AP

Si le nombre ^p^ + ï-jq'- n'est pas nui, les deux polynômes sont premiers entre

eux; s'il est nul, leur plus grand commun diviseur est-^^r + qr. Si p était

nul, il est manifeste que les deux polynômes proposés ne pourraient avoir de diviseur commun que si q était nul ; dans ce cas le diviseur commun serait x^ : la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes aient un diviseur commun dépendant de x est \p^^ "^19' = o.

Soit encore à chercher le plus grand commun diviseur de a?* — i et de arP — i ; on sait trouver le reste de la division de x^ — i par arP — i ; en appliquant la règle donnée au n" 3i, on voit de suite qu'on est conduit à faire sur les nombres naturels a, ^ les opérations relatives à la recherche du plus grand commun diviseur de ces deux nombres, au sens de l'Arithmétique. Si 5 est ce plus grand commun diviseur, x^ — i est le plus grand commun diviseur algébrique de x^ — I et de ar? — i ,

74. Si Ton considère trois polynômes A, B, C, on peut, dans la recherche des communs diviseurs à ces polynômes, remplacer deux d'entre eux, A et B par exemple, par leur plus grand commun diviseur A; les diviseurs communs à A, B, G seront les mêmes que les diviseurs communs aux polynômes A, G, puisque les diviseurs communs à A, B sont les mêmes que les diviseurs de A; les diviseurs communs à A, G sont les mêmes que les diviseurs du plus grand

commun diviseur A' de A et de C; les diviseurs communs à A, B, G seront donc les mêmes que les diviseurs de A'; il y a donc un polynôme A' dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs à A, B, G; ce polynôme, évidemment unique d'après les raisonnements précédents, est, par définition, le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, G.

Du cas de trois polynômes, on passe à celui de quatre, cinq, etc. Etant donnés des polynômes A, B, . . ., L en nombre quelconque, il existe un polynôme (leur plus grand commun diviseur) tel que lesdivisevirs de ces polynômes soient les mêmes que les diviseurs de ce plus grand commun diviseur.

Pour l'obtenir on peut remplacer tels des polynômes donnés que l'on veut par leur plus grand commun diviseur A, et chercher ensuite le plus grand commun diviseur de A et des polynômes que l'on a laissés de côté. Gomme on sait trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes, on sait trouver le plus grand commun diviseur de trois, quatre, etc., polynômes.

Quand le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, . . ., L est une constante (l'unité si l'on veut), on dit que ces polynômes sont premiers entre eux, dans leur ensemble. On dit qu'ils sont premiers deux à deux, quand chacun des polynômes est premier à chacun des autres.