Résoudre par rapport k x^ y^ z les trois équations

^^ ?xi ?ri ?z désignent les dérivées partielles par rapport k x^ yy z du polynôme homogène et du second degré

^(ar, K, ^) = aj?*-i- a'y^-^ az^-h '^byz -t- ib'zx -k- 2 b'xy»

Si l'on pose

A'= aa' — b"*, B*= bb' — a'b',

A = aa'a'-^ ^bb'b" - ab^— a'b'*— a'b'*,

et si l'on désigne par 4> (X, Y, Z) le polynôme en X, Y, Z

AX«-hA'Y«-+-A'Z«H-2BYZH-aB'ZX^-2B'XY,

on tire des équations (i), dans le cas où A n*est pas nul,

àx = - 4>x, à^y = - *Ï>Y, As = - 4>z.

Sous la même supposition (A différent de o), montrer que, si Ton regarde X, Y, Z comme représentant les premiers membres des équations (i), on a identiquement

A<p(ar,^,z) = *(X,Y,Z).

l;i9. En conservant les notations de l'exercice précédent, on a identiquement en ûf, a', a", 6, b\ h'

A a = A'A'— B*, A6 = B'B'— AB,

Aa' = A'A — B'î, A6'= B'B — A' B',

Aa'=AA' — B'*, A6'=BB' — A'B%

A» = AA'A'-h îBB'B"— AB«— A'B'*— A'^B'*,

A = Aa 4- B'6'-h B'6'= B'A'h- A'a'-h BA = B'6'-+- ^b -h A' a',

o = A6' -h B'a -h B'è rs A 6' -h B'6 -h B'a',

o = B^'a -h A' 6' -h B6' = B''è'-4- A'6 -+- Ba',

o = B'a H-B6' -hA'6'=B'6''-4- Ba'-hA''6.

Toutes ces identités sont contenues, comme cas particulier, dans celles qu'on a démontrées aux n"" 134 et 135.

Montrer que si a, a', a', 6, 6', b" sont des nombres réels et si A est nul, les quantités A, A', A' sont de même signe et que les égalités

A = o, A -4- A'-+- A"=o entraînent

Résoudre par rapport à a, a', a*, 6, b\ b" les équations

A =a'a"— 6», B =b'b'—ab,

y^aa' -b'*, B'=bb' -a'b',

où Ton regarde A, A', A", B, B', B' comme des données.

140. En désignant par ai, as,..., Unt bi, 6^, ..., bn des nombres donnés dont les n premiers sont différents de o, on propose de trouver la solution la

plus générale des n équations à /n- i inconnues Xq^ art, arj, . . . , Tn

Xf. = arXr-\ -f- àf.

(où r prend les valeurs i, 2, . . . n).

Après avoir observé que cette solution, si 61, 6^, . . ., ^„ étaient nuls, serait donnée par la formule

Xr^= a^a^, . . a^Xo^ (r = i, 2, . . . /i),

où Xq reste arbitraire, on changera d'inconnue en posant

X;.= airtj, arXr, (r = I, 2,... n).

Les équations proposées prennent alors la forme

yr=yr-X-^ — — (/' = i,2,.../l),

aia,.. .ar d'où Ton déduit sans peine

la solution la plus générale des équations proposées est donnée par la formule

/ ^1 6, br \

Xr= a^a^ . • . ar \ Xq-\- 1 h ... H 1 •

\ a\ a\Ci^ a\Ci\,,,arJ

141. Trouver toutes les valeurs de x^y^ -s, s qui vérifient les trois équations

ax -^ cy -h bz = 5 «, ex -r- by -h az = sy, bx -4- ay -r- cz = sz,

où Ton suppose qu'aucun des coefficients a, b, c n'est nul. En ajoutant ces trois équations on trouve

il faut donc que Ton ait soit s = a -h 6 -h c, soit x -\-y -^ z =z o. Dans le premier cas, si — ^■ î ■* — n'est pas nul, on satisfait aux équations

en prenant x = y = z; si — •" T "^ — ^^^ '^"^ ^° P^"^ prendre arbitrairement

deux des inconnues a?, y^ z.

Si Ton suppose s différent de a h- 6 h- c, les trois équations proposées équi-

valent aux équations

(a — b — s)x-i-(c — b)jr = o^ (c — a)x -h{b — a — 5)^ = 0.

On peut satisfaire à ces équations en prenant s quelconque et x,y^z nuls, on en supposant