Quelle relation y a-t-il entre les polynômes

où a, 6, c, X, p. sont des constantes différentes de o?

Au lieu d'appliquer la méthode développée dans le n° 153, il est plus commode ici d'employer le procédé suivant qu'on généralisera sans peine; on regardera les égalités précédentes comme des équations en a;, y^ z et X, Y, Z, T comme des quantités connues; on résoudra trois de ces équations par rapport à a:, ^, z et Ton portera les valeurs trouvées dans la quatrième. Les calculs qui suivent équivalent à ceux, qu'on vient de dire.

(X— |Jl)- H-X Z^-X-|-JX = 0,

(HL-X)^^Xfx(Y-T)-X-HL = o, X — Z-hXfx(Y-T) = o.

Résoudre la même question en cherchant cinq nombres x, p, Yi ^^ ^ ^^^^ V^^ l'on ait identiquement, en x^ y, z,

aX -h- p Y -h yZ -h 8T -f- e = o.

153. Soient Xi, Xj, ..., X^ des formes linéaires en x^, x^^ ..., x,,. Si l'on connaît, d'une part, la solution la plus générale des équations Xj = o, Xî=o, ..., X,, = o et, d'autre part, une solution particulière des équations Xi = ai, X2=ai, ..., Xp = a^, où ai, oc^, ..., a^ sont des nombres donnés, comment pourra-t-on en déduire la solution la plus générale des dernières équations?

154. Si les polynômes X|, X2, ..., X^, du premier degré en arj, a-j, ..., jr„, sont de ranj; r, il ne peut exister plus de p — /• polynômes du premier degré en Xi, Xj, . . ., X^, indépendants quand on regarde ces dernières lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement quand on remplace Xi, Xj, . . ., X^ par leurs expressions explicites en x^^ a:j, . . ., Xn»

155. Si Xi, Xj, ..., X^ désignent des polynômes du premier degré en Ti, iCj, ..., Xn et s'il existe q polynômes (et non davantage) du premier degré en X], Xt, ..., Xp, indépendants quand on regarde ces lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement lorsqu'on remplace X|, Xj, . . ., Xp par leurs expressions explicites en a?i, a:», ..., a?,,, les/? polynômes Xi, Xj, . . . , X;^ sont de rang p — q,

156. Si les polynômes Xj, Xj, . . ., X,,, du premier degré en a?i, arj, . . ., a?„, sont de rang r et si l'on peut les exprimer tous au moyen de r polynômes X'i, Xj,..., X'^ du premier degré en X\^ arj,..., Xn par des formules telles que

X» = ati',, X', H- a/,, X; H- . . . -+- a/,r X';. -f- a/,^-^! ( « = 1 , '2, . .,/?),

où a/,1, a/,t, . . . sont des coefficients constants, les polynômes Xj, Xj, . . ., X';. sont indépendants.