Lorsqu'on veut étudier un polynôme

pour les valeurs de z voisines d'un nombre donné 5q, on ramène (n"'' 3o, etc.) celte étude au cas où la variable est voisine de o, en posant z=z Zo-{- A, puis en ordonnant le polynôme

f(zQ-^h) = Ao-h A,(.So-H h)-h X^(zo-^ A)*-^...-!- Xni^o ^ ^)",

suivant les puissances ascendantes de h ; h sera alors regardé comme une variable imaginaire, petite en valeur absolue. Les résultats du Chapitre II, fondés uniquement sur les règles relatives à l'addition et à la multiplication, s'appliquent sans changement. Si l'on désigne par

/'(;;) = A,-i- 2 A,;î |- 3 Ao^»--. . .4- n\,,z"-K. /'(;!) = i.2Aj4-9..3A2 5-4-...-h(/i — i)/iA«5«-»,

fp'(z) = i.2.../?A/,-f-'^..3...(/7-M) A^4-i--^... -h {n — p -h i) ( n — p -h 1) , . , n \,t z'^-p^

ÉTl'DE DES POLYNOUKS A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IHACINAIUES. 7.G9

les n dérivées du polynôme /(s), donl la n'*"" est une conslante, on a

/{^,-H h) =/(z.)+ /l^'/, -*- /li^> /,. + . .. I .2 . . ./> I .2. . ./£

OU, si l'on veut,

en désignant par /(:;„), /'(^o), ... les valeurs des polynômes /(s), /'{^)j ...? quand on y remplace z par :;o- Si h est petit en valeur absolue, si z reste voisin de Zq^ la valeur de /(z) resle voisine de /{zq)^ aussi voisine qu'on le veut, pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite : c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme est une fonction continue de 5, pour z = Zq-

Si le polynôme /(z) s'annule pour z = :;o5 -^o ^st une racine de ce polynôme; l'ordre de multiplicité de cette racine est la plus haute puissance de h que l'on puisse mettre en facteur dans le polynôme /(^oH- fi) ordonné suivant les puissances de h ; c'est le degré du premier terme de ce polynôme qui n'est pas nul; pour que z^ soit une racine d'ordre de multiplicité p du polynôme /(z)^ il faut et il suffit que ce polynôme s'annule pour z = Zq ainsi que ses p — i premières dérivées, et que la ^'*"® dérivée ne s'annule pas. Si l'ordre de multiplicité /?, défini comme plus haut, était égal à i, la racine Zq n'est pas multiple; elle est simple; dans ce cas la dérivée /'(s) ne s'annule pas pour z = Za- Si Zo est une racine d'ordre de multiplicité/? pour le polynôme f{z)^ c'est une racine multiple d'ordre p — i pour /'(.s); puisque les/? — 2 premières dérivées du polynôme/' (5) s*annulent pour z = Zq, et que sa (p — i )'*"® dérivée ne s'annule pas ; elle est d'ordre/? — 2 pour f"{z)^ d'ordre i (une racine simple) pour f^P'^\z)\ ce n'est pas une racine pour f^P^{z). On peut mettre alors le polynôme f{z) sous la forme /(z) = {z — Zo)P^{z), o{z) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour 5 = >So- Réciproquement, si l'on peut mettre /(s) sous cette forme, le polynôme o{z) ne s'annulant pas pour z = Zoj on peut affirmer que Zq est une racine de /(^), d'ordre de multiplicité/;. Si z^ est une racine de/(5)^

iuilre que >3o, ^i est une racine de ©(^), elle est du même ordre de multiplicité dans/(^) et dans f (^).

Si le polynôme f{z) ne s'annule pas pour 5 = ^05 il ne s'annule |3as non plus pour les valeurs de z suffisamment voisines de Zq ; mais -on peut, d'après le numéro précédent, trouver de telles valeurs pour lesquelles on ait

108. Considérons maintenant les valeurs de la variable qui sont Jurandes en valeur absolue. Pour de telles valeurs, le polynôme est Jui-méme très grand en valeur absolue.

Supposons, en effet, que ce polynôme soit de degré /i; en l'ordonxiant suivant les puissances descendantes de z on pourra l'écrire

f{z) = hozn^ B,^«-t-f-. . .>+- B„i^ -h B^

Le polynôme entre crochets, dans le dernier membre, est un polynôme en -» ordonné suivant les puissances de -» dans lequel le premier terme Bo n'est pas nul.

On peut choisir la valeur absolue p de z assez grande, ou la valeur absolue - de - assez petite, pour que la différence entre le polynôme

-en - qui est entre crochets et son premier terme Bo soit moindre en valeur absolue que tel nombre positif e que l'on voudra. Dans ces conditions la valeur absolue de /(^) sera supérieure à p"(6o — ^)? -en désignant par b^ la valeur absolue de Bo, que l'on peut supposer plus grande que e. Or, il est clair que, pourvu que p soit assez grand, Ja valeur de p"(6o — s) peut dépasser tel nombre positif que l'on voudra.

On voit, en particulier, que, lorsque le points est à l'extérieur d'un cercle décrit du point O comme centre avec un rayon suffisamment ^^rand, le polynôme f(^) ne peut pas s'annuler.