La relation
X„ — ■ixXii-i-i- X,j 2 = o,
où n désigne un nombre entier au moins égal à 2, permet, quand on se donne deux polynômes Xq, Xj, de trouver successivement les polynômes
X2=2arXi — Xo, X3= 7.xX^ — Xj, X4 = ...,
qui la vérifient identiquement.
On supposera dans ce qui suit Xq = i, Xj = ar.
Former explicitement les polynômes Xj, X3, X4, X3.
Montrer que X„ est un polynôme de degré n, ne contenant que des termes dont le degré est pair ou impair suivant que n est pair ou impair.
Trouver pour X„ le coefficient de x"^ et celui de x"^"^.
Quelle est la valeur du polynôme X„ pour x = 1 et x = — i ?
Montrer que X„, quand on y remplace x par cosa, devient égal à cosna.
i l3o CHAPITRE II.
37. Trouver tous les polynômes /(ar), de degré «, qui satisfont identiquement à la relation
{,- x^-)/"{a:) - xf {x) -i- n^/ix) = 0,
où f (x), /"(x) désignent les dérivées, première et seconde, def(x).
On posera/(a:) = Ao^;'»-!- Aia7"-i-f-. . .-+- A„. En remplaçant, dans la relation précédente /(a;), /'(a:), /"(a7), par leurs expressions développées et en écrivant que, dans le premier membre, les coefficients dex'^, x"--^, ...,x"^-i', ... sont nuls, on aura tout ce qu'il faut pour montrer que Ai, A3, Aj, ... sont nuls et pour déterminer A2, A^, Ae, ... au moyen de Ad le polynôme /(.r) est ainsi déterminée un facteur constant près.
Montrer que, si l'on prend Ao= -i'^-^, le polynôme /{ce) n'est autre chose que le polynôme X^ de l'exercice précédent.
38. Ordonner, suivant la puissance de x, le polynôme que l'on obtient en •prenant la dérivée n^ de (x^ — 1)" et en divisant le résultat par le produit •2.^. . .2.n des n premiers nombres pairs. En désignant ce polynôme par P„(a7), •.montrer que l'on a identiquement en x
nPn{x)— (2/1 -i-l)xP n-l{X!)-+- (n -—l)Pn-i(x) = O,
{i — x'^)P"n{x) — ixV'iii^x) -^ n{n ^ i)V ,i{x) = o.
La première de ces relations permet de calculer successivement les polynômes P2, P3, Pi) • . •, quand on suppose Po= •, Pi =f -z^^ — T-
Dans la seconde, P'n{x)., P",i{x) désignent les dérivées première et seconde •de P„(x). Tout polynôme /(a?) qui vérifie identiquement la relation
(\ — x-')f"{x) — ixf'(x)^n{n + \)f{x) = o
•est de la forme AP„(a7), en désignant par A une constante. Quelle est la valeur de P n{x) pour a? = i, pour x = — i?
39. Combien y a-t-il de termes, en supposant qu'il n'en manque aucun, dans un polynôme homogène du /i''"'* degré, à deux, trois ou quatre variables? Dans un polynôme non homogène? Combien dans un polynôme non homogène <le degi'é /i, à trois variables, y a-t-il de termes où l'une des variables entre au degré/)? On suppose toujours qu'aucun terme ne manque.
40. Soit/(a7o, ocx, ..., x^-x) un polynôme réduit à n variables; soit g un nombre naturel supérieur au degré du polynôme /(xo, a^i, ..., x,i-i) par rapport à l'une quelconque des variables; dans ce polynôme on remplace respectivement (*) xq, xi^ . . ., x^, x,i-i par x, x^., xs*, . . ., x^"'^ ; soit F(x)
(') Dans xs'-, xs", ...., g^ et g'' sont les exposants de la puissance à laquelle on élève x\ le carré, ou le cube de x^ se représentent par {x=Y — ^'^'j {x?Y— x'^^.
POLYNOMES. l3l
le polynôme en x auquel on parvient ainsi. Montrer, en s'appuyant sur ce qu'un nombre naturel ne peut s'écrire que d'une seule façon dans un système de numération dont la base est g, qu'à deux termes distincts du polynôme /(Xit^Xi, ..., a7,j,), correspondent deux termes distincts du polynôme F(x) et comment, connaissant le polynôme F(a7), on peut retrouver, terme par terme, le polynôme y (a^o, ^i, .••, ^«-i).
41. Un polynôme y" (iFo, ^i, •.., ■2^/t-i) ne peut être nul pour toutes les valeurs entières attribuées aux variables sans être identiquement nul.
42. Un polynôme /(xq, a^i, ..., x^—i) ne peut être nul pour toutes les valeurs des variables qui satisfont à la condition ©(a^O) ^i, • • •> ^n-i) > o, où o(xo, Xi, .... x,i—i) désigne un polynôme donné, sans être identiquement nul.
La démonstration des propositions énoncées dans les exercices 41, 4*2 est immédiate quand il s'agit de polynômes à une variable.
L'artifice indiqué dans l'exercice 40 permet, en prenant ff assez grand, de ramener à ce cas le cas d'un polynôme à n variables.
43. Montrer que tout polynôme /(.r, y) à deux variables x, y tel que l'on ait identiquement y^j= o est la somme d'un polynôme en x, et d'un polynôme en j'.
44. Déterminer le polynôme le plus ^énévaX f{x, y) homogène en x^y^ du degré «, tel que l'on ait identiquement en x, y
/Il .n
Même question, en suppinmant la condition relative à l'homogénéité.
DIVISION DES POLYNOMES.
