AB . . . L ~ A B • • • "^ "L

82. Quels que soient les polynômes g(x) et A, on peut mettre la fraction itionnelle * , sous la forme

rationnelle * . — > où x désigne un nombre naturel, et cela d'une seule façon,

,Va A«-i A

où «j, a,, . . ., «a-i désignent des polynômes en x, dont les degrés sont inférieurs à celui de A et où E(x) est le quotient entier de la division de g{x) par \* {voir Ex. VA).

Si A, B, G, ..., L sont des polynômes premiers entre eux deux à deux et a. p, ..., X des nombres naturels, on peut mettre la fraction rationnelle

sous la forme

ff{^)

A«BP..

A« Aa-i

, il , J'L ^ BP ^ BP-i

où E(a^) désigne le quotient entier de la division de g{x) par AaB?...L^^, et où Oq. ..., «a-i sont des polynômes don le degré est inférieur à celui de A, Z>o, ..., 6|3-i des polynômes dont le degré est inférieur à celui de B, etc ....

Que devient cette pro;) ).iition quand les polynômes A, B, ..., L sont du premier degré ?

83. Étant donnés le polynôme g{x) d'une part et, d'autre part, les polynômes <f{x) et A, premiers entre eux, il existe un polynôme a, de degré inférieur à A, cl un seul, tel que g{x) — a'^{x) soit divisible par A.

S" ( x^ Déduire de là que la fraction rationnelle -r--— -> où a désigne un nombre

naturel, peut se mettre sous la forme

g{.T) «0 , «1 , , «a-1 , jÇ'iC^)

où gt{x)^ ao, «1, . . ., «a— 1 sont des polynômes en x dont les a derniers sont de degré inférieur au degré de A. Il n'existe qu'un seul système de polynômes ^i(a:), «oi ^ii •••1 ^*a-i5 satisfaisant à cette dernière condition, tels que l'égalité précédente soit une identité.

En conclure une nouvelle démonstration de la proposition principale de l'exercice précédent, et montrer que, lorsqu'on se donne les polynômes g{x)^ A, B, . . ., L et les nombres naturels a, p, . . . , À, la fraction

gi-T)

A«Bfi... L>-

ne peut se mettre sous la forme indiquée que d'une seule façon, c'est-à-dire que les polynômes «oi •••i «a-ii •••1 l\-\ sont entièrement déterminés, en supposant que la condition relative au degré de ces polynômes soit vérifiée.

Si. Si A et B sont deux polynômes en .r premiers entre eux, il ne peut exister de polynômes en .r, y (dont lun ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à Ajk -1- B.

80. Si A, B, G sont trois polynômes en j", premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que le polynôme B^ — 4^G ne soit pas le carré d'un polynôme en 37, il ne peut exister deux polynômes en x^ y (dont l'un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à P^y--^ ^f -^ G.

86. En désignant par m un nombre naturel, il y a deux polynômes (n° 82) /{x) et g{x) de degré m — i, tels que l'on ait identiquement,

montrer que l'on a identiquement

87. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, G, . . ., L, il existe des polynômes A', B', G', .. ., L' tels que l'on ait identiquement