DIVISION PAR UN MONOME

50. Les monômes et polynômes que l'on considérera dans ce Chapitre seront toujours, sauf au n°58, des monômes ou polynômes à une variable, que l'on désignera par la lettre x.

Si l'on considère deux monômes «x", bxP, dont le premier est dit dividende, et le second diviseur, il n'y a évidemment pas de polynôme, contenant deux termes ou davantage, qui, multiplié par le second, reproduise le premier. Il existe un monôme qui, multiplié par bxP^ reproduise ax'^ si p est inférieur ou égal à n, à savoir le

monôme -rX'^^P\ qui se réduit à y- si /i est égal à /?; on dit alors que le monôme ax'^ est divisible par bxP^ et le monôme vX'^'P est le

<juoLient de la division de ax'^ par bxP : sa valeur est toujours égale au quotient exact de la division de la valeur du monôme dividende par la valeur du monôme diviseur, sauf lorsque x est nul, auquel cas

l'expression -, — ^ n'a pas de sens.

Quand n est plus petit que/>, il n'y a ni monôme ni polynôme qui, multiplié par bxP ^ reproduise ax^ : ax"^ n'est pas divisible par bxP. Toutefois, il y a une expression, d'une forme analogue à un monôme, qui jouit de cette propriété : c'est l'expression

b xi>-"^ h h

en posant ni^= n — p.

Malgré son analogie avec les monômes, on ne donnera pas le nom de monôme à l'expression ax~"'^] il sera toutefois commode, à l'occasion, de dire qu'elle est de degré négatif — m.

DIVISION DES POLYNOMES. l33

Considérons un polynôme A et un monôme B. Existe-t-il un polynôme Q, tel que le produit par B de ce polynôme soit identique à A?

S'il existe un tel polynôme, le produit de chacun de ses termes par B devra reproduire identiquement un terme de A; chaque terme de A est donc divisible par le monôme B, c'est-à-dire qu'il est de degré égal ou supérieur au degré du monôme B : S'il en est ainsi, en divisant, comme on vient de l'expliquer, chaque terme de A par B, on obtient évidemment un polynôme Q qui, multiplié par B, reproduit le polynôme A : celui-ci est divisible par le polynôme B; le polynôme Q est le quotient de la division.

Sa valeur, quel que soit le nombre x (différent de o), est égale au quotient exact obtenu en divisant la valeur du polynôme A |iar la valeur du polynôme B.

Ainsi le polynôme 5^?^ — '6x^-\-^x^ est divisible par le monôme 3 o:^,

le quotient est -x'* — x^ -\- -^x"^.

Lorsque A contient un terme de degi'é inférieur au degré de B, la division n'est plus possible, au sens que l'on vient de dire; toutefois, on peut encore diviser, comme on l'a expliqué plus haut, chaque terme de A par le monôme B, quitte à introduire des termes ayant un exposant négatif. On obtient ainsi une expression analogue à un polynôme (à laquelle, toutefois, je ne donnerai pas le nom de polynôme), qui reproduit identiquement A quand on la multiplie j)ar B, et dont la valeur, sauf pour ^r = o, est toujours égale au rapport de la valeur de A à celle de B. On l'appellera, si l'on veut, le quotient exact de la division de A par B.

En divisant, par exemple, le polynôme ix^ — ox--\-^x — i par Zx^f on obtient ainsi l'expression

3 6 X à x^- à 3 3 Les expressions de la forme

\x^-+- B:r?-+-. . .-h La7^,

OÙ A, B, . . . , L sont des constantes, et où a, p, . . ., A sont des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, jouissent de propriétés ana-

l34 CHAPITRE m.

logues à celles des poljnomes (on ne leur donne pas toutefois le nom de polynômes quand l'un des nombres a, p, . . ., A est négatif).

On peut les réduire, les ordonner par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la variable. Par exemple, l'expression précédente sera ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x si l'on a a > j3 >-. . .^)w Kx'^ sera alors le terme du plus haut degré, \^x^ le terme du plus bas degré.

On peut ajouter, retrancher, multiplier des expressions de cette nature, en opérant comme pour les poljnomes ordonnés. On reconnaîtra même, dans le cours de ce Chapitre, sans que j'y insiste davantage, qu'on peut les diviser par les mêmes règles que les poljnomes.

Je laisse au lecteur le soin de reconnaître qu'une expression de cette nature, quand elle est réduite, ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x^ sans être identiquement nulle ; que deux expressions réduites de celte nature ne peuvent être égales pour toutes les valevirs de X sans être identiques terme à terme; qu'une telle expression, quand elle estrédviile et qu'elle contient effectivement des termes de degré négatif, est très grande en valeur absolue, pour les valeurs de x voisines de o; qu'elle est, pour de telles valeurs, du signe ^de son terme du plus bas degré ; que, si elle contient effectivement des termes de degré positif, elle est, pour les très grandes valeurs absolues de x^ très grande en valeur absolue, et du signe de son terme du plus haut degré.