Mettre les déterminants

I sina tanga I sin6 tang6 I sine tangc

1 sina cosa I sin6 cos6 I sine cosc

sous forme d'un produit de trois facteurs s'annulant respectivement quand on suppose ô = c, r = a, a = /;.

Montrer, en s'appuyant sur l'identité à laquelle on est conduit en considé-

DÉTERMINANTS. 4l3

rant le dernier déterminant que, si a, p, y sont trois nombres dont la somme est nulle, on a

sin a -t- sin

ÔH- sinv-t- 4 sin— sin -^ sin -i ■= o.

149. La trigonométrie fournit, entre les éléments d'un triangle, les relations

a = 6 cosC -h c cosB, 6 = c cos A. -h a cos G, c = a cos B ~{- b cos A ;

quelle relation doit-il y avoir entre A, B, G pour que les égalités précédentes, regardées comme des équations linéaires en a, 6, c, admettent une solution autre quea = o, 6 = o, c = o?

loO. Montrer que les relations

a'a'H-^»'6'-Hc'c'=o, a'a -+- fb -+■ c'c = o, a a' -h b b' -^ c c' = o

entraînent, en désignant par A le déterminant

abc

et par A, B, . . ., G'' ses mineurs, les relations

A = Aa, A'= Aa', A'= Aa',

G =Ac, G'=Ac', G'= Ac',

ôc -+- A'c' -h b'c' = o.

inversement les six dernières relations entraînent celles qui précèdent. On peut prendre comme point de départ le fait que les trois équations

a a->r b b -i- ce =i, a' a -f 6' 6 -H c' c = o, a''a -h b" b -+- c" c = o,

4l4 CHAPITRE X.

traitées comme des équations du premier degré dont les inconnues seraient a, 6, c et dont les coefficients seraient les éléments du déterminant A, entraînent les relations

aA = A, 6A = B, cA = C.

151. D'un tableau rectangulaire de np éléments ranges dans p lignes el n colonnes, combien peut-on tirer de déterminants d'ordre r, en désignant par r un nombre au plus égal au plus petit des nombres ai, />?