A + BG = B(Q + G)-+-R

où C est un polynôme quelconque, et cette dernière identité montre que le quotient de la division de A -}- BG par B est Q + G, et que le reste est R, puisque le degré de R est inférieur au degré de B.

Si le dividende est une somme ou un produit de deux polynômes, le reste de la division par un polynôme quelconque n'est pas changé, quand on ajoute un multiple du diviseur à l'un des termes de la somme ou à l'un des facteurs du produit. G'est une conséquence immédiate du théorème précédent. On voit ensuite qu'on peut aussi bien, sans changer le reste, ajouter aux deux termes de la somme, ou aux deux facteurs du produit, tels multiples du diviseur que l'on veut, puis que le théorème s'étend au cas où le dividende est une somme ou un produit d'autant de polynômes que l'on veut, ou encore une somme dont les termes seraient des produits de polynômes : on peut, sans changer le reste, ajouter un multiple du diviseur à l'un quelconque de ces polynômes et, en particulier, remplacer chacun d'eux par son propre reste, dont il ne diffère que par un multiple du diviseur.

(') Il est inutile de dire ou qu'on retranche, puisque la soustraction peut toujours être regardée comme une addition.

DIVISION DES POLYNOMES.

En particulier, si les deux termes d'une somme sont divisibles par un polynôme, il en est de même de la somme. Si un polynôme divise une somme et l'une de ses parties, le reste de la division de la somme et de l'autre partie seront les mêmes, puisque, lorsqu'on ne s'occupe que du reste, on peut supprimer la première partie. Si un polynôme divise une somme et l'une de ses parties, il divise l'autre. Tout multiple d'un multiple du diviseur est un multiple de ce diviseur, etc.

On voit combien toute cette théorie ressemble à la théorie de la divisibilité, en Arithmétique : on verra plus tard que l'analogie s'étend très loin.

53. Les remarques précédentes permettent, dans bien des cas, de simplifier la recherche du reste dans une division.

Si, par exemple, le diviseur est x — a, on remarquera d'abord que le reste de la division de x par x — a est a, puis qu'on ne change pas le reste de la division par x — a d'un polynôme quelconque en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le polynôme, chacun des facteurs x par son reste «, c'est-à-dire en remplaçant x par a dans le polynôme ; le résultat que l'on obtient ainsi est de degré o, inférieur au degré i du diviseur; c'est donc le reste cherché.

Supposons que le diviseur soit x'^ — i, a étant un nombre naturel quelconque; le reste de la division de a?* par x'^ — i est i ; on en conclut que le reste de la division par x'^ — i d'un monôme x'^ esta:*', en désignant par a' le reste de la division du nombre entier n par a ; car, si le quotient de cette division est q^ on aura

X" = (x'^)f.x^\ n = agf -r- a',

et l'on peut, sans changer le reste dans la division de (x'^)f.x'^' par :p* — i, remplacer x'^ par i ; le résultat x^' est de degré inférieur au degré du diviseur. Le reste de la division d'un polynôme par x'^ — i s'obtient en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le dividende, l'exposant de x par le reste que l'on trouve en divisant cet exposant par a. En appliquant cette règle au cas où le dividende est x" — i, on reconnaît que la condition nécessaire et suffisante pour que x" — i soit exactement divisible par x'^ — i est que le nombre naturel n soit divisible par a.

Soit encore à chercher le reste de la division par ^--1- i d'un poly-

l4'2 CHAPITRE III.

nome A; on verra au Chapitre VI l'intérêt de ce reste. Dans chacun des monômes axP qui constituent A., il est permis, quand on ne se préoccupe que du reste, de remplacer tels facteurs que l'on veut par leurs restes : suivant que p est pair ou impair, est de la forme 2 A' ou 2/1+1, on peut regarder xP comme le produit de k facteurs x'-^ ou de k + I facteurs dont l'un est x et dont les autres sont égaux à x- ; puisque — i est précisément le reste de la division de x- par x-~\- \ ^ on remplace chacun des facteurs x- par — i , c'est-à-dire xP par ( — i)^ ou par ( — i)*^, ou encore xP par i, x, — i, — x, suivant que p est un multiple de 4, un multiple de 4 augmenté de i , de 2 ou de 3; le reste ne sera pas changé; mais, après cette opération faite sur tous les termes de A, on obtient un résultat qui est au plus du premier degré en x; c'est le reste cherché.

L'opération que l'on vient de décrire s'appelle remplacer xpav — i dans A. La signification qu'il faut donner à ces mots est suffisamment éclaircie par ce qui précède.

Si l'on considère, par exemple, le polynôme

on voit que le reste de la division par x--\- \ est

— 7 — 8a;-i-H-2iP-Hi-T-i = — 4 — 'àx.

On observera, en passant, que si l'on considère la suite des puissances successives de x

nnÇ\ . r ry* /yi2 /y»3 nn-k nr''*i

les restes de la division par x--]- i, à savoir

se reproduisent périodiquement de quatre en quatre : cela résulte aussi de ce que x* — i ^ (^2 — j^^,^2^j^ ggj^ divisible par x--\-i, en sorte que le reste de la division par ^- + i de x'' est i , d'où il suit que les restes de la division par x- -'r i sont les mêmes pour xP et ^/'+* = xP.x'' .

54. Division par x — a. — Il convient de s'arrêter sur le cas où le diviseur est du premier degré en x : s'il est égal à olx -\- |3, on peut,

DIVISION DES POLYNOMES. l43

en vertu d'une remarque précédente, le remplacer par j; + - ou

par^r — a : on vient de voir comment on obtenait le reste de la division d'un polynôme par x — « ; on va retrouver ce résultat et montrer aussi comment on obtient le quotient.

Soit/(j:^) ^ Ao^"+ A, x'^~^ +. . .+ A,j le polynôme proposé, que Ton veut diviser par x — a.

On a vu, au n" 51, comment, lorsque a est nul, le quotient et le reste s'obtiennent immédiatement. On ramène le cas général à celui-là en ordonnant le polynôme par rapport aux puissances de x — a\ il s'écrit alors

on voit de suite que le quotient est

et que le reste est A^'^, c'est-à-dire la valeur fi^a) que le polynôme prend pour ^ = « : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit divisible par x — a est qu'il s'annule quand on y remplace X par a.

La valeur du reste s'aperçoit aussi bien sur l'identité fondamentale

OÙ Q(^) désigne le quotient de la division du polynôme fi^x^ par X — a et R le reste. Ce reste, en effet, doit être de degré o, puisque le diviseur est du premier degré; il ne contient pas x effectivement, c'est une constante, dont la valeur f{^a) s'obtient en remplaçant x par a dans l'identité précédente. Au fond, ce raisonnement ne diffère pas de celui qu'on a fait au n° 35.

Quoique le procédé précédent fournisse l'expression du quotient et du reste, il y a lieu d'appliquer une autre méthode, ne fût-ce que pour avoir le quotient ordonné suivant les puissances de x et non de a: — a.

Le lecteur pourra, sans difficulté, appliquer simplement la règle de la division, il retrouvera ainsi les résultats que je vais obtenir par la méthode des coefficients indéterminés.

l44 CHAPITRE m.

Le quotient doit être du (/i — i^L-me (jggi^é; désignons-le par

et désignons le reste (une constante) par B,,. Bq, B,, ..., B„,, B„ sont des coefficients qu'il faut déterminer. On y arrive en écrivant que le produit du quotient par x — a, augmenté de B,,, est identique terme à terme au dividende Ao^"H- A,a;"~* + . . . 4- A«,.r + A„. On trouvera ainsi, en égalant à chaque coefficient de ce dividende, le coefficient de la même puissance de x dans le produit,

Bo= Ao, Boa — Bi = A,, B| a — B2 — A2,

ces égalités peuvent être regardées comme des équations qui permettent de déterminer successivement Bq, B,, . . ., B,,, et B„ ; on en

tire

Bo=Ao,

Bi = Boa -1- Al,

B, = Bja -4- A2,

on en tirerait, tout aussi bien, en général,

B,.:= Aoa''-H Airt''-! ->-. . .-H A;.ia + A,.,

/• étant l'un quelconque des indices i, 2, ..., n; mais cette formule^ quoique plus explicite, est moins avantageuse dans la pratique que les formules précédentes, qui permettent le calcul successif des quantités Bq, B,, ..., B,i, et B,,, dont chacune s'obtient en multipliant la précédente par «, et en ajoutant le coefficient correspondant du dividende.

Soit, par exemple, à diviser par x — 3 le poljnome