ARRANGEMENTS, ETC

Considérons n objets distincts a<, «2? • • o cin ^ui figurent en totalité ou en partie dans une ou plusieurs expressions quelconques; si rt',, a[,^ ..., a\^ désignent ces mêmes objets rangés dans un certain ordre, remplacer dans ces expressions a^ par a\^ a^ par a'g, ..., a„ par a',^ s'appelle effectuer une permutation : l'acte lui-même prend aussi le nom de permutation, une telle permutation s'exprime d'une façon claire en écrivant sur une ligne horizontale les objets «I, a2, . . ., a« et au-dessous de chacun d'eux l'objet qui doil le remplacer :

L'ordre dans lequel sont inscrits les objets «j,, «a, . . ., an n'importe pas, ce qui importe, c'est la correspondance entre l'objet supérieur et l'objet placé au-dessous, qui doit le remplacer.

La permutation inverse Ae la précédente consisterait à remplacer a^ par «,, a.^ par «o, . • ., «^; par a„.

Pour former chacun des symboles possibles de permutations, dans le sens que l'on vient d'expliquer, on écrira sur une ligne horizontale les objets ^r,, a^, ...,«/: rangés de toutes les manières possibles; puis au-dessus de chaque arrangement les mêmes lettres rangées dans un ordre arbitraire, mais toujours le même. On obtiendra ainsi i.2.3.../i symboles.

Par exemple, tous les symboles de permutation pour les trois lettres cr, 6, c seront

^a,b,c\ /«, 6, c\ /rt, ^, c\

\a,c,b) \c,b,a) \b,a,cj

Parmi ces symboles il y en a un qui signifie l'action de remplacer a par «, b par 6, c par c : c'est ce qu'on appelle la permutation identique, par laquelle rien n'est changé.

Si l'on a dressé le tableau des arrangements, ou des combinaisons, p à p de n objets distincts quelconques, puis que l'on efi'ectue, sur chacun de ces arrangements ou de ces combinaisons, une permutation quelconque, il est clair que le tableau ne sera pas changé dans son ensemble. En elTet, tous les arrangements étaient distincts avant qu'on

effectuât la permutation, ils le resteront après : naturellement, si ces arrangements étaient placés dans un certain ordre, cet ordre sera modifié par la permutation.

Parmi les permutations, il convient de distinguer les permutations circulaires : les objets «i, «2^ " j ^u étant rangés dans un certain ordre, une permutation circulaire effectuée sur ces objets consiste à remplacer le premier par le second, le second par le troisième, etc., Favant-dernier par le dernier, le dernier par le premier.

Au lieu du symbole

(ai, ûTj, as, . . . , a„|, a,A ai, a,, ai, . . . , a,„ ai /

qui, d'après les conventions précédentes, devrait représenter une telle permutation, on emploie souvent le symbole

(ai, at, . .., Un)

avec le même sens. C'est l'ordre seul dans lequel sont rangés les éléments qui importe dans ce derni«^r symbole, non l'élément qui figure le premier. Vinsi, s'il s'agit de trois éléments a<, ^2, aj, les trois symboles

(a,, a», as), (a,, as, ai), (as, a],as)

ont le même sens.

11 peut être commode de se figurer les objets a^, a2, . . ., a» rangés sur un cercle sur lequel on a choisi un sens de parcours, placés par exemple aux sommets d'un polygone régulier de n côtés. Alors il n'y a plus ni premier objet ni dernier, et la permutation circulaire revient à remplacer chaque objet par le suivant.

Enfin, parmi les permutations circulaires, il convient de signaler la plus simple, celle qui porte sur deux éléments seulement ai, a2; clic consiste à remplacer «i par «2 et «2 par «i ; il n'y a évidemment pas, comme dans les permutations circulaires qui portent surplus de deux éléments, à tenir compte d'un ordre quelconque attribué aux éléments «I, «2 ; on donne souvent le nom de transpositions aux permutations de cette sorte : la transposition qui porte sur les éléments ai, a^ se représente par le symbole (a^, a^) ou («2? «0-

Etant données deux permutations de n objets distincts au sens du