I 2. — PROPRIÉTÉS DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. DIVISIBILITÉ

75. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, et si G est un polynôme quelconque, le plus grand commun diviseur des polynômes AG et BG est AG.

La proposition est évidente si B divise A; dans le cas contraire, reprenons les notations du n^Tl ; et supposons que les restes successifs, dans l'opération du plus grand commun diviseur, soient R, Rj, ..., R„, le dernier reste R^ étant le plus grand commun diviseur. Le reste de la division de AG par BG sera RG (n"52); le reste de la division de BG par RG seraR,G, etc.; tous les restes sont multipliés par G, le dernier reste R^G sera le plus grand commun diviseur de AG et de BG.

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. 2o3^

Sf A est le plus grand commun dniseur des polynômes \, B, si C est un polynôme qui divise à la fois \ et B, et si Von désigne par A' et B' les quotients de la division de A. et B par G, le polynôme A sera divisible par C, et le quotient A' sera le plus grand commun diviseur entre A' et B'.

Conservons en effet les même notations, pour ce qui concerne les polynômes A, B; R sera divisible par C (n" o2) et le quotient R' sera le reste de la division de A' par B'; B et R étant divisibles par C, R, sera divisible par C, et le quotient R', sera le reste de la division de B' par R', etc., tous les restes seront divisés par C, le dernier reste R,, sera comme les précédents divisible par C et le quotient R„ sera le dernier reste dans la recherche du plus grand commun diviseur de A' et de B'; c'est ce qu'il fallait établir.

On énonce ces deux propositions sous une forme un peu abrégée en disant :

Quand on multiplie ou que Von divise deux polynômes par un troisième, le plus grand commun diviseur des deux premiers polynômes est multiplié ou divisé par ce troisième polynôme.

Ce théorème s'étend de suite à un nombre quelconque de polynômes.

En particulier les quotients de deux ou plusieurs polynômes par leur plus grand commun diviseur sont premiers enti-e eux, puisque le plus grand commun diviseur de ces quotients est i .

Si les polynômes A, B, C, ... sont premiers entre eux, les produits de ces deux polynômes par un polvnome P ont ce polynôme P pour plus grand commun diviseur. En effet, puisque les polynômes A, B, C, . . . sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est I, le plus grand commun diviseur des polynômes AP, BP, CP, . .. est donc P.

76. Si C est un polynôme premier au polynôme B, le plus grand commun diviseur des deux polynômes A et B est le même que le plus grand commun diviseur des polynômes AC et B : En d'autres termes, on ne change pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes en multipliant V un d'eux par un polynôme premier à l'autre.

'io4 CHAPITRE V

Soient en e(Fel A le plus grand commun diviseur de A et de B, A' le plus grand commun diviseur de AC et de B ; il faut prouver que A est le même polynôme que A' ; or A, divisant A et B, par suite AG et B, divise leur plus grand commun diviseur A'; il sufHt donc de prouver que A' divise A, c'est-à-dire A et B. On sait déjà qu'il divise B; il suffit de prouver qu'il divise A : on j arrive en faisant intervenir l'hypothèse d'après laquelle G est premier à B, en sorte que B et G ont i pour plus grand commun diviseur : AB et AG ont donc A pour plus grand commun diviseur : A' qui divise A.G et B, donc A.G et AB, divise leur plus grand commun diviseur A.

Le plus grand commun diviseur de AG et de B étant le même que le plus grand commun diviseur de A et de B, on peut dire encore :

On ne change pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes quand on divise l'un d'eux par un polynôme premier à l'autre : il est sous-entendu que la division se fait exactement.

77. Le théorème du numéro précédent contient deux cas particuliers importants, celui où B divise AG et se trouve ainsi être le plus grand commun diviseur de AG et de B et celui où B est premier à A.

Dans le premier cas, B étant le plus grand commun diviseur de AG et de B, qui est le même que celui de A et de B, doit diviser A.

En d'autres termes :

Si un polynôme B divise le produit \C de deux polynômes \, G et s' il est premier avec l'un d'eux G, il divise l'autre A.

Dans le second cas, B étant premier à A, le plus grand commun diviseur des deux polynômes AG et B est i, comme celui des polynômes A et B. En d'autres termes :

Si les deux polynômes A et G sont premiers au polynôme B, il en est de même de leur produit.

Ge dernier théorème s'étend immédiatement : si un polynôme P est premier aux polynômes Q, Qi, Q25 •• ••> Q//7 '1 est premier au produit QQ, Q2 ... Q,, ; car étant premier à Q el à Q,, il est premier au produit QQi ; étant premier aux polynômes QQi et Q^ il est premier à leur produit QQ, Q^, puis au produit QQiQaQs, •••5 au produit QQiQo.-.Q,, : si chacun des polynômes P, P,, P^, ,.., P,„ est pre-

l'LUS GRAND COM.MLN DIVISEin. 70»

mier àchaciin des polynômes Q, Q,, Qo, ..., Q», le produit PP,...P„j est premier au produit QQ, Qo ... Q,^, puisque ce dernier produit, étant premier à chacun des polynômes P, P,, Po, ..., P/«, est premier à leur produit PP, Po . . . P,,,-

En particulier, si les polynômes P, Q sont premiers entre eux, il en est de même de P'" et de Q", en désignant par m, n des nombres naturels.

78. Plus petit commun multiple. — Le lecteur n'a pas manqué de reconnaître l'identité de ces raisonnements avec ceux de l'Arithmétique. Je me contente de signaler les théorèmes suivants dont la démonstration peut encore se copier sur celle des propositions analogues de l'Arithmétique.

Si un polynôme P est divisible séparément par deux ou plusieurs polynômes premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Si les polynômes A, B, ..., L sont premiers entre eux deux à deux, tout polynôme divisible par chacun de ces polynômes, ou, comme on dit, tout multiple commun de ces polynômes est, d'après ce que l'on vient de dire, un multiple de leur produit. On peut dire encore que les multiples communs des polynômes A, B, C, ..., L sont les. mêmes que les multiples du polynôme produit ABC ...L.

Quels que soient les polynômes A, B, ..., L, il existe un polynôme M tel que les multiples communs des polynômes A, B, ..., L soient les mêmes que les multiples de M. En d'autres termes, les polynômes divisibles à la fois par A, B, ..., L sont les mêmes que les polynômes divisibles par M ; ce polynôme s'appelle le plus petit commun multiple des polynômes A, B, C, . .., L; à supposer qu'il existe, ce polynôme M est évidemment seul à jouir de la propriété qui le définit : car, si un autre polynôme M' jouissait de la propriété qui définit M, M' devrait être divisible par M et M par M'.

Pour établir l'existence du plus petit commun multiple, on procède encore comme en Arithmétique :

On établit cette existence dans le cas de deux polynômes A, B, et l'on prouve, en désignant par A leur plus grand commun diviseur, que les multiples communs de A, B sont les mêmes que les multiples du

polynôme — ■ qui, ainsi, est le plus petit commun multiple de A, B..

■2o6 CHAPITRE V.

Les communs multiples de trois polynômes A, B, C sont les mêmes

flue les multiples comnums de — - et de C, ou que les multiples du

plus petit commun multiple de ces deux derniers polynômes; on continue ainsi. Au reste, en général, on peut, dans la i^echerche du plus petit commun multiple de plusieurs polynômes, remplacer tels polynômes que l'on veut par leur plus petit commun multiple.

79. Fractions rationnelles. — J'ajoute quelques mots concernant les fractions dont les termes sont des polynômes en x.

Deux fractions rationnelles en x, ^ et ^,5 sont dites identiques

lorsqu'elles prennent les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas B ou B'; l'égalité AB'= A'B devant alors avoir lieu pour une infinité de valeurs de x, doit être une identité (n''33) : qu'il en soit ainsi, c'est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux fractions proposées soient identiques.

Une fraction -g? rationnelle en x. est dite irréductible, si les deux r>

polynômes A, B sont premiers entre eux.

On peut toujours remplacer une fraction rationnelle par une fraction irréductible qui lui soit identique, en divisant le numérateur et le dénominateur parleur plus grand commmun diviseur. Une fraction rationnelle en^ ne peut être identique à une fraction irréductible que si ses termes se déduisent respectivement des termes de cette dernière •en les multipliant par un même polynôme.

La théorie de la réduction au même dénominateur de deux ou plusieurs fractions rationnelles se transporte, à peu près sans changement, de l'Arithmétique à l'Algèbre.

80. Polynômes premiers. — Pour continuer une théorie de la divisibilité parallèle à celle que l'on développe en Arithmétique, il serait nécessaire d'introduire la notion qui correspond à celle du nouibre premier absolu; toutefois, cette généralisation, si naturelle qu'elle soit, comporte quelques difficultés.

S'il est, en ellet, facile, au moyen d'un nombre fini d'opérations, <le reconnaître si un nombre entier est ou non décomposable en facteurs, la recherche delà décomposition d'un polynôme en un produit <le facteurs est beaucoup moins aisée : On peut d'ailleurs diriger cette

recherche dans des sens très difierents suivant la nature des nombres que l'on admet comme pouvant êlre les coefficients des polynômes diviseurs. On louche ici à un ordre d'idées qui a donné lieu à des développements considérables et dont je ne puis dire qu'un mot.

Supposons par exemple que l'on considère un polynôme en .r, à coefficients rationnels : on peut convenir de dire que ce polynôme est premier s'il n'admet pas de diviseurs à coefficients rationnels. Le polynôme x- — IX — I , dans ces conditions, serait un polynôme premier.

11 y a toute une branche de l'Algèbre, dont je ne m'occuperai pas ici, où l'on s'occupe de la recherche des diviseurs d'un polynôme donné, dont les coefficients sont composés rationnellement (n" 7î2) au moyen de nombres fixés à l'avance.

Je me bornerai ici à indiquer \ une des significations qu'on peut attribuer à ces mots polynôme premier, de manière à montrer comment, en adoptant cette définition, on peut étendre la théorie de la divisibilité.

Un polynôme P dont les coefficients sont des nombres réels, d'ailleurs quelconques, sera dit premier, s'il n'est divisible par aucun polynôme de degré inférieur à lui, à coefficients réels, et ne se réduisant pas à une constante.

Tel est évidemment un polynôme du premier degré, ou un polynôme du second degré qui n'a pas de racines réelles. On verra plus tard qu'il n'y a pas d'autres polynômes premiers que ces deux-là, dans le sens qu'on vient de dire.

Quoi qu'il en soit, il est clair que si un polynôme A, à coefficients numériques réels, n'est pas premier, il admet un diviseur premier; il admet en effet un diviseur B de degré inférieur à lui; si B n'est pas premier, B admet un diviseur G de degré inférieur à lui; en continuant de cette façon, puisque les degrés des polynômes A, B, G, ... vont en diminuant, il faudra qu'on parvienne à un diviseur premier.

La détermination, exacte ou approchée, de ces diviseurs premiers est un problème qui nous occupera ultérieurement. Quoi qu'il en soit, il est clair qu'un polynôme qui n'est pas premier peut se décomposer en un produit de polynômes premiers. La décomposition ne peut se faire que d'une seule façon si l'on convient, comme on l'a fait déjà, de ne pas distinguer entre deux diviseurs qui ne diffèrent que par un facteur numérique.

La démonstration est la même qu'en Arithmétique et repose sur ce

208 CIIAPITBE V.

fait qu'un polynôme premier est premier à tout polynoine qu'il ne divise pas et ne peut par conséquent diviser un produit de plusieurs polynômes sans diviser l'un d'eux.

Lorsque deux polynômes A, B sont décomposés en facteurs premiers, on sait reconnaître immédiatement si l'un est divisible par l'autre, ou non.

Les règles que l'on donne en Arithmétique pour la composition du plus grand commun diviseur ou du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers s'étendent évidemment à l'Algèbre.

§ 3. — POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

81. Je joindrai à ce qui précède quelques indications rapides sur la façon dont la théorie de la divisibilité s'étend aux polynômes à deux variables cr^ y.

On a expliqué au n" 08 comment on pouvait reconnaître si un polynôme /(a?, y) à deux variables était ou non divisible par un autre polynôme g{x^ y) à deux variables. Les propositions qui suivent sont évidentes.

Si le polynôme y(iF, y) est divisible par le polynôme g{x^ y), il en sera de même du produit du polynôme y"(a7, y) par un polynôme quelconque en t^ y. Si deux polynômes /(a", y)-ifi(-T^ y) sont divisibles par le polynôme gi^r^y), il en est de même de leur somme, ou de leur différence.

Convenons de dire qu'un polynôme à deux \ariables x^ y^ ordonné par rapport aux puissances dej^, est primitif' {^)i quand les polynômes en j", coefficients C^) des diverses puissances de jk dans ce polynôme ainsi ordonné, sont premiers entre eux dans leur ensemble. Puisqu'on sait trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes, on sait reconnaître si un polynôme donné en x,y est primitif ou non, et, lorsqu'il n'est pas primitif, le mettre sous la forme d'un polynôme primitif, multiplié par un certain polynôme en x^ qui n'est autre que le plus grand commun diviseur des coefficients des diverses puissances de y dans le polynôme proposé.

Ceci posé, on montrera, comme au n° o5, que le produit de deux polynômes en 37, y ordonnés suivant les puissances de y^ et que l'on ordonne lui-même suivant ces puissances, est primitif, ou non, suivant que les deux facteurs proposés sont, ou non, primitifs tous les deux. Dans le cas où ces deux poly-

(') Ce mot a été employé dans un autre sens au n° 55. Les polynômes en x tiennent ici le même rôle que tenaient alors les nombres entiers.

(-) Parmi ces coefficients, il faut ranger le terme indépendant île ^, le coefficient de y", si l'on veut. Il m'arrivera de dire, dans le même sens, les coefficients à\x polynôme en y : il est bien entendu que ces coefficients sont, à la vérité, des polynômes en X.

PLIS GRAND COMMUN DIVISEtiR. 209

nomes ne sont pas primitifs, le plus grand commun diviseur des coefficients des puissances de^, dans le polynôme produit, est le produit des plus grands communs diviseurs des coefficients dans le premier facteur par le plus grand commun diviseur des coefficients dans le second.

La démonstration, en effet, repose uniquement sur des notions et propositions qui ont été transportées de la théorie des nombres entiers à celle des polynômes en x. Parmi ces notions figure la notion de polynôme premier^ que l'on entendra comme au n" 80.

Cette proposition une fois établie, les conséquences s'en dérouleront comme au n" Vi6. Je me contente de les énoncer.

Soient A, B des polynômes en a:, y ordonnés par rapport aux puissances de jK, et regardés comme des polynômes en y^ dont les coefficients sont des polynômes en x.

Soient A = aA', B = èB'. en désignant par A', B' des polynômes primitifs et par a, b les plus grands communs diviseurs des coefficients des puissances de j' dans A d'une part, dans B de l'autre. Si B divise A, le polynôme a est divisible par le polynôme 6, le polynôme A' est divisible par le polynôme B'.

Lorsque B est primitif, le polynôme B ne peut diviser le polynôme A sans diviser le polynôme primitif A'.

Lorsque A est primitif, B ne peut diviser A sans être lui-même primitif.

En divisant le polynôme A par le polynôme B, supposé primitif, on ne peut arriver à un reste nul que si les coefficients du quotient sont des polynômes en X (et non des fractions rationnelles irréductibles).

Arrivons maintenant à la recherche des diviseurs communs aux polynômes A, B; désignons par C un tel diviseur. Posons A = a A', B = 6B', G = cG en conservant les notations expliquées plus haut pour A, B et en désignant par c le plus grand commun diviseur des coefficients de G, regardé comme un polynôme en y. C' est primitif.

Puisque c G' divise a A' et 6B'; c est un diviseur commun de a et de 6; C'est un diviseur commun de A' et de B'.

On obtiendra donc les diviseurs communs de A et de B en multipliant un diviseur commun des polynômes primitifs A' et B' par un diviseur commun de a et de 6; puisqu'on sait former ces derniers diviseurs, la solution du problème posé est ramenée à la recherche des diviseurs communs de deux polynômes primitifs.

Je suppose maintenant que les polynômes A et B soient primitifs.

Supposons que A soit, en y^ de degré au moins égal au degré de B en y. Si B divise A, il est clair que les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs de B.

Si B ne divise pas A, effectuons la division de A par B. les deux polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de y^ ou plutôt commençons, avant de faire cette division, par multiplier A par un polynôme a choisi de manière à éviter les coefficients fractionnaires, ainsi qu'on l'a expliqué dans la note du n° 00; a représentait alors un nombre, c'est maintetenant un polynôme en ar, par exemple une puissance convenable du premier T. x4

ilO CIlAPlTHi': V.

coefficient de B. On arrivera à une identité de la forme aA = BQ -i- R, où, dans Q et dans R, les coefficients des puissances de y sont des polynômes en ce; si R n'est pas primitif, mettons-le sous la forme /'R', où R' est primitif; on aura a A = BQ -+- r R'.

Un polynôme en x, jk, qui divise à la fois A, B, est nécessairement primitif, quand on l'a ordonné par rapport à y; d'après Tidenlité précédente, il divise /R', et, puisqu'il est primitif, il divise R' ; tout polynôme en x^ y qui divise A et B divise aussi B el R'; un polynôme en x^ y qui divise B et R' est primitif, il divise a A, donc A; les polynômes en x, y qui divisent B et R" divisent aussi A et B.

Les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs communs à B et à R'.

Il est manifeste que, si R' ne divise pas B, on pourra continuer l'opération sur les deux polynômes B et R', primitifs comme étaient A et B, et l'on prouvera ainsi l'existence d'un polynôme primitif R'„ tel que les diviseurs communs de A et de B soient les mêmes que ceux de R'„.

Ce sera, par définition, le plus grand commun diviseur des polynômes A et B, supposés primitifs.

Si les deux polynômes A, B n'étaient pas primitifs, on les mettrait sous les formes A = «A', B = 6B', a el b étant des polynômes en x, A' et B' des. polynômes primitifs. En formant ensuite le produit du plus grand commun diviseur des deux polynômes a, b et du plus grand commun diviseur des polynômes primitifs A', B', on obtiendra un polynôme dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs à A et à B ; ce produit sera le plus grand commun diviseur de ces deux derniers polynômes.

Celte notion une fois acquise, l'extension aux polynômes à deux variables de toute la théorie développée dans les n"' 74, 7o, . . ., 8.) se fait sans aucune difficulté. Kt celte tliéorie, par voie d'induction, s'étend ensuite aux polynômes à trois, quatre, . . . variables.

§ 4. — CONDITION POUR QUE DEUX POLYNOMES EN x SOIENT PREMIERS ENTRE EUX, POUR QU ILS AIENT UN DIVISEUR DE DEGRÉ ÉGAL OU SUPÉRIEUR A UN NOMBRE DONNÉ.

82. Soient A, B deux polynômes en x et A leur plus grand commun diviseur : il existe deux polynômes P, Q tels que l'on ait identiquement

PA + QB = A.

Supposons, en efi'et, qu'on ail fait sur les polynômes A, B la suite de divisions qui conduisent au plus grand commun diviseur (n° 71); ces.

opérations se traduisent par la suite d'identités

A = BQ + R, B = RQi+R„ ..., R„2= R„iQ„-h R„;

R, R,, , .., R/i sont les restes successifs; le dernier R«:^ A divise le précédent R//t : c'est le plus grand commun diviseur entre A et B. On en tire

R = A — QB,

Ri=B — RQi=B — (A — BQ)Qi = — QiA-H(QQ, + i)B.

R et R, se mettent ainsi respectivement sous les formes R=pA-i- qB, Ri=/?iA-h g^iB,

p, q-, P\i q\ étant des polynômes; en transportant ces expressions de R et de Ri dans le second membre de l'identité

on met R2 sous la forme />2 A -h ^/oBi en posant

Pi^p — ÇliPx, q-2= qi—Q-îÇi,

et l'on peut évidemment continuer de proche en proche jusqu'à R,i=i A, que l'on mettra sous la forme voulue.

Le cas où les polynômes A, B sont premiers entre eux, en sorte que A se réduit à une constante que l'on peut prendre égale à i, est particulièrement intéressant :

Il existe alors deux polynômes P, Q, tels que l'on ait identiquement

(.) PA+QB=.i;

réciproquement, l'existence d'une telle identité prouve que les deux polynômes A, B sont premiers entre eux, puisqu'un diviseur commun à ces deux polynômes devrait diviser i .

Si l'on applique la méthode précédente au second exemple (•) traité au n" 73, où l'on avait

X =: x^-h px -h q, B = '5x^-{-p, ( ' ) On ne pourrait l'appliquer au premier exemple, où les quotients ont été faussés.

on trouvera

La méthode précédente permet de déterminer un couple de polynômes P, Q qui vérifient l'identité (i), lorsqu'on se donne les deux polynômes A, B premiers entre eux. On va voir qu'il y en a une infinité d'autres, aisés à trouver dès que l'on connaît un couple, et qu'on peut s'arranger pour que le polynôme qui multiplie A soit de degré inférieur au degré de B et que le polynôme qui multiplie B soit de degré inférieur au degré de A.

Si l'on désigne, en edet, par P', Q' deux autres polynômes, tels que l'on ait

on en déduira, en retranchant membre à membre les identités (i)

et (2),

A doit diviser le second membre comme le premier; il est premier avec B, il doit donc diviser Q' — Q; en d'autres termes, il existe un polynôme X, tel que l'on ait identiquement Q' — Q :^ XA, et, par suite, en remplaçant dans l'identité (3) Q' — Q par XA,

rP — P')A = XBA;

les deux polynômes qui multiplient A doivent être identiques, comme les deux membres; on a donc identiquement P' — P = — )vB. Réciproquement, si les deux polynômes P, Q vérifient l'identité (i) et si l'on prend P'=: P — )>B, (^'= Q + XA, en désignant par X un polynôme quelconque, les deux polynômes P', Q' vérifieront l'identité P'A + Q'B = i.

Si l'on veut que P' soit de degré inférieur au degré de B, on doit prendre pour \ le quotient entier de la division de P par B, P' est le reste de cette division : Q' est alors de degré inférieur au degré de A; car, autrement, le degré de Q'B serait supérieur au degré de P'A; dans le polynôme P'A -+- Q'B, le terme du plus haut degré provenant de Q'B ne pourrait se réduire avec aucun autre, le résultat ne pour-

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. ai 3"

rait se réduire à i. 11 résulte de là que, lorsque A est le quotient de la division de P par B, — X est le quotient de la division de Q par A..

Ainsi, quand A et B sont premiers entre eux, il existe deux polynômes P' et Q', dont les degrés respectifs sont inférieurs aux degrés de B et de A, et tels que l'on ait identiquement P'A + Q'B = i , Il résulte de ce qui précède, et il est aisé de montrer directement qu'il n'y a qu'un seul couple de polynômes à jouir de cette propriété.

En fait, c'est à ces polynômes, dont les degrés sont moindres que ceux de B et de A, que l'on parvient par la méthode même que l'on a expliquée, comme il est assez facile de le voir en comptant, à chaque opération, les degrés des polynômes auxquels on parvient. Je ne m'y arrêterai pas.

83. Supposons que les deux polynômes A et B, de degrés respectifs a et ^, aient un diviseur commun G de degré y; on aura identiquement

A' et B' étant des polynômes dont les degrés respectifs sont a — y et p — y, on en conclut l'identité

réciproquement, si l'on a une identité de cette nature, les deux polynômes A' et B' étant de degrés respectifs a — y, ^ — y, on peut affirmer que les deux polynômes ont undi\iseur commun dont le degré est au moins égal à y ( ' ).

Supposons, en effet, d'abord, que les deux polynômes A', B' soient premiers entre eux; le polynôme A', en vertu de l'identité A'B = B'A, divise le produit B'A, il est premier avec B', il divise donc A; soit G le quotient, en sorte qu'on ait A = A' G, G est de degré

en remplaçant dans l'identité précédente, et supprimant le facteur A' commun aux deux membres, on en conclut B = B'G. Les deux polynômes A, B ont un diviseur commun de degré y. Si A' et B' n'étaient

(') Quand on aura introduit les nombres complexes, il en résultera immédiatement l'existence d'un diviseur de degré r-

2l4 CHAPITRE V.

pas premiers entre eux, ils auraient un plus grand commun diviseur A de degré 5 au moins égal à i , et l'on pourrait poser A'= A"A, B'= B"A, A" et B" étant de degrés respectifs a — y — o, ^ — y — o; en remplaçant A' et B' par les expressions précédentes dans l'identité A'B = B'A, et supprimant le facteur commun A, on obtient l'identité A"B = B"A; comme A" et B" sont premiers entre eux, celte identité prouve l'existence d'un diviseur commun à A et à B de degré y + 8.

84. Il convient d'établir la proposition précédente sons une forme un peu différente, dont tout l'intérêt n'apparaîtra que plus tard.

Supposons que les coefficients des polynômes A et B, ordonnés suivant les puissances descendantes de x, contiennent un ou plusieurs paramètres variables représentés par des lettres; on est déjà convenu de conserver le nom de polynômes en a; à de pareilles expressions; quoique, à proprement parler, A, par exemple, ne soit pas le même polynôme (en x) quand on attribue aux paramètres qui figurent dans ses coefficients des systèmes différents de valeurs numériques, il est commode d'attribuer à l'expression A une sorte d'individualité, de la regarder, si l'on veut, comme un même polynôme à des états différents; ce que l'on vient de dire s'applique aussi bien à B.

Dans ces conditions, il peut arriver que, pour certaines valeurs des paramètres, le degré de A, ou de B. s'abaisse, parce que les premiers coefficients sont nuls. Je suppose que les degrés de A et de B soient, en général, a et p, mais qu'ils puissent descendre au-dessous de ces nombres.

Dans diverses circonstances, que l'on précisera plus lard, on est amené à regarder deux pareils polynômes dont les degrés s'abaissent respectivement aux nombres a — a', [3 — ^ comme ayant, de ce fait, une sorte de diviseur commun dont le degré serait le plus petit des nombres a', j3', ou, si l'on veut, dont le degré serait le nombre des coefficients qui, à partir du premier, seraient nuls à la fois dans les deux polynômes A, B; dans ce compte, il ne faut pas oublier les termes qui manqueraient dans A ou dans B, et qui doivent être regardés comme affectés du coefficient o.

Ainsi, les deux polynômes en x

(m* — \)x^-\- (m^ — ï)x^-i- mx^-h 3x — 4,

(m — 1 ) a^fi -}- ( ni2 ^ i)x'* -4- ( r?i^ — i)x^ — 2 a? -l- 2,

dont les coefficients contiennent le paramètre m, sont, en général, l'un du cinquième, l'autre du sixième degré; pour «1 = 1, ils se réduisent l'un au second, l'autre au premier degré. Le premier doit être regardé comme ayant trois coefficients nuls, au commencement, les coefficients de x^, de x'*, de x^, le second comme ayant ses quatre premiers coefficients nuls, ceux de a:*, a*», x'*, x^. On aurait ici a = 5, ^ = 6, a' = 3, ^' = 4-

Pour m = ], les deux polynômes doivent être regardés comme les analogues de polynômes ayant un diviseur commun du degré 3, du fait que dans

chacun d'eux les trois premiers coefficients sont nuls. D'ailleurs, pour m = i, les polynômes proposés deviennent respectivement

et ils ont encore le diviseur commun x — i qui est du premier degré. Dans l'ordre d'idées que je viens d'expliquer, on les regarde comme les analogues de polynômes qui auraient un diviseur commun du degré 4 = 3-4-1.

Ces considérations prêtent à une ambiguïté de langage, qu'il faut éviter.

Convenons de dire, en général, que les deux polynômes A, B, dont les degrés i-especlifs sont inférieurs ou égaux aux nombres a, p, ont un diviseur commun de degré rectifié y = y'-t- '' quand ris ont un diviseur commun de degré vrai y', et quand, en outre, si l'on désigne par a — -a', ^ — j3' les degrés vrais des polynômes A, B, le plus petit des nombres a', ^' est égal à r, en sorte qu'il y aurait /• coefficients nuls au commencement de A et de B, si ces polynômes étaient écrits comme des polynômes complets de degrés oc et 'p. Ces conventions subsistent, même quand ■/' sera nul, et que, ainsi, les polynômes A, B n'ont pas, à vrai dire, de diviseur commun, mais qu'il y a /• coefficients nuls au commencement de A et de B.

En adoptant ce langage, on peut remplacer le théorème du numéro précédent par celui-ci :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes A et B aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à y consiste dans l'existence de polynômes A', B' dont les degrés (vrais) soient égaux ou inférieurs à a — Y, p — Yî et tels que l'on ait identiquement

La condition est nécessaire : car, si les polynômes A, B ont un diviseur de degré rectifié y = y' "•" '' c'est, d'une part, que dans l'un et dans l'autre les r premiers coefficients sont nuls, en sorte que leurs degrés vrais sont respectivement égaux ou inférieurs à a — /•, ^ — /•, et que, d'autre part, ils ont un diviseur commun C de degré (vrai) y' 5 t'es lors, les degrés (vrais) des quotients A', B' obtenus en divisant ces polynômes par G sont au plus égaux à

ou à a — Y? ^" — Y- ïl en serait de même, a fortiori, si le degré rectifié du diviseur commun était supérieur à y' H- /'.

La condition est suffisante : supposons, en effet, que l'on ait identiquement A'B — B'A = o, et que les degrés (vrais) a — a", ^ — ^" des polynômes A' et B' soient respectivement inférieurs ou égaux à a — y, [3 — y, en sorte que l'on ait a"^ y, |î'"^y. H suffira, dans la démonstration, de considérer le cas où A' et B' sont premiers entre eux; car, s'ils avaient un diviseur commun, on pourrait, comme au numéro précédent, les remplacer par des polynômes dont les degrés seraient moindres, et, par conséquent, moindres que a — y, ^ — y. Si A' et B' sont premiers entre eux, l'identité A'B = B'A implique l'existence

2lG CHAPITRE V.

(l'un diviseur G commun à A et à B, le quotient de A par A' ou de B par B', dont le degré vrai est

a a'-(a-a")=^-^'-(iî-fi");

le degré rectifié de C s'obtiendra en ajoutant à l'un ou à l'autre des nombres égaux a" — a' ou P" — [i' le plus petit des nombres a', fi' : ce sera a", si, par exemple, a' est inférieur ou égal à ji'. Comme a" est supérieur ou égal à y, la proposition est démontrée.

On a supposé, sans le dire, que les polynômes A', B' qui vérifient l'identité V'B — AB' = o n'étaient pas nuls identiquement. Si tous les deux étaient identiquement nuls, il n'y aurait rien à tirer de l'identité A'B — AB'=o. Si l'on supposait, par exemple, que A' fût identiquement nul, mais non B', l'identité A'B — AB'=o entraînerait l'identité AB'=oct, par conséquent, l'identité A = o, puisque B' n'est pas identiquement nul. Les deux polynômes A et B, dont le premier est identiquement nul, pourraient être regardés comme ayant le diviseur commun B de degré rectifié j3 ; puisque-/ ne peut dépasser p, le théorème subsiste, même dans ce cas, en l'entendant comme on vient de l'expliquer.

EXERCICES