r5 — ox'' -+- X- — X (aa-'î— 5a"-i

Sar* H x^— -x^ -x^- — X -\

— "XX* ^ x^ — - X- — X

ij 75 45

Quand le reste de l'opération est nul, on dit que la division se fait exactement, que le polynôme dividende est divisible par le polynôme diviseur, ou encore que le polynôme diviseur divise (exactement) le polynôme dividende. Le dividende est alors identiquement égal au produit du diviseur par le quotient (').

S'il en est ainsi, le dernier terme du dividende doit être égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient. Si donc on est amené à écrire au quotient un terme de degré moindre que le degré du quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, ou un terme qui soit précisément de ce degré, mais qui ne soit pas égal au quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, on est sûr que l'opération ne pourra se faire exactement; par exemple, dans l'opération écrite plus haut, dès qu'on a écrit au quotient le terme — x^ et non — t.x, on est certain que la division ne se fera pas exactement.

Lors même que la division de A par B ne se fait pas exactement, il peut être utile de mettre le polynôme A sous la forme BQ -}- R, ou, ce qui revient au même, la fraction ^^ sous la forme Q + p"*

(') Quand le polynôme A est divisible par le polynôme B, on dit que B est un diviseur de A. J'écarterai, dans ce Chapitre, cette forme de langage qui pourrait créer des confusions.

DIVISION DES POLYNOMES. iSq

On a souvent à calculer la valeur numérique que prend le polynôme A pour une valeur de x qui annule un autre polynôme B; au lieu de substituer cette valeur dans A, il est plus commode, surtout si elle est irrationnelle, de la substituer dans R, ce qui donne le même résultat, et est plus aisé. Le lecteur s'en rendra compte en pensant au cas où B est du second degré et où R est, par conséquent, au plus du premier degré.

D'un autre côté, on verra plus tard que pour les valeurs de x^ qui

sont très grandes en valeur absolue, la valeur de la fraction ^^ est très

petite, en sorte que la valeur de -5 est à peu près égale à celle de Q, dont le calcul est plus facile.

Enfin, les notions qui précèdent conduisent à des propositions qui sont l'extension manifeste, aux polynômes, de théorèmes bien connus d'Arithmétique, concernant les nombres entiers.

52. Quand on multiplie le dividende A et le diviseur B par un même polynôme G, le quotient Q n'est pas changé et le reste R est multiplié par le polynôme G. En d'autres termes, le quotient de la division de AG par BG est Q, comme celui de A par B, et le reste est RC.

L'identité A = BQ + R entraîne, en effet, AG = BGQ + RG et cette dernière identité, où le degré du polynôme RG est moindre que le degré du polynôme BG, permet d'affirmer que Q et RG sont le quotient et le reste de la division de AG par BG.

Quand le dividende A et le diviseur B sont divisibles par le diviseur G, le reste R de la division de A par B est aussi divisible par G; quand on divise le dividende A et le diviseur B par G, le quotient Q n'est pas changé et le reste est divisé par G.

Puisque G divise exactement A et B, par hypothèse, soient A'etB' les quotients, on aura identiquement A = A'G, B = B'G, et l'identité A = BQ H- R pourra s'écrire

A'G = B'CQ + R, R = (A'— B'Q)C;

la dernière forme montre bien que R est divisible par G et que le quotient de la division est le polynôme R'= A' — B'Q ; cette identité, qui sert de définition au polynôme R', peut s'écrire A'=B'Q + R';

l4o CHAPITRE III.

le degré de R', égal au degré de R diminué du degré de C, est inférieur au degré de B', qui est égal au degré de B diminué du degré de C; Q et R' sont donc bien le quotient et le reste de la division de A' par B'.

Remarquons en passant que le polynôme C peut se réduire à une constante (non nulle) ; la division est toujours possible. Si l'on prend pour cette constante G le coefficient de la plus haute puissance de x dans B, on ramènera la division proposée à une autre dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x^ dans le diviseur, sera l'unité, ce qui peut être commode. On peut d'ailleurs se borner à diviser tous les coefficients du diviseur par le premier, sans toucher au dividende : le quotient est alors multiplié parle premier coefficient et le reste n'est pas changé.

On ne change pas le reste d'vme division quand on ajoute (') au dividende un multiple du diviseur :

L'identité A = BQ -j- R implique en effet l'identité