DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES DÉTERMINANTS

139. Imaginons un carré, analogue à une table de multiplication, décomposé en n^ petits carrés ou cases. Ces n^ cases forment // files ou colonnes verticales : imaginons que chaque ligne horizontale soit affectée d'un numéro, et que ces numéros aillent en croissant quand on descend vers le bas du carré : les numéros seront, le plus souvent, les nombres i, 2, . . ., n; dans tous les cas, la ligne du haut, celle qui est immédiatement en dessous, . • . , la ligne du bas s'appelleront respectivement la première ligne horizontale, la seconde ligne, ..., la /£'^™<^ ligne. Imaginons de même que chaque colonne verticale soit affectée d'un numéro et que ces numéros aillent en croissant quand on va de gauche à droite : ces numéros seront, le plus souvent, les nombres 1, '2, . . ., 72; dans tous les cas la colonne de gauche, celle qui la suit, . . ., la colonne de droite s'appelleront respectivement la première, la seconde, . . . , la /i'^'"* colonne verticale.

Chaque case est alors déterminée par deux numéros : le premier sera le numéro de la file horizontale, le second sera le numéro de la file verticale, qui contiennent cette case. Je désignerai souvent une case par ces deux numéros mis entre parenthèses; si, par exemple, on se sert des nombres 1 , 2, 3, . . ., /i pour numéroter les lignes et les colonnes, la case (2, 3) appartiendra à la seconde ligne et à la troisième colonne; les cases (i, 1), (2, 2), . . ., (/i, n) seraient traversées toutes par la diagonale qui va du sommet en haut et à gauche au sommet en bas et à droite; on dit souvent qu'elles appartiennent à la diagonale principaie du carré.

Imaginons maintenant que, dans chaque case, soit placé un nombre : on a ainsi un tableau formé de n^ nombres, distribués dans le grand carré. On va apprendre à déduire de ces n'^ nombres un autre nombre qui dépendra de leurs valeurs et de la place qu'il occupera : ce sera le déterminant des n^ nombres.

Ces n^ nombres, ou quelques-uns d'entre eux, pourront être représentés par des lettres : la loi de formation du déterminant, que Ton va décrire, est indépendante de valeurs numériques attribuées à ces lettres; si Ton regarde les n^ éléments (*) du déterminant comme des variables distinctes, l'expression qu'on va apprendre à former sera un polynôme du premier degré par rapport à chacune des variables, un polynôme homogène et du /!**■*« degré par rapport à l'ensemble des /i-^ variables.

Un déterminant formé au moyen de n^ éléments rangés, comme on vient de l'expliquer, dans n lignes et n colonnes, est dit du ^ième ordre.

Il est la somme de termes formés comme on va le dire.

Chaque terme est le produit, tel quel ou changé de signe, de n éléments pris respectivement dans n cases différentes du carré, deux de ces cases ne devant jamais appartenir ni à la même ligne horizontale ni à la même colonne verticale. Pour obtenir un système de cases qui satisfassent aux conditions que je viens de dire et qui, ainsi, renferment les facteurs d'un terme du déterminant, on peut procéder comme il suit : On choisit tout d'abord arbitrairement une première case ; les autres cases ne devront plus jamais être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette première case ; sauf cette restriction, le choix de la seconde case est arbitraire ; les cases suivantes ne devront plus être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette seconde case ; sauf les restrictions imposées ainsi par le choix des deux premières cases, le choix de la troisième est arbitraire, etc. Il est clair d'après cela que parmi les n cases d'où sortent les éléments qui sont les facteurs d'un terme, il y en a une, et une seule, qui appartient à la première ligne, une, et une seule, qui appartient à la seconde ligne, ... ; il y en a de même une, et une seule, qui appartient à telle colonne verticale que l'on veut.

(*) J'emploie à dessein ce mol vague, qui peut désigner aussi bien ud nombre, une lettre* une variable, une fonction.

Autrement dit, si les cases où sont pris les n facteurs sont respectivement déterminées par les n couples de numéros

(«1, Pi), («î, Pî), ••., (««» P«),

la première lettre de chaque couple a étant réservée aux numéros des lignes, et la seconde aux numéros des colonnes, les numéros a,, aa, . . , a,, doivent être tous distincts et coïncider, abstraction faite de leur ordre, avec l'ensemble des numéros des lignes horizontales, en sorte que la suite tti, a^, ..., a„ constitue un arrangement (n à/^) de ces numéros; de même les nombres ^i, ^a, ..., ^„ ne sont autre chose, dans leur ensemble, que les numéros des colonnes verticales ; la suite ^1,^2» • • -j ?/* est un arrangement (n à n) de ces numéros.

Ceci posé, le produit considéré, tel quel, est un terme du déterminant si les deux arrangements a,, a.j, ..., a,, et p,, ^a, ..., ^^ appartiennent à la même classe (n** 125); si ces deux arrangements appartiennent à des classes différentes, c'est ce produit multiplié par — I qui constitue un terme du déterminant. Il revient au même de dire que, dans tous les cas, le produit considéré doit être multiplié par (— i)<*^*, en désignant par a le nombre des inversions contenues dans l'arrangement a,, 7.2, ..., »„ et paré le nombre des inversions contenues dans l'arrangement p,, pa? •••? Pn- J'appellerai ce nombre ( — 1 )**"•"* le coefficient du terme considéré.

Le produit des éléments contenus dans les cases

(ai, Pi), (a„ p,), ..., (a«, p,,)'

ne dépend évidemment pas de l'ordre dans lequel se succèdent ces cases ou les facteurs du produit; il eu est de même du coefficient ( — i)^"*"* dont ce produit doit être alfecté.

Si, en effet, on transpose deux facteurs, on transpose par là même, dans l'arrangement ai, aa, . . ., a,/, les deux numéros des lignes horizontales qui contiennent ces deux facteurs, et dans l'arrangement ^,, ^2, .. .? P« les deux numéros des colonnes verticales qui contiennent ces deux facteurs : chaque arrangement change de classe; les deux arrangements, s'ils étaient de même classe, restent de même classe; ils restent de classes différentes s'ils étaient de classes différentes. Or, on peut, par de pareilles transpositions, amener tel facteur qu'on veut à la place qu'on veut.

35o CHAPITRE X.

On voit aussi qu'un terme du déterminant n'est nullement changé si, en laissant chaque élément à sa place, on modifie les numéros des lignes ou des colonnes, pourvu qu'on observe la règle relative à la façon dont ces numéros doivent croître : une telle modification, en effet, ne change point les nombres d'inversions contenues dans l'arrangement ai, aa, ..., a„ ou p,, ^a, ..., jà«.

Le déterminant est la somme de tous les termes distincts que l'on peut former d'après la règle précédente.

Sont regardés comme distincts deux termes tels que tous les facteurs du premier ne proviennent pas des mêmes cases que tous les facteurs du second. Si tous les facteurs d'un terme proviennent des mêmes cases que les facteurs d'un autre terme, les deux termes sont regardés comme identiques, lors même que l'ordre des facteurs diffère : l'un d'eux seulement doit figurer dans le déterminant.

Le carré, avec ces /i* cases dont chacune contient un élément du déterminant, sert à représenter celui-ci. Toutefois, on se dispense de figurer les lignes horizontales et verticales qui délimiteraient les n^ cases : on ne conserve que les deux barres verticales qui limitent le carré à droite et à gauche. La place des cases, dont rien n'empêche de continuer à parler comme si elles existaient réellement, est suffisamment déterminée par la place qu'occupent les éléments. Par exemple, les symboles

sont des déterminants du second et du troisième ordre. Pour en obtenir le développement, d'après la règle précédente, je supposerai que les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2 pour le premier, au moyen des nombres i, 2, 3 pour le second.

Considérons d'abord le premier : Un terme du développement doit contenir deux facteurs dont l'un appartient à la première ligne, l'autre à la seconde, dont l'un appartient à la première colonne, l'autre à la seconde. L'élément 3 placé dans la case (1 , i) ne peut être associé, pour former un terme du déterminant, qu'à l'élément — 2 placé dans la case (2, 2); le coefficient de ce terme est i, puisque les arrangements formés respectivement par les premiers numéros des deux couples (i, i), (2, 2) el par les deux seconds numéros de ces mêmes

DÉTERMINANTS. 35 f

couples, ne comportent pas d'inversions; l'élément 4 placé dans la case (2, i) ne peut être associé qu'avec l'élément 7 placé dans la case (i, 2); le coefficient du produit est — i, puisque les deux arrangements 2, i et i , 2 comportent en tout une inversion. La valeur du déterminant est 3 x ( — 2) — 7 x 4 = — 34- La valeur d'un déterminant du second ordre est la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des deux autres éléments.

Considérons de même le second déterminant : l'élément a de la case (1, 1) ne peut être associé qu'avec des éléments appartenant l'un à la seconde ligne, l'autre à la troisième ligne, l'un à la seconde colonne, l'autre à la troisième; c'est-à-dire ou avec les éléments 6', c" appartenant aux cases (2, 2), (3, 3), ou avec les éléments V ^ c' appartenant aux cases (3, 2), (2, 3); le produit a6V formé avec les éléments appartenant aux cases (i, 1), (2, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient i; le produit aV d formé avec les éléments appartenant aux cases (i, 1), (3, 2), (2, 3) doit être affecté du coefficient — i, puisque les arrangements i, 3, 2, et 1, 2, 3 comportent en tout une inversion : les autres termes du déterminant doivent contenir soit l'élément a', soit l'élément a". L'élément a! ne peut être associé qu'avec les éléments b et é ou les éléments 6" et c; le produit cibé formé d'éléments appartenant aux cases (2, i), (i, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient — i; le produit a!ll' c doit être affecté du coefficient 4- I ; enfin l'élément a" ne peut être associé qu'avec les éléments b et c', ou 6' et c; les produits d' bd et cPV c doivent être affectés des coefficients i et — i ; le déterminant est

c'est l'expression déjà étudiée au n** 135.

140. Revenons au cas général, à un déterminant du /i'*""* ordre; je suppose que les lignes horizontales et les colonnes verticales soient numérotées au moyen des nombres i , 2, . . ., /i. Considérons un terme quelconque du déterminant. Puisqu'on peut ranger comme on veut les facteurs de ce terme, on peut s'arranger pour que les premiers numéros, tous distincts, des cases qui contiennent ces facteurs se succèdent dans un ordre déterminé, par exemple, dans l'ordre 1, 2, . . .,

n\ les couples de numéros dont sont affectées les cases, rangées comme le sont les facteurs qu'elles contiennent, seront alors (i, j^,). (2, ^2)) • '-t (^9 ^n) en désignant par ^,, ^2, ..., ^n les numéros 1. 2, . . ., /i rangés dans un certain ordre, ou, si l'on veut, un arrangement (n à n) de ces numéros. Suivant que cet arrangement contiendra un nombre pair ou impair d'inversions, le produit des facteurs contenus dans les cases devra être affecté du coefficient i ou du coefficient — i . Supposons que dans chaque terme du déterminant, les facteurs soient ainsi rangés.

A chaque arrangement j3|, ^j, ..., p« (/i à n) des n numéros i, 2, ..., n correspondra un système de cases (i, ^i), (2, j3j), ..., (/i, p,i), un terme du déterminant; à deux arrangements distincts correspondront deux termes distincts ; il y a autant de termes que d'arrangements, c'est-à-dire i . 2 . . . /ï. Comme il y a autant d'arrangements de première classe que d'arrangements de seconde classe, il y a autant de termes affectés du coefficient i que de termes affectés du coefficient — 1 .

Le terme dont les facteurs sont contenus dans les cases (1, i), (2,2), ..., (/i, /i), que l'on appelle souvent terme principal du déterminant, a pour coefficient i .

Si l'on considère deux systèmes de cases

(i,p,), (2, PO, ..., (^,?«),

rangées comme on l'a expliqué, les termes correspondants du déterminant auront le même coefficient, ou des coefficients symétriques, suivant que les deux arrangements {nk n) p,, ^j? •••) ?« et ^',, fi.^, ..., ^',, seront, ou non, de mêmes classes ou de classes différentes, ou, si l'on veut (n®* 124, 125), suivant que l'on peut passer de l'un à l'autre par un nombre pair, ou un nombre impair de transpositions. Cette remarque est souvent commode pour reconnaître le coefficient d'un terme en le comparant à un autre terme, de coefficient connu, en particulier au terme principal.

Au lieu de ranger les facteurs d'un terme de manière que les premiers numéros des cases qui contiennent ces facteurs forment la suite 1,2, ..., /i, on peut les ranger de manière que ce soient les seconds numéros qui forment cette même suite; les couples de numéros, dont sont affectées les cases, rangées comme le sont les

DÊTERUINANTS. 353

facteurs qu'elles contiennent, sont alors (a^ i), (a^, a), . . ., (a«, /i), en désignant par ai, a^, . . . , a,^ un arrangement {n k n) des nombres

1, 2, . . ., /i. On pourrait répéter, sur cette seconde façon de ranger les facteurs de chaque terme de déterminant, ce que Ton a dit sur le premier mode.

141. Etant donné un déterminant, on peut en déduire un second déterminant en remplaçant l'élément situé dans une case quelconque par l'élément situé dans la case symétrique par rapport à la diagonale principale, ou, comme on dit d'une façon un peu brève, en échangeant les lignes et les colonnes : on entend par là qu'on remplace les éléments de la z^**"® ligne par les éléments de la ^'*"« colonne et réciproquement. Bien entendu, après le changement, les éléments d'une ligne se trouvent rangés dans l'ordre qu'ils occupaient dans la colonne, etc.

Il est à peine utile de faire remarquer que, dans les deux déterminants, les éléments de la diagonale sont les mêmes.

Les deux déterminants, une fois développés, sont identiques terme à terme. Je suppose en eflet que, dans les deux déterminants, les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i ,

2, ..., /i. L'élément qui, dans le premier déterminant, appartenait à la a'*™* ligne et à la P'*™* colonne, appartiendra, dans le second, à la P'*™* ligne et à la a'*"* colonne; si l'on considère un terme du premier déterminant dont les facteurs figurent dans les cases (ai,j3,), (aa, Pa), ..., (a^, ^„) du premier déterminant, ces mêmes facteurs figureront dans les cases (Pi,a,), (^a? «a), .. ., (pi„a„) du second déterminant; ils fourniront, dans les deux développements, deux termes identiques, affectés du même coefficient ( — i)«+*= ( — i)*+«; à chaque terme d'un déterminant correspond un terme identique de l'autre déterminant. Les deux développements sont identiques terme à terme.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique un déterminant dans lequel les éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale principale [les éléments placés dans les cases (a, j3), (P, a)] sont égaux : tel est le déterminant

Pour un pareil déterminant, le théorème précédent n'apprend évidemment rien. L'aspect de ce déterminant n'est pas changé quand on y échange les lignes et les colonnes.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique gauche, un déterminant dans lequel les éléments de la diagonale principale sont nuls et dans lequel, de deux éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale, l'un se déduit de l'autre en le multipliant par — i; tel est le déterminant

— gpo

Le théorème précédent montre qu'un déterminant symétrique gauche ne change pas quand on en multiplie tous les éléments par — i . Cela revient en effet, pour un tel déterminant, à échanger les lignes et les colonnes.

142. Lorsque, dans un déterminant quelconque, on remplace les éléments qui figurent dans une ligne par les éléments correspondants (*) d'une autre ligne, et, réciproquement, les éléments de cette autre ligne par ceux qui occupaient la place qu'on vient de leur attribuer, on forme un nouveau déterminant qui est égal au premier changé de signe.

Je vais montrer, en effet, que chaque terme do l'un des déterminants est identique à un terme de l'autre, changé de signe.

Supposons que les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2, ..., /z et qu'on échange entre elles, au sens qu'on vient de dire, la a^™* ligne et la a*^"* ligne.

Considérons un terme quelconque du déterminant proposé, dont les facteurs appartiennent aux cases

(a,, PO, («2,?»), ..- (ap.P/^X ..M (a^.P^) (««,?«),

(') En disant de deux éléments appartenant à deux lignes distinctes qu'ils sont correspondants, y entends qu'ils appartiennent à la môme colonne; de même, deux éléments correspondants de deux colonnes différentes appartiennent à une même ligne.

ces mêmes éléments, dans le second déterminant, figureront dans les cases

(ai,Pi), («î, Pi), ..., (a^, P/O, ..., (^py?qh •••» (*/i, P«);

ils seront encore les facteurs d'un terme du second déterminant, puisque les numéros ai, aa, .*., a,; sont distincts, ainsi que les numéros ^,, fia» •••? ?/i> mais le coefiicient de ce terme, dans le second déterminant, ne sera pas le même que dans le premier; en effet, l'arrangement (n k n) formé par les seconds numéros est le même, soit pour le premier déterminant, soit pour le second; mais les deux arrangements a,, a2, . . ., a^, ..., a^, . . ., a^, et a,, a2, .. ., a^, . .., a^, . . . , CL» n'appartiennent pas à la même classe (n" 124).

On énonce brièvement ce théorème en disant qu'on multiplie un déterminant par — i quand on échange entre elles deux lignes ou deux colonnes.

Il en résulte qu'un déterminant est nul lorsque les éléments qui figurent dans une ligne sont respectivement égaux aux éléments correspondants d'une autre ligne, ou, comme l'on dit, lorsqu'il a deux lignes identiques.

Si l'on considère, par exemple, le déterminant

abc abc a' b' if

la valeur numérique de ce déterminant doit, quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres a, 6, c, a", 6'', c", être multipliée par — I quand on échange entre elles deux lignes quelconques; mais, si l'on échange entre elles les deux premières lignes, qui sont identiques, cette valeur numérique ne peut évidemment être changée; or, un nombre égal à son symétrique est nul; le déterminant proposé est donc nul quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres a, 6, c, cf ^ 6^, d' : il est identiquement nul; tous les termes de son développement doivent se détruire.

A.U reste, on voit très bien comment les termes se détruisent. D'une part, le déterminant proposé et le déterminant qu'on en déduit en échangeant les deux premières lignes conduisent évidemment au même développement; d'autre part, en vertu de ce qu'on vient de dire.

chaque terme du second développement se déduit d'un terme du premier en changeant de signe son coefficient, c'est-à-dire qu'à chaque terme du déterminant proposé correspond un terme qui le détruit.

Le raisonnement est évidemment général; la vérification, pour l'exemple cité, est immédiate sur les formules du n** 135.

143. Considérons un déterminant à, d'ordre /?, dont les lignes el les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2, •.., /i; et regardons tous les éléments comme distincts ; un élément de ce déterminant entre comme facteur dans plusieurs termes; il n'y entre d'ailleurs qu'une fois, en sorte que, si l'on regarde cet élément comme une variable et qu'on le désigne pour un instant par a?, le déterminant sera du premier degré en x^ et pourra se mettre, en l'ordonnant par rapport à x^ sous la forme Aa? -|- B.

On appelle mineur d'un déterminant, relatif à un élément de ce déterminant, le coefficient de cet élément dans le développement du déterminant, ordonné par rapport à ce même élément.

Dans la notation précédente, A est le mineur relatif à l'élément ar. Je vais donner une règle pour le calculer.

Considérons les termes du développement qui contiennent en facteur l'élément dont on cherche le mineur, et supposons qu'on ail, dans tous ces termes, placé en tête l'élément considéré. Les facteurs qui entrent dans un de ces termes appartiendront aux cases

(ai,Pi), («t, Pî), ..., (a„,p«),

et, en vertu de l'hypothèse qu'on vient de faire, la case (a,, ^i) sera la même pour tous les termes considérés.

Les numéros aa, as, . . ., a„ sont, dans leur ensemble, les nombres 1, 2 ,. . ., /i, d'où l'on a retiré ai ; les numéros ^2? ^^3? • • -î ?« sont, de même, les nombres i, 2, . . . , «, d'où l'on a retiré pi. Soient, comme plus haut, a et 6 les nombres respectifs d'inversions contenues dans les arrangements a,, ao, . . ., a„ et p,, jîa, . . ., j3„; soient a! et 6' les nombres respectifs d'inversions contenues dans les arrangements a^, as, ..., a« et fia, ?j, ..., ?« ; on a a = a'-ha| — 1, 6 = 6'-f-p, — i (n° 125). Le coefficient du terme considéré est

Le produit par ( — i )«'+*' des éléments contenus dans les cases

(a,, p,), («3,^3), .... (a«,pn)

est un terme du déterminant A', d'ordre n — i, qui se déduit du déterminant À en supprimant la ligne de rang a, et la colonne de rang ^|. Il suffit, pour s'en convaincre, de se reporter à la définition générale en supposant que, dans le déterminant du (/i — i y*"® ordre, les lignes et les colonnes conservent chacune le même numéro d'ordre qu'elles avaient dans le déterminant primitif. Cette même définition montre que, en prenant dans le développement de A tous les termes qui contiennent en facteur l'élément de la case (a,, p,), on obtient, de la façon qu'on vient de dire, tous les termes de A'. Le coefficient de l'élément de la case (a», p, ), dans le développement de A, est donc

(,)at-HfJ,A'.

Ainsi, le mineur d'un déterminant relatif à un élément quelconque s'obtient en multipliant par une puissance de — i dont l'exposant est la somme des numéros d'ordre respectifs de la ligne et de la colonne qui contiennent cet élément le déterminant qui se déduit du proposé par la suppression de cette ligne et de cette colonne. Je rappelle que, dans le déterminant proposé, les lignes et les colonnes sont numérotées I, 2, . . ., /i.

On reconnaît de suite, en se reportant à la façon, expliquée plus haut, de développer un déterminant du second ordre

= ab'—a'b.

que cette règle s'applique encore à un tel déterminant, si l'on convient de regarder un déterminant du premier ordre, qui se réduit à un seul élément, comme égal à cet élément.

144. D'après la définition d'un déterminant, il y a dans chaque terme un élément qui appartient, par exemple, à la yp'*"« ligne; si l'on regarde les éléments de la ^'*™* ligne comme des variables, le déterminant proposé sera une fonction linéaire des éléments de cette /?**"** ligne, et l'on vient d'apprendre à déterminer les coefficients de cette fonction.

Considérons, par exemple, le déterminant du troisième ordre

Développons-le suivant les éléments de la première ligue, de la seconde ligne, de la troisième ligne, on trouvera

A = Aa -h B6 4- Ce = A'a'4- B'6 -t- C'c'= k' a' -^ B'6'-4- c' c\ en posant, d'après la règle précédente,

On retrouve, en se reportant à la règle pour développer un déterminant du second ordre, les mêmes notations qu'au n" 133 el quelques-unes des identités établies dans ce même numéro.

Si Ton considère l'une des expressions de A, \a -\- B6-|-Cc par exemple, on sait que les éléments a, 6, c qu'on y a mis en évidence ne figurent pas dans les mineurs A, B, C, en sorte que, si, dans celle expression, on conserve la même signification aux lettres A, B, C et qu'on remplace a, 6, c par a, p, y, le résultat Aa -|- B^ + Cy ne sera autre chose que le déterminant proposé, où l'on a remplacé a, i, c par a, ^, y, c'est-à-dire le déterminant

en particulier l'expression Aa'-h Bb' -\- Ce' n*est autre chose que le déterminant à deux lignes identiques

DETERMINANTS.

c'est-à-dire o. On aura donc

A a' -f- B 6' -:- C c' = o, ka'-r- B6'+Gc''=o,

et les identités analogues (n" 135).

Ce que l'on a dit des lignes vaut pour les colonnes et l'on aura de même

A = Aa ^ A'a'-h k" a' = B6 H- B'ô'h- Wb' = Ce -+- Cc'-^Cc', A6-h A'6'-+-A*6'' = o, etc.

Le déterminant du quatrième ordre

serait de même égal à Aa -|-B6-|-Gc-f-Drf, en posant

cf

dr

dr

puisqu'on sait développer chacun de ces déterminants du troisième ordre, on n'aura aucune peine à obtenir le développement complet du déterminant du quatrième ordre. On pourra tout aussi bien le mettre sous l'une ou l'autre des formes

Si l'on veut par exemple l'expression de C, c'est-à-dire du mineur relatif à l'élément c' qui figure dans la seconde ligne et la troisième colonne; on voit, puisque ( — i)^"*"^ est égal à — i, que ce mineur

est

etc.

A peut, de même, en le développant suivant les éléments d'une colonne, être mis sous l'une ou l'autre des formes

A a -f- A' a' -H k' a" -^ AT a"',

Ce -h Ce' -+-C'c'-t-C"'c'", Drf-f- D'rf'-f- D'rf"-h \y"d".

Enfin il y a douze identités, analogues à celles qu'on a obtenues

pour le déterminant du troisième ordre et s'établissant de même,

telles que

Aa'-H Bô'-H Cc'-\- DûT = o,

et douze autres du type

En d'autres termes, la somme des éléments d'une colonne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aux éléments correspondants d'une autre colonne est nulle, ainsi que la somme des éléments d'une ligne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aux éléments correspondants d'une autre ligne. On rappelle que le mineur relatif à un élément de A ne contient aucun élément représenté par la même lettre, bu accentué de la même façon que cet élément.

Lorsque tous les éléments d'une ligne, ou d'une colonne, sont nuls, il est clair, d'après ce qu'on vient de dire, que le déterminant est nul. Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne, sauf un. sont nuls, le déterminant se ramène immédiatement à un déterminant dont l'ordre est moindre d'une unité, comme on le voit de suite en le développant suivant les éléments de la ligne ou de la colonne considérée. Si, par exemple, on développe le déterminant

suivant les éléments de la dernière ligne, on voit que le mineur relatif à l'élément 2 de cette ligne est le produit de ( — i)'+* = — i par le déterminant

Ce dernier déterminant admet encore une ligne dont les éléments sont nuls, sauf l'élément 4 auquel correspond le mineur

= 6-h4=-'^; la valeur du déterminant du quatrième ordre est 2x4x2 = 16.

14o. Jusqu'à présent, lorsqu'un déterminant n'était pas écrit tout au long, je ne me suis servi, pour en désigner un élément, que du couple de numéros qui désigne la case où figure cet élément. Une notation fréquemment employée, et d'ailleurs très voisine de celle-là, consiste à désigner chaque élément par une même lettre affectée de deux indices, dont le premier est le premier numéro de la case correspondante, dont le second est le second numéro. Ainsi, en supposant que les cases et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres 1,2, ..., n, l'élément appartenant à la a'*"** ligne et à la ^ieiuc colonne pourra se représenter par a^^^ ou aS; dans la seconde notation, a n'est pas un exposant, mais un indice supérieur. C'est de la première notation que je me servirai le plus souvent. Avec cette notation, un déterminant du second ordre, ou du troisième, s'écriront

On supprime souvent les virgules entre les deux indices, quand il n'y a pas de confusion à craindre.

Il importe toutefois de remarquer que l'on peut avoir d'autres raisons pour introduire ces symboles formés d'une lettre affectée de deux indices, afin de représenter certains nombres, ou certaines variables, et qu'on peut avoir à faire figurer ces symboles dans un

déterminant écrit à la façon ordinaire; on peut se trouver alors en contradiction avec la règle précédente : c'est toujours à la disposition des éléments dans le carré qui représente le déterminant et à la définition du n^ 139 qu'il faut se reporter, et non à la règle que je viens de donner. Ainsi le déterminant

est, quand on le développe, égal à ai,2«2,i — «i,K'2,2 (n" 139).

L'égalité

exprime, pour un déterminant du second ordre, le théorème d'après lequel un déterminant change de signe quand on échange entre elles deux colonnes.

Cette observation s'applique en particulier quand, un déterminant étant écrit d'après la règle donnée au commencement de ce numéro, on le développe suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne, quand on écrit par exemple

= «ll

Dans le second membre, les déterminants qui multiplient respectivement ail, a2ij ûfai ont pour valeurs respectives

11 convient d'adopter pour les mineurs relatifs à un élément une notation qui rappelle cet élément. C'est ce qu'on a fait, pour les déterminants du troisième et du quatrième ordre, en employant la même lettre (mais d'un autre type) et le même accent que pour l'élément.

Quand on emploie la notation précédemment expliquée qui consiste à désigner par ««^p l'élément qui appartient à ^la a'*"' ligne et à la j3'*™* colonne, il convient, de même, de désigner par Agt,p le mineur correspondant. Aa,p sera le produit par ( — 1)°^+? du déterminant obtenu en supprimant la a'*™® ligne et la ^'*™* colonne.

Les éléments de la a*^™® ligne sont respectivement ««,1, ^^«^2? •••> ûf«,« et les mineurs correspondants A^^i, Aa^a, ..., Aa^,/. Les éléments de la ^3'*'"'' colonne sont respectivement ai,p, «2,3» •••? ^/»,p? et les mineurs correspondants A,,p, A^^p, ..., A„^p; la règle précédemment établie pour développer un déterminant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne, le fait qu'un déterminant est nul quand il a deux lignes identiques ou deux colonnes identiques, s'expriment par les identités suivantes, dans lesquelles A désigne le déterminant considéré, et dans lesquelles on suppose essentiellement, pour les deux dernières, que a est différent de 3,

Aa, 1 «S, 1 H- Aa, t ap, î H- . . . -t- A«, ;, ap, „ = o, Ai,a«i,p-H A5,a«î.p-4-...-t- A„,aa«.p = o.

On peut condenser encore ces 2n^ identités en les écrivant sous la

forme

Aa,i«p,i-+- Aa.jap.j-l-...-»- Aa,„ap,«= ea.pA, Al, a «1, p -H Aj, a aï, p H- ... -h A„, « ««, p = £«. ? A,

OÙ e^e, p représente i ou o, suivant que a est égal à ^ ou que a est différent de ^.

On écrit encore, plus brièvement,

r = /i rz=n

Dans les premiers membres, le signe ^ , qui s'énonce sigma

depuis r = i jusqu'à r = /i, veut dire qu'on doit faire la somme des termes qui se déduisent du terme écrit à la suite de ^, en y remplaçant successivement r par i, 2, ..., n.

1 i6. On a déjà fait ressortir quelques conséquences de ce fait qu'un déterminant est une fonction linéaire des éléments d'une ligne ou d'une colonne. En voici quelques autres.

Quand on multiplie tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par un même facteur, le déterminant est multiplié par ce facteur. En

particulier, si tous les éléments d^une ligne sont égaux, ou tous les éléments d'une colonne, on peut remplacer tous ces éléments par i, quitte à mettre en facteur l'élément qui se répète tout le long de la ligne ou de la colonne.

On a, par exemple,

En multipliant successivement les éléments de la première, de la deuxième, . . . , de la /i**"* ligne d'un déterminant du /i**'™*" ordre par un même facteur A*, il est clair que le déterminant est multiplié par A*" ; au reste, cela est évident sur la définition même d'un déterminant : si, en particulier, on multiplie par — i tous les éléments, le déterminant reste invariable quand n est pair, il est multiplié par — i quand n est impair. Il en résulte (n** 141) qu'un déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul, puisque la multiplication par — I de tous les éléments revient à changer les lignes en colonnes, et inversement, ce qui ne change pas le déterminant.

Quand les éléments d'une même ligne sont proportionnels aux éléments correspondants d'une autre ligne, le déterminant est nul. En effet, les éléments de l'une des lignes s'obtiennent alors en muhipliant respectivement les éléments de l'autre ligne par un même facteur k\ en divisant ces derniers éléments par Xr, le déterminant est divisé par k\ mais il a alors deux lignes identiques : il est nul, ainsi que le proposé. Ce que l'on vient de dire des lignes s'applique évidemment aux colonnes; on a, par exemple,

puisque les deux premières colonnes du second déterminant sont identiques.

Quand chacun des éléments d'une certaine ligne est la somme de p quantités, que j'appellerai éléments partiels de cette ligne, le déterminant proposé est la somme de p déterminants du même ordre que le proposé, qui s'obtiennent respectivement en ne conservant

dans la ligne considérée que les premiers éléments partiels, les

deuxièmes éléments partiels, . . . , les y>»^"«* éléments partiels.

Supposons, par exemple, que dans le déterminant du quatrième

ordre

a' 6" c' df

a"' 6'" c-^ d" on ait

= ai-ha,-ha,,

6 = Pi-hP2-HP8,

C =Ti-+-Ys-f-Yj,

Ton a

«1 Pi

ïi

«i Ps Ti 8î

Ps

Ys §1

rf'

a' 6' c' rf'

c' ûî'

d" b'" cT dr

c"' rf'"

Si, en eli'et, on conserve les notations du n** 144, le déterminant A pourra s'écrire

A= AaH-B6-f-Cc-4-Dc^= A(ai-Ha5-t-a3)-hB(p,-f-Pj-f-p8)

H- G( Yi-h Yi^- Y3) -*- D(8i -h S, H- §3 ) = Aa,H-Bpi-hGY,-i-D8,

-^Aa,-i-Bp,^-GY,-hD8, -f- Aaa-F B p,-f- Gys-H Do,.

Mais, dans la dernière forme obtenue, les quantités

Aa,-+-Bp,-hGYi-+- D8,, Aa,-+- Bp,-+- Cyi-H D8j, Aas-i- Bp,-+-GY8-h Do,

ne sont autre chose que les déterminants qui figurent dans le second membre de Tégalité (i), développés suivant les éléments de la première ligne.

Il est clair qu'il y a un théorème tout pareil pour les colonnes; la décomposition du déterminant est même plus visible; les éléments partiels forment alors, par leur disposition, des colonnes partielles, en quelque sorte, qui deviennent les colonnes des déterminants par-

tiels : on a, par exemple,

CHAPITAE

abc

ol' b' c'

S'il n'y avait pas le même nombre d'éléments partiels dans les éléments d'une colonne (par exemple), on pourrait introduire des éléments partiels nuls et parvenir à une décomposition analogue.

On a ainsi

Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que le second membre est égal à

Si les éléments d'une colonne étaient chacun égal à la somme de p éléments partiels, si les éléments d'une autre colonne sont égaux chacun à la somme de q éléments partiels, il est clair que le déterminant sera la somme de pq déterminants.

147. On ne change pas un déterminant quand on ajoute aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligue respectivement multipliés par un même facteur, les éléments correspondants d'une autre ligne encore aussi multipliés par un même facteur, etc. Je me dispense d'énoncer le théorème analogue pour les colonnes, que je vais démontrer sur un exemple.

Considérons le déterminant

d d' dr

je dis qu'il est identique au déterminant

bb'b"^ b'-

• Xa -

-Xa'-

Xa"

■Xa"'-

- \Ld \Ld' ixd'

dr

Ce dernier déterminant, d'après les explications qui précèdent, est en effet égal à

a'" la'" c'" cT

a [xd c d

a' IX d' c' d'

a" [id c" d"

a"' [id"' c'" d^'

le premier déterminant est A, les deux autres sont nuls identiquement parce que, dans le deuxième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la première, et que, dans le troisième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la quatrième. Les deux déterminants A et A', développés, sont identiques.

148. Lorsque, dans un déterminant, il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première ligne, de la deuxième ligne, ..., de la dernière ligne, ce déterminant est nul. Le déterminant est encore nul quand il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première colonne, de la deuxième colonne, . . . , de la dernière colonne. On suppose, bien entendu, que les coefficients de la relation linéaire ne soient pas tous nuls.

Si, par exemple, la relation

ax -h Py -h Y^ -f- 8^ = o

est vérifiée quand on y remplace respectivement x^y^ 5, t par a, 6, c, rf, par a', t', r', d, par a', b\ c\ rf^ par a'\ b'\ d" , d\ le déterminant

est nul.

Supposons en effet que a ne soit pas nul, on aura, en vertu de l'hypothèse

d'où

OL OL OL

et, de même,

a- Èb-^ïc'-îd',

OL OL a

a-=-lb'-'i,/-ld'.

a!"=— èb'"—1c"— -cT.

On peut donc écrire

-èb-ïc-^-d

OL OL OL

-èb'-ic'-id'

fi OL OL

-h'-lc'-'-d-

OL OL OL

OL OL OL

b'" (T dr

Ce déterminant, d'après la règle du n" 146, se décompose en trois autres, dont chacun est nul parce que les éléments correspondants de deux colonnes sont proportionnels.

La réciproque de cette proposition est vraie : si un déterminant du /i* ordre est nul, il existe n coefficients, dont l'un au moins n'est pas nul, tels que, si l'on ajoute les éléments d'une ligne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, on obtient une somme nulle. De même, il existe n coefficients, dont l'un au moins n'est pas nul, tels que, si l'on ajoute les éléments d'une colonne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, la somme soit nulle.

La proposition est évidente lorsqu'il y a un mineur relatif à quelque élément du déterminant proposé qui n'est pas nul. Si, par exemple, il s'agit du déterminant du quatrième ordre

a' b' c cC

a"' b"' c'^ éT

011 a, 6, • • •, d!" désignent des nombres quelconques, on a

ka -hB6 -hGc -hD^ = a, Ka' -+- B6' -f- Ce' -h Drf' = o, ka" -4- Bô" -+- Ce' -+- DflT = o, Aa'-i- B6"-t- Gc'-h 0^;^'"= o,

en désignant par .\, B, C, D les valeurs numériques des mineurs relatifs aux éléments a, 6, c, rf. Si A est nul et si l'un des mineurs A, B, C, D n'est pas nul, il est clair que les éléments d'une même ligne vérifieront la relation Aj;-h By-h dz + Dm = o. Gomme on peut remplacer A, B, G, D par les mineurs relatifs aux éléments d'une ligne quelconque, la proposition est bien claire, pourvu que l'un des seize mineurs A, B, . . . , D'" ne soit pas nul.

Si tous les mineurs sont nuls, la démonstration est en défaut. La proposition subsiste, comme on le verra plus tard (n° 159).

149. Voici maintenant quelques conséquences de la proposition établie au n" 147, d'après laquelle on peut retrancher des éléments d'une ou de plusieurs lignes (ou colonnes) les éléments correspondants d'une autre ligne (ou d'une autre colonne).

On peut ramener à un déterminant d'ordre n — i un déterminant d'ordre n dans lequel tous les éléments d'une ligne (ou d'une colonne) sont égaux.

Gonsidérons par exemple le déterminant

1 I I abc a' b' c'

On peut retrancher les éléments de la première colonne des éléments de la seconde et de la troisième : on obtient ainsi le déterminant

La même proposition permet parfois de faire apparaître un facteur dans un déterminant dépendant de deux ou plusieurs variables. T. 24

Désignons par exemple par/(a:), g{x)^ h(x) trois polynômes en j? et par a, b, c trois variables quelconques, et considérons le déterminant

f{b) g{b) h(b) f{c) gic) h{c)

On reconnaît de suite que le déterminant est divisible par b — a, car il s'annule identiquement quand on y remplace b par a, comme ayant alors deux colonnes identiques; il est de même divisible par c — b^ a — c et, par conséquent, (n° 158), par (6 — a){c — b){a — c). On fera, si Ton veut, apparaître successivement ces facteurs en écri^ vant d'abord le déterminant sous la forme

Ab)-f(a) g{b)-g{a) h(b)-h(a) Ac)-f{a) g(c)-g(a) h(c)-h{a)

En désignant par F(a, 6), G(«, é), H(r/, b) les quotients, évidemment entiers, de la division par b — a des polynômes /{b) — /(^), g{b) — g{^)j A(6) — A(a), on voit que le déterminant proposé peut

s'écrire

fia) g{a) h(a)

Dans le déterminant qui figure dans cette expression on peut remplacer les éléments de la seconde ligne par

et ces nouveaux éléments sont tous divisibles par b — c; le reste est évident.

Cette méthode s'applique, par exemple, au déterminant

mais il est plus simple de remarquer ici que le déterminant est du troisième degré en a, 6, c comme le produit (b — c){c — «)(« — b);

DETERMINANTS. 871

le quotient du déterminant par ce produit, qui doit être entier en a, 6, c, ne peut donc être qu'une constante ; la comparaison d'un même terme 6c^, par exemple, dans les deux développements montre que l'on a

= (6 — c)(c — a) (a — ^) = 6c* -H ca' -f- a6* — b^c — c^a — a^b.

Cette identité n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de l'identité que je vais énoncer.

Le déterminant du n**"** ordre

\ Xi x\ ., I Xt x\ . .

I Xfi Xfi

dont la loi de formation est suffisamment évidente, est identique au produit

{Xn—Xn-OiXn —Xn-t)(Xn — a?«-j) . • . (a7« — X^),

{Xa-i — Xn~t){^n-l — ^n-z) ••. (^/i-l — aTi),

{Xn-i— Xn-z) ••• (a?rt-î — iPl),

de toutes les différences que l'on peut former entre l'une quelconque des quantités x^j x^-, . . . , a?/i et celles qui la précèdent. On reconnaît comme plus haut que le déterminant s'annule si l'on suppose Xp=^ Xq^ par exemple, en supposant que les nombres naturels />, q soient différents entre eux et au plus égaux à /i, qu'il est divisible par le produit <le toutes les différences, enfin que le déterminant et le produit développés contiennent un même terme ar^j^J .. .jj^"*. On a rencontré déjà ce produit au n^ 126.

150. Soient données n équations du premier degré à n inconnues

Xi = o, Xi = o,

X|, X2, . . . , Xrt sont des polynômes du premier degré en J7|, a:^, • . . , Xft^ que j'écrirai sous la forme suivante :

Xi = ai,i a?!-»- «1,2 J7j-h. ..-f-ai,„a?rt-t-ai,,n|,

Xj = «2,1 a?! -h «2,2^2-1-. . .-H ^i,n^n-+- ^î,«-i-li

X»= art.ia?!-»- «11,1^» -h. ..-*-a„,

Les coefficients des inconnues, d'une part, les termes tout connus ûfj,»^.!, •••, An./i+n de l'autre, sont regardés comme des nombres donnés.

Désignons par A le déterminant du n*^"* ordre

^n»l *«>« • • • ^mn

que l'on appelle habituellement le déterminant des équations (i); désignons, comme au n° 145, par A^^^ le mineur de A relatif à l'élément aa,p, et supposons A différent de o. Si l'on multiplie respectivement par A^p, A2,p, ..., A«^p les égalités qui définissent X|, X2, ..., X« et que l'on tienne compte des identités du n° 145, on trouve

(3) A,,pX,-f- Aj,pX,-f-...-f- \n,^Xn= Aa?p-r- Bp,

en posant, pour abréger,

(4) Bp= Ai,pai,„-Hi-H A2,pa2,n-hi-H...-H A„,pa«,rt+i.

L'égalité (3) valable pour ^ = i, 2, • . . , /i est une identité en x^^ Xj, ..., J7«, quand on regarde X«, X^, ..., X« comme étant mis, seulement pour abréger, à la place des seconds membres des égalités (2). Elle met «n évidence ce fait que X|, X2, ..., X^ ne peuvent être nuk

Bft sans que x^ soit égal à — — ^; en d'autres termes, les équations

Xl := o, X2 = O,

entraînent les équations

Bt

et ne peuvent donc avoir (l'autre solution que celle de ces dernières, qui est évidente. Il reste à savoir si les valeurs trouvées ainsi satisfont effectivement aux équations proposées; c'est ce que l'on vérifie en y remplaçant a?i, X2, . . -, x„ par les seconds membres des égalités (4) ou par le calcul suivant, qui revient au même : Récrivons plus explicitement les n identités (3), à savoir

A^i.i ^1 -H Aj,i Xj-f-...-h A«,i X„ = Axi ■+■ Bi, Ai,î X, -h A,,î X, -h. . .H- A„,, X„ = Aa?j-i- B,,

Ai,rtXi-h Aj,rtX,-i-. . .-f- An.n^n = Aar^H- B^;

multiplions-les respectivement par a»,,, ««,2, . . ., ««,« et ajoutonsles ; on obtiendra, en tenant compte des identités du n" 14o,

(6) AXa= a«,i(Airi-hB,)^-aa,î(Aa:i-4-Bj)-H...-l-a«,„(Aar„-i-Brt).

On a encore affaire ici à une identité en x^, x-i, • • • , Xn, quand on suppose X|, X2, ..., X« remplacés par leurs expressions explicites (2). L'identité (6) montre que, si l'on suppose nulles les quantilés Aa?! + B| , A^2 4- B2, . . . , Aj:„ -f- B,^, Xa est nécessairement nul, et ceci, d'ailleurs, quelle que soit la valeur 1,2, . . ., n attribuée à l'indice a. En d'autres termes, les équations

(4) Aa?iH-B, = o, Aa7t-i-Bj=o, Aarn-HB„=o

entraînent les équations

Les deux systèmes (1) et (4), lorsque A n'est pas nul, sont donc équivalents.

Lorsque le déterminant d'un système de n équations à n inconnues est différent de o, ce système admet une solution, et une seule.

Cette solution est formée d'un système de n fractions, toutes précédées du signe — . Le dénominateur commun de ces fractions est le déterminant A des équations, lequel ne dépend que des coefficients des inconnues, nullement des termes tout connus ai /,^i, a^^^i^i, . . . , «/i,w+i. Le numérateur de la fraction qui donne la valeur de x^ s'obtient en remplaçant dans A les coefficients ^j^p, a2,p, •••, ««^p de cette inconnue par les termes tout connus ai ^„^t , a^^n^i j • • • > ^n,n^ < •

Ce dernier point résulte de l'expression de Bp, qui s'obtient en remplaçant dans le développement

Ai.pai,p-H Aj,pa,,p-h. . .-f- A„,pa„,p

du déterminant A suivant les éléments de la P'*"* colonne, les éléments a,^p, aa^p, . . ., a^j^p de cette colonne, dont aucun ne figure dans les mineurs A|^p, A^^p, ..., A„^p, par les termes tout connus

J'ai supposé, dans ce qui précède, que les coefficients des inconnues «1^1, ..., Ufi^n et les termes tout connus ai^„^i, ..., a„^,^^^ élAienl des nombres; il est clair que les résultats subsistent si l'on regarde les lettres «i,«, ..., a„^,i, ..., a„^„^^ comme désignant des variables, pour toutes les valeurs de ces variables qui n'annulent pas A; au reste, il convient de remarquer que les égalités (3) et (6). d'où le résultat essentiel a été tiré, sont non seulement des identités en J?i, X'2^ ««M ^/t) niais encore des identités en j?,, ^2, ..., Xnj a,,,, ..., a,i,,„ a,,,,^.,, ..., a„,„+,, pourvu qu'on y remplace non seulement X,, Xa, ..., X„ par leurs expressions explicites (2;, mais encore le déterminant A et ses mineurs A^^p par leurs expressions explicites en ai^i, ..., a^,,, et les quantités B,, B2, ..., B„ parles seconds membres des égalités (4). Cela résulte clairement de la démonstration.

Il convient encore de remarquer, sur les formules (4), que les expressions des quantités B,, B^, ..., Bn sont linéaires en ai^a^i^ ^2,/i+i, •••? <^fi,»+i'i il en est de même, évidemment, des quotients de B|, Ba, ..., B,/ par le déterminant A, supposé différent de o, où ne figurent pas «i,/,^!, «a^n+i, . . ., «/i,/i+i ; il en est de même encore des inconnues ^1 , jjj, . . ., ^a. Celles-ci peuvent être regardées comme des formes linéaires en al^f^^^^ ût2,«+i, . . ., ût«,M+i dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de a^^^y ai,^, ... a^^^. Si, en particulier, on attribue à ces dernières lettres des valeurs numériques qui n'annulent pas A, et si l'on regarde ai ^«^i , a^^n+t ? • • •? ««,/i+4 comme des variables, les expressions de Xf, x^f ..., x,t sont des formes linéaires en ai,/i^i, a2,/i+i> «//,/i+< à coefficients numériques.

Enfin, il est à peine utile de dire que, lorsqu'il s'agit d'équations purement numériques, on peut, si l'on veut, se servir des formules générales établies plus haut (en supposant toujours A différentdeo) pour calculer les valeurs numériques des inconnues. A la vérité, les

simplifications dont les équations proposées sont susceptibles en raison de la forme spéciale qu'elles peuvent affecter, apparaissent souvent d^une façon moins facile sur ces formules que sur les équations proposées elles-mêmes, au moins quand on n'a pas l'habitude de manier les déterminants. Il convient de remarquer, toutefois, qu'aux combinaisons des équations dont on peut apercevoir la convenance sur les équations correspondent, le plus souvent, des combinaisons des lignes des déterminants qui conduisent à des simplifications équivalentes.

Les formules générales, quand on les applique à des équations numériques dont les coefficients ne sont connus qu'imparfaitement, montrent que, lorsque A est très petit, les erreurs sur les résultats qu'entraînent les erreurs sur les données peuvent être très considérables ; si, par exemple, A se trouvait être du même ordre de petitesse que les erreurs possibles sur les données, il n'y aurait rien à tirer des équations.

Avant d'étudier le cas où A est nul et le cas où le nombre des équations diffère du nombre des inconnues, il convient d'introduire une notion nouvelle.

loi. Rang d'un tableau rectangulaire. — Considérons, en général, un tableau rectangulaire comprenant np éléments distribués dans p lignes horizontales, et n colonnes verticales

• • » «l,ni

«p,ll

Désignons par a un nombre naturel au plus égal au plus petit des nombres n, />, et supposons qu'on supprime n — a colonnes et /? — a lignes du tableau, il restera a^ éléments distribués dans a lignes et a colonnes ; dans le cas où a serait égal à /i, ce qui suppose w ^ />, il faut entendre qu'on ne supprime aucune colonne et qu'on supprime/) — n lignes; de même, dans le cas où a serait égal à /?, ce qui suppose p'^n^ il faut entendre qu'on ne supprime aucune ligne et qu'on supprime n — p colonnes ; si l'on avait (i=p = n, on laisserait le tableau carré tel quel.

Dans tous les cas, les a*-' éléments restants peuvent être regardés

comme le& éléments d'un déterminant du a* •"* ordre ; je dirai d'uD pareil déterminant qu'il est tiré du tableau, en sous-entendant le procédé que je viens de décrire; les éléments mêmes du tableau seront regardés comme des déterminants tirés du tableau par la suppression de n — I lignes et de /> — 1 colonnes. Si Ton considère, par exemple, le tableau

on peut en tirer quatre déterminants du troisième ordre par la suppression de la première, de la seconde, de la troisième ou de la quatrième ligne; le premier de ces déterminants est

On peut en tirer dix-huit déterminants du second ordre par la

suppression d'une ligne et de deux colonnes; tel est, par exemple, le

déterminant

On peut en tirer enfin douze déterminants du premier ordre, à savoir les éléments mêmes du tableau.

Revenons au cas général, et observons d'abord que, si l'on considère un déterminant d'ordre a >► 1 tiré du tableau, les mineurs relatifs aux éléments de ce déterminant seront des déterminants d'ordre a — 1 tirés eux-mêmes du tableau; inversement, tout déterminant d'ordre a — 1 tiré du tableau peut évidemment être regardé comme un mineur relatif à un élément de quelque déterminant d'ordre a tiré de ce tableau.

Ceci posé, supposons que les éléments du tableau soient des nombres. La plus grande valeur possible du nombre a telle qu'un déterminant d'ordre a tiré du tableau ne soit pas nul joue, comme on le verra, un rôle important : on appelle ce nombre le rang du tableau. On voit de suite comment se détermine ce rang :

On donne d'abord à a la plus grande valeur possible, à savoir le plus

petit des nombres /?,/>; supposons, pour fixer les idées, ^^ n. Si Tun des déterminants d'ordre p tirés du tableau n'est pas nul, le tableau est de rang p. ( 11 n'y aurait qu'un pareil déterminant si l'on avait p =in.) Supposons que tous les déterminants d'ordre p tirés du tableau soient nuls, on examinera les déterminants d'ordre p — i qu'on peut tirer du tableau ; s'il y en a un qui soit différent de o, le tableau est de rang p — i . Lorsque tous les déterminants d'ordre p — i sont nuls, on examine tous les déterminants d'ordre p — 2 ; si l'un d'eux n'est pas nul, le tableau est de rang p — 2, . . .

On observera que, si un déterminant d'ordre a tiré du tableau n'est pas nul, le tableau est certainement de rang égal ou supérieur à 2; si, en pscrticulier, l'un des éléments du tableau n'est pas nul, le rang du tableau est au moins égal à 1 ; le cas où tous les éléments du tableau seraient nuls échappe à la définition précédente, puisque alors, tous les déterminants tirés du tableau sont manifestement nuls; on dit alors que le tableau est de rang o.

Si tous les déterminants d'ordre a que l'on peut tirer du tableau sont nuls, on peut affirmer que le rang du tableau est inférieur à a; en effet, tout déterminant d'ordre a -h 1 que l'on peut tirer du tableau est nul comme ayant ses mineurs nuls; de même tout déterminant d'ordre a -h a, ...

Si le tableau est de rang a, un déterminant quelconque, non nul, d'ordre a, tiré du tableau comme on vient de dire, s'appelle un déterminant principal du tableau.

On voit, d'après ce qui vient d'être dit, comment écrire les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tableau de np éléments, rangés dans n colonnes et dans p lignes, soit de rang inférieur ou égal à a : on écrira que tous les déterminants d'ordre a + i tirés du tableau sont nuls. Quelques-unes de ces conditions peuvent d'ailleurs rentrer dans les autres. Si l'un des déterminants d'ordre a tirés du tableau est différent de o, le tableau sera de rang a; si tous ces déterminants sont nuls, le tableau sera de rang inférieur à a.

Il est clair que le rang d'un tableau ne change pas quand on échange les lignes entre elles, ou les colonnes entre elles ; supposons qu'on ail affaire à un tableau de rang a >► o : fixons notre attention sur un des déterminants principaux; on peut, par des échanges successifs, amener les a lignes qui en contiennent les éléments à être les a premières lignes du tableau, les a lignes du haut; on peut, de même, par

des échanges successifs de colonnes, amener les a colonnes qui contiennent les éléments du déterminant principal à être les a premières colonnes du tableau, les a colonnes de gauche; on voit ainsi que l'on peut s'arranger pour que le déterminant principal occupe le coin supérieur, à gauche du tableau.

Si Ton supprime d'un tableau rectangulaire quelques lignes ou quelques colonnes, le rang du tableau ainsi modifié sera égal ou inférieur à celui du tableau proposé : il lui sera égal, lorsque la suppression des lignes ou des colonnes aura laissé inaltéré quelque déterminant principal.

Lorsque le rang d'un tableau est égal à 2, les éléments de chaque ligne sont proportionnels aux éléments correspondants, d'une ligne quelconque, de même pour les colonnes.

Il résulte évidemment de la définition du rang d'un tableau, qu'on ne modifie pas ce rang en introduisant dans le tableau des colonnes, ou des lignes, formées d'éléments tous nuls.

152. Si l'on considère un déterminant A, d'ordre /i, le rang de ce déterminant n'est autre chose que le rang du tableau carré formé par ses éléments. On a désigné, au n" 143, sous le nom de mineur de A relatif à un élément de ce déterminant, le déterminant (aflTecté d'un signe convenable) que l'on déduit de A par la suppression de la ligne et de la colonne qui contiennent l'élément considéré; on désigne aussi sous le nom de mineur de A tout déterminant qu'on en déduit par la suppression de a lignes et de a colonnes. Il est nécessaire de distinguer tous ces mineurs. Ceux que j'ai désignés jusqu'ici comme les mineurs relatifs à un élément sont ce qu'on appelle aussi les premiers mineurs; les mineurs obtenus par la suppression de a lignes et de a colonnes sont les a'*"** mineurs; ils sont des déterminants d'ordre n — a. Au lieu de premier, second, . . ., a**"* mineur, on dit aussi mineur du premier, du second, . . ., du a'*"* ordre ; la confusion qui peut résulter, dans cette façon de parler, de l'ordre d'un mineur et de l'ordre du déterminant qu'est ce mineur rend cette façon de parler un peu gênante. Au lieu du mot mineur, quelques auteurs emploienl le mot sous-déterminant.

Quoi qu'il en soit, dire qu'un déterminant d'ordre n est de rang /*, c'est dire qu'il y a un mineur du déterminant qui, en tant que déterminant, est d'ordre r, un (n — /•)»*"• mineur, si l'on veut, qui n'est

pas nul, tandis que tous les déterminants d'ordre supérieur à r qu'on peut tirer du déterminant par la suppression de lignes ou de colonnes sont nuls. Dire que le déterminant est de rang n, c'est dire qu'il n'est pas nul; dire qu'il est de rang o, c'est dire que tous ses éléments sont nuls.

153. Considérons p polynômes du premier degré Xi, X2, . . . , X;, à n variables x^^ x^^ . . . ^ Xn : on dit que ces polynômes sont indépendants lorsque l'on peut attribuer aux variables ^1, x^j . . ., x^ des valeurs qui fassent acquérir aux polynômes telles valeurs que l'on voudra. En particulier un polynôme du premier degré est indépendant quand le coefficient de l'une des variables, dans ce polynôme, n'est pas nul ; on pourra, en effet, donner aux autres variables telles valeurs que l'on voudra; il restera, pour lui faire acquérir la valeur A, à résoudre une équation du premier degré dans laquelle le coefficient de l'inconnue n'est pas nul.

Si les p polynômes X|, Xj, ..., X^ du premier degré en a:,, j^a, ..., Xn sont indépendants, r polynômes choisis parmi ceux-là sont évidemment indépendants.

En conservant la même supposition, et en supposant de plus que X'^, X!j, X'^ désignent soit des constantes, soit des polynômes du premier degré par rapport à des variables qui ne figurent pas dans X|, X^, . . ., X^, les polynômes

X|-t-Xj, Xj-4-Xj, ,.,, Xp-hXp

sont indépendants; en effet, on peut attribuer aux variables qui figurent dans X'^, X!j, ..., X^ des valeurs numériques arbitraires, puis à Xij X2j . , ,^ Xn des valeurs qui satisfassent aux équations

Xt = A| — Xj, X2= Aj — Xj, ..., Xrt=A« — X„,

quels que soient les nombres A,, A^, . . ., A,,.

Les/? polynômes du premier degré en j:,, j^j, . . ., .r^,

X3-+-. . .-h as,,, Xp, j

X p. .\ -+- dp^i^pXp^

38o CHAPITRE X.

OÙ ^1,29 ^1,3; • • • sont des coostantes, sont indépendants : si, en effet, on égale ces différents polynômes à des constantes arbitraires, la dernière équation, qui ne contient que Xp^ sera toute résolue ; la précédente donnera la valeur de Xp i^ la précédente celle de Xp^^'i • • • » ^^ même conclusion subsisterait évidemment si, la forme des polynômes restant la même, les variables a? <, :r 2, . . ., Xp^ au lieu d'avoir des coefficients égaux à I, avaient des coefficients numériques quelconques, dont aucun ne serait nul. Elle subsisterait encore, en vertu d'une remarque précédente, si l'on ajoutait aux polynômes considérés, soil des constantes numériques, soit d'autres polynômes du premier degré par rapport à d'autres variables.

154. On va apprendre à reconnaître si p polynômes du premier degré donnés sont indépendants ou non, et, plus généralement, combien, parmi eux, il y a de polynômes indépendants. Cela, comme on va le voir, ne dépend que des coefficients des variables, nullement des termes constants.

Supposons les polynômes du premier degré écrits les uns au-dessous des autres de manière que les coefficients d'une même variable figurent dans une même colonne verticale : les coefficients qui manquent étant remplacés par des zéros. Les coefficients de toutes les variables forment alors un tableau rectangulaire tel que ceux que nous avons considérés dans le n" 131. J'appellerai rang du système de polynômes ou, plus brièvement, rang des polynom.es, le rang de ce tableau. Je vais montrer que le rang d'un système de polynômes est égal au nombre des polynômes de ce système qui sont indépendants.

Je supposerai d'abord que ce rang soit égal au nombre des polynômes, pour montrer que, dans ce cas, les polynômes sont indépendants.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois polynômes : si le rang du tableau est 3, ces polynômes contiennent au moins trois variables, puisque le rang du tableau ne peut être inférieur au nombre des colonnes, c'est-à-dire au nombre des variables dans les polynômes ; supposons que ceux-ci contiennent cinq variables, et soient

\ = ax -^ by -\- cz -\- dt -t- eu -h p, Y = a'x -H b'y -*- c'z -h d't -\- e' u ->t- />', Z = a' 37 H- b'y -h c" z -^ d" t -ï- e' u ^ p'

DÉTERMINANTS. 38l

les trois polynômes : le tableau des coefficients est alors

d rf'

et, par hypothèse, Pun des déterminants du troisième ordre tiré de ce tableau, par exemple le déterminant

abc a' b' c' a' b' c"

n'est pas nul; si l'on veut que les polynômes X, Y, Z acquièrent les valeurs numériques A, A', A", on attribuera aux variables t^ a, dont les coefficients ne figurent pas dans le précédent déterminant, des valeurs numériques quelconques et l'on résoudra les trois équations en X, y, z

ax -h by -h cz -h dt -h eu -^ p — A=o, a'x -h b'y -h c'z -h d' t -h e' u -h p' — A' = o, a'x -h b" y -^ <f z -h d" t -\- e" u -\- p" — A'= o,

dont le déterminant n'est pas nul, et qui, par conséquent, admettent une solution. La proposition est démontrée. Il est clair qu'il n'y aurait rien à changer dans la démonstration, s'il n'y avait que trois variables X, j/", ^, si ce n'est qu'on n'aurait pas eu à attribuer à ^, u de valeurs numériques.

loo. Considérons maintenant le cas où le rang du tableau est inférieur d'une unité au nombre des polynômes ; je vais prouver que les polynômes ne sont pas indépendants et qu'il existe entre eux une relation identique du premier degré.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de quatre polynômes, et que leur rang soit égal à 3 : ces polynômes devront contenir au moins trois variables. Soient

X = aa7 -\- by -\-cz -h dt -heu -¥- Py Y = a'x -t- b'y -f- c' 5 -h d't -h e' u -+- p\ Z = a'ar -h b" y -+- c z -h d' t -h e" u -+-/?', T = oT'x -h b'"y -h d"s -h d'" t -h e'" w -f- p"

ces polynômes : le tableau des coefficients est ici

Il est, par hypothèse, de rang 3, c'est-à-dire que Ton peut en tirer un déterminant du troisième ordre qui ne soit pas nul et que tous les déterminants du quatrième ordre que l'on peut en tirer sont nuls; je suppose que le déterminant du troisième ordre

oT

dr

ne soit pas nul : on peut, comme on Ta expliqué plus haut, en changeant au besoin Tordre des polynômes et des variables, supposer que ce soit ce déterminant-là qui ne soit pas nul, du moment qu'il y a un déterminant du troisième ordre qui est différent de o.

Il résulte de l'hypothèse faite sur le déterminant A que les polynômes X, Y, Z sont indépendants.

Considérons le tableau

oT b' cT,

"» tur *•

obtenu en plaçant sous le déterminant considéré les coefficient!» a'", 6'", c'" qui, dans le polynôme T, multiplient les variables x, y^ z dont les coefficients figurent dans le déterminant principal A. Les trois colonnes de ce tableau peuvent être regardées comme les trois premières colonnes d'un déterminant du quatrième ordre, déterminant dont la quatrième colonne serait formée d'éléments arbitraires ; désignons par A, X', X", X'" les mineurs de ce déterminant relatif aux éléments de cette quatrième colonne, à savoir

DETERMINANTS.

Il importe de remarquer, d'une part, que le mineur ^'"=1 n'est pas nul, par hypothèse, d'autre part que l'on a

puisque les premiers membres de ces égalités ne sont autre chose que les déterminants du quatrième ordre

tirés du tableau.

Ceci posé, multiplions les égalités qui définissent les polynômes X, Y, Z, T par À, X', X", X"' et ajoutons-les : dans le second membre, les coefficients des variables ^, u seront nuls, en vertu de la remarque qu'on vient de faire ('), il en serait de même des coefficients de x, y, ^, en vertu des relations entre les éléments d'un déterminant et les mineurs établies au n" 145. On parvient donc à la relation