec p.

Si, en particulier, les premiers termes du polynôme /(s) manquent, si ce polynôme commence par le terme A^g'', on pourra Técrire

zP(Kj,-^ A,,^,;: -h. . .-!- A^z'»-/').

Supposons p inférieur ou égal à 1 , la valeur absolue du polynôme qui multiplie 3" sera au plus égale à Syt,= ap-f- ap^^-\- . . . -f-a„; la valeur absolue du polynôme proposé sera au plus égale à S^ r^P ; si Ton veut qu'elle reste inférieure à un nombre positif e, arbitrairement donné, il suffira de prendre

Revenons au polynôme

/<5) = Ao-h Ai5-i- As^î-h...,

en supposant toujours qu'on ne considère que des valeurs de ;; voisines de o; de même que dans le cas où il ne s'agit que de variables réelles, les expressions

Ao, Aq-- A|-3, Aq-!- Ai5 ~ A*^', ...

constituent des expressions approchées Ae f{z). Considérons par exemple la dernière : la difl'érence f{z) — (Ao+ A, z -f- Aa^-*) n'est autre chose que le polynôme, commençant par un terme en 5-*,

Aa^'-f- Av>3*-^. . .-f- A^j",

dont la valeur absolue, pourvu qu'on ait j^l^i, est au plus égale à Sjû', et reste inférieure à e si l'on suppose p < K/'^ ' Notons encore que le polynôme f(z) pourra être mis sous la forme

f(z) = \o-\- Aiz -^ \iZ^-h Mz^, M étant un polynôme en z dont on sait que la valeur absolue, pourvu

que la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif fixe, reste elle-même inférieure à un nombre positif fixe que l'on sait calculer.

En particulier, pourvu que z soit suffisamment voisin de o, la différence entre /(5) et Aq est petite en valeur absolue : le point /(f) est aussi voisin qu'on le veut du point Aq, avec lequel il se confond quand z est nul, pourvu que le point z soit suffisamment voisin du point O : c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme /(:?) est une fonction continue de z^ pour z = o. Pourvu que p soit moindre

que ^? on a

|/(z)-Ao|<£,

et le point f{z) reste à l'intérieur d'un cercle décrit du point A^ comme centre avec un rayon égal à e. Supposons que Aq ne soit pas nul; on a pu alors choisir e < «o? dans ces conditions le point O est extérieur au cercle de rayon e décrit de A© comme centre; le point f{z) ne peut donc venir au point O : En d'autres ternies, s'il y a un terme constant dans un polynôme, ce polynôme ne peut s'annuler lorsque la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif que l'on sait fixer.

Un polynôme^ dont tous les coefficients ne sont pas nuls et qui s'annule pour ^ = o, ne peut être nul pour les valeurs de z suffisamment voisines de o.

Un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut être nul pour toutes les valeurs de ;;. Deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de z sans être identiques terme à terme (n** 33).

106. Je vais maintenant montrer que si un polynôme f{z) contient un terme constant Aq, on peut trouver des valeurs de ;:, aussi voisines de o qu'on le veut, telles que, pour ces valeurs, on ait

l/(^)|<|Ao|.

Cette proposition nous sera utile un peu plus loin.

Par hypothèse, le polynôme, ordonné suivant les puissances ascendantes de z^ commence par un terme constant A© ; il peut manquer ensuite plusieurs termes; je suppose que le premier terme (non nul)

qui suive Ao soit ApZP'jle polynôme peut se réduire à ces deux termes et avoir la forme Aq+ ApZP; s'il y a d'autres termes, on pourra dans

tous ces termes mettre zP'^*, au moins, en facteur et écrire le polynôme sous la forme

Z = Ao-r- XpZP-h M5/'-»-»;

je ne considérerai que des valeurs de z telles que Ton ait |-5 | < i ; alors la valeur absolue du polynôme M restera inférieure à un nombre positif fixe nij à la somme des valeurs absolues de ses termes, j)ar exemple. Je continuerai de désigner par a^, ap^ p les valeurs absolues des coefficients A©, A^ et de la variable z. Quand z est petit en valeur absolue, les expressions

Ao, Zi= Ao-+- Ay,^/'

constituent des expressions approchées de Z. Lorsqu'on donne à z une valeur numérique, la valeur absolue de la différence entre les deux nombres Z| et A©, la distance entre les deux points Z| et A,» est égale à apoP] on peut la supposer moindre que Uq] il suffit de

prendre pour cela p << 1/—; Terreur commise en su])stituant Z, àZ,

c'est-à-dire M^/*"*"*, est moindre en valeur absolue que /?ip/'"*"* ; en d'autres termes, la distance entre les deux points Z| et Z est moindre que mo/*"*"*; on peut la supposer moindre que OpoP; il suffit de

prendre p < — ^î j^ supposerai p inférieur au plus petit des nombres

2f)8 CHAPITRE VII.

positifs

d'ailleurs aussi petit qu'on le voudra.

Supposons que le point z décrive, dans le sens direct, un cercle de rayon p, et dont le centre soit le point O : le point Z, décrira /) fois, dans le sens direct, un cercle (C) dont le centre sera le point Ao el dont le rayon appP sera moindre que «qi ^^^ sorte que le point O sera certainement extérieur au cercle (C).

Soit K le point du cercle (G) situé entre O et Au sur la droite qui joint ces deux points. Quand le point Z, est en K (il y passe/? fois), le point Z, dont la distance au point Z| est toujours moindre que \o rayon de (C), se trouve alors à l'intérieur d'un cercle décrit de K comme centre avec un rayon moindre que le rayon de (C) : ce cercle, de centre K, sera donc intérieur au cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à Oq', cela revient à dire que le point Z est à une distance du point O moindre que «o? ou que la valeur absolue du nombre Z est moindre que «o» lorsque le point z est dans l'une des p positions pour lesquelles Z, est en K.