ARRANGEMENTS, ETC. 99D

faisant p ^= n^ il est

P,, = n{n — 1). . .'Jt.i = n\

Ce nombre augmente rapidement avec n] il est égal à 8628800 pour n == 10; ainsi il y a plus de trois millions de manières de ranger 10 objets sur une même ligne. Le nombre 100! comporterait ij8 chiffres.

121. Les groupes de p lettres distinctes prises parmi n lettres données, quand, pour chaque groupe, on ne tient pas compte de Tordre mais seulement de la nature des lettres qui y figurent, s'appellent les combinaisons des n lettres prises p d p, ou les combinaisons p 'a p des n lettres. Chaque groupe est une combinaison p d p; on dit aussi un produit différent p k p, parce que ce groupe peut s'écrire comme un produit et qu'un produit ne dépend pas de l'ordre des facteurs.

Je désignerai par C" le nombre des combinaisons distinctes des n lettres prises p k p.

Dans le tableau des arrangements de n objets p à /^figurent évidemment les combinaisons p k p\ chaque combinaison se trouve même répétée autant de fois qu'il y a de manières de ranger les p objets qui la constituent, c'est-à-dire 1 . 2 . 3 . . . /> fois; les deux nombres A", C^ sont donc liés par la relation i.2.3.../?C^= A^; d'où l'on déduit, en se reportant k la valeur de A^,

Le nombre C" figure comme coefficient numérique dans la formule du binôme : la définition qu'on vient d'en donner montre qu'il est essentiellement entier (n° 43).

A chaque combinaison formée avec/? des n objets considérés correspond évidemment la combinaison formée avec n — p objets qui n'y figurent pas; on doit donc avoir C"= Cj| . C'est ce qu'on a déjà vu au n° 43.

En adoptant la définition précédente de C", la formule C^= C" , n'a de sens que si/? est au moins égal à i et au plus égal k n — i . Elle subsiste pour p = o ou/? = n en convenant de prendre C'J = i (n" 4ê|).

Pour former effectivement le tableau des combinaisons de n objets

p kp^ il serait assez fastidieux de former les arrangements/? à p. On peut procéder autrement.

Supposons formées les C^ combinaisons/?à/?des/*objetsr/, b, ...,/. Parmi ces combinaisons, les unes ne contiennent pas l'objet a, par exemple : ce sont évidemment les C"~* combinaisons jd à p des objets

b, c^ . ..y l^ autres que a. Les autres contiennent a ; si Ton supprime Tobjet a, il reste évidemment les combinaisons de n — 1 objets 6,

c, . . ., / pris p — I k p — I : en formant ces combinaisons en nombre C"Z\ 5 et en y introduisant la lettre «, puis en leur adjoignant les C^~* combinaisons p kp des objets 6, c, ..., k on obtiendra les C" combinaisons cherchées.

On peut d'ailleurs se borner à former les combinaisons/) k p pour

lesquelles p est au plus égal à - • Si l'on avait p> -9 il serait, en

effet, plus facile, pour former les combinaisons /> à />, de former d'abord les combinaisons n — p k n — /?, puis de remplacer chacune de ces combinaisons par la combinaison des p objets qui y manquent. Par exemple, si l'on veut former les C^ =6 combinaisons des quatre objets a, 6, c, d deux à deux, on mettra la lettre a avant les combinaisons b, c, d des trois objets 6, c, rf, autres que a, pris un à un; on obtiendra ainsi les combinaisons aô, ac, ad; on leur adjoindra les trois combinaisons des mêmes objets 6, c, d pris deux à deux; à Tune doit manquer 6, à l'autre c, à l'autre d; elles sont crf, érf, bc. Les six combinaisons cherchées sont

aby ctc, €ici^ cd^ bd^ bc.

Quant aux CJ = 4 combinaisons des objets a, 6, c, d trois à trois, on peut les écrire immédiatement : l'une ne contient pas a, une autre ne contient pas 6, etc. : elles sont bcd^ acd^ abd^ abc. L'unique combinaison des quatre lettres a, 6, c, d quatre à quatre est abcd.

La façon même dont on vient d'expliquer la formation des combinaisons de n objets/? à/>, met en évidence la relation (n" 43)

cj=G2}-+-c;;-*.

122. Le mot permutation est pris quelquefois dans un sens un peu différent de celui qu'on a indiqué au n° 120; c'est ce qui arrive quand on parle à! effectuer une permutation.