DÉFINITIONS : OPÉRATIONS SUR LES NOMRRES IMAGINAIRES

80. Les théories précédentes sont susceptibles de recevoir une extension considérable par Tintroduction des nombres complexes (') ou imaginaires, dont je vais maintenant m'occuper.

Ces nombres ont leur origine dans la résolution de l'équation du second degré.

Soit

(1) ax- -^ bx -\- c ^= o

une telle équation, à coefficients réels. On sait que, si ces coefficients vérifient la condition h- — /\ac^o, l'équation a deux racines distinctes

ces deux racines deviennent égales quand b- — .^ac est nul; lorsque b- — 4<^c est négatif, les formules (2) n'ont plus de sens, et il n'y a aucun nombre réel qui vérifie l'équation (i ).

Si, dans le premier membre de l'équation (1), on remplace x par l'une ou l'autre des expressions (2) et que l'on développe les calculs en remplaçant le carré de y/6- — 4^c par b- — ^ac, on trouve identiquement o; lorsque b- — ^ac est négatif et que, par conséquent, le calcul que l'on vient de décrire n'a pas de sens, peut-on attribuer quelque signification à ce résultat?

(') L'expi-ession nombre complexe s'emploie dans un sens plus général que celui qui sera défini dans le présent Chapilre.

Dans ce cas, b- — ^ac peut s'écrire ( — i)(4«c — b')) le facteur ^ac — b- est positif.

Lorsque a, ^ sont des nombres positifs, on peut écrire, en donnant aux radicaux leur signification arithmétique, y/ap = y/a ^/^ . On a eu l'idée d'employer la même formule lorsque a est négatif, plus particulièrement égal à — I, et d'écrire

le premier membre n'a pas de sens; dans le second membre, le facteur y/ — I n'en a pas non plus ; quoi qu'il en soit, les expressions (2), avec cette notation dénuée de sens, s'écrivent

— b± v/ — I yj [\ac

En reniplaçant, dans ax--\- bx-\- c, x par l'une ou l'autre de ces expressions, en calculant, d'après les règles ordinaires, et en remplaçant, dans le résultat, (y/' — ij" par — i , on trouve encore o; ce calcul n'a pas plus de signification que le précédent, dont au fond il ne diffère pas; mais il devient facile de lui en donner une.

Le résultat de ce calcul peut en effet s'exprimer en disant que, si l'on désigne par i une variable réelle quelconque, et si l'on remplace, dans ax--\- bx + c, x par l'expression

b ± i vZ-î ac — h-

qui a une signification très claire dans le cas où nous nous plaçons (4«c — 6->o), le résultat, qui est évidemment un polynôme du second degré en /, s'annule identiquement quand on y remplace /par — 1, c'est-à-dire (n"53) qu'il est divisible par i^-{- i. Au reste, la vérification est iuimédiate et l'on trouve que l'on a, identiquement en f,

acc^-\- bcr^c = ;; (i--i- l),

, , , , . , — b ± i\/^ac — b^ quand on remplace dans le premier membre x par ^ •

Cette remarque, au premier abord, paraît bien peu importante;

NOMIIRES IMAGINAIRES. 225

mais le lecteur soupçonnera tout au moins sa portée en lisant l'affirmation suivante, qui est une des formes que l'on peut donner à la proposition connue sous le nom de théorème fondamental de l'Algèbre et sur la démonstration de laquelle je reviendrai plus tard.

Etant donné un polynôme à deux variables x et /, dont les coefficients sont des nombres réels, il existe un binôme a-f-[3/, à coefficients réels a et ,3, tel que si, dans le polynôme donné, on remplacer par a + ^/, le résultat soit divisible par /--h i. J^a proposition subsiste quand, dans le polynôme donné, tous les termes qui contiennent i disparaissent, c'est-à-dire quand ce polynôme se réduit à un polynôme en .r, à coefficients réels.

Le simple énoncé de ce théorème montre suffisamment que l'observation faite sur le cas d'un trinôme du second degré est loin d'être isolée.

Si, par exemple, dans le polynôme x'-^ — 2X-l-4j .01^ remplace x par I H- /, il devient

(i -4- if— 2(1 -h i) -i- 4 = ï^ -+- 3 {2 -+- i — 3

en y remplaçant de même x par i — /, il deviendrait évidemment (t'^H- i) ( — /+ 3). Le polynôme proposé devient divisible par «-+ i quand on y remplace x par i + i ou i — i.

Ainsi, quand on remplace dans le polynôme ax- -h bx -h c, où «, 6, c sont des nombres réels vérifiant la condition ^ac — b-'^ o^ x par

— b±i\/^ac — b- , , , .

î ou, dans le polynôme x^ — ix -\- ^^ x par i ± i.

c'est le reste de la division par «*+ i du résultat de la substitution qui est nul. On sera en droit de dire que les polynômes s'annulent

respectivement quand on y remplace x par > ou x

par i ± ^ à condition de remplacer le résultat de la substitution par ce reste.

86. On est ainsi amené à développer des règles de calcul relatives à des expressions de la forme a + a' i^ où a et a! sont des nombres réels quelconques et où i désigne, pour le moment, une variable réelle, règles dans lesquelles les résultats obtenus d'abord en suivant les règles ordinaires du calcul algébrique sont systématiquement remplacés par les restes d'une division par «■*-}- i .

22 I CHAPimn VI.

Les expressions de la forme a-\-a'i^ lorsque l'on convient de les soumettre à ces règles de calcul, prennent le nom de nombres complexes ou de nombres imaginaires.

Règle générale. — Si l'on a à effectuer des additions, des soustractions, des midtiplications sur des expressions de la forme a-\-a' i^ où a et a' sont des nombres réels, on commencera par effectuer ces opérations, d'après les règles habituelles du calcul des polynômes, comme si i désignait une variable réelle, puis on cherchera le reste de la division du résultat par i--\-\; ce reste sera, par définition, le résultat des opérations à effectuer sur les expressions de la forme a -\- a' i.

Si le reste est nul, le résultat sera regardé comme égal à o.

On trouve, par exemple, un résultat nul quand on remplace x par I H- i ou par i — i dans le poljnome x'-^ — 2:r + 4 ; c'est ce qu'on entend en disant que ce poljnome admet les racines imaginaires i -f-«, I — i. On trouve encore un résultat nul lorsque, dans le polynôme ax- -\- bx + c, où rt, ^, c sont des nombres réels vérifiant la condition ^ac — ^->-o, on remplace x par l'un ou l'autre des deux nombres

b ^ v/4 <ic — 62 .

•xa la '

et c'est ce qu'on entend en disant que, dans ce cas, l'équation ax--\- bx -j- c = o admet deux racines imaginaires, dont l'expression est écrite plus haut.

La lettre i tient ainsi un rôle très particulier : dans un polynôme où elle figure à la place d'une variable, on ne s'inquiète que du reste de la division par i- -\- 1; deux pareils polynômes sont regardés comme égaux quand les restes sont les mêmes, ou, ce qui revient au même, quand leur différence est divisible par i^ -\- i ('). En particulier, un polynôme en i est regardé comme égal à son reste. Plus particulièrement le polynôme i- est regardé comme égal à — i, qui est le reste de la division de i- par i- -\~ i . Dès que l'on fait cette con-

(') Cette déQnition de l'égalité satisfait aux trois conditions que doit vérifier toute définition de l'égalité : un objet est égal à lui-même; si un premier objet est égal à un second, le second objet est égal au premier; si deux objets sont égaux à un troisième, ils sont égaux entre eux.

NOMBRES IMAGINAIRES. "i-lS

vention, il est clair qu'on ne peut plus regarder la lettre « comme une variable réelle.

Il faut se garder, partout où quelque confusion serait possible, d'employer la lettre i avec le sens qu'on vient de spécifier et un autre sens.

Un nombre imaginaire a -\- n' ' est défini quand on donne les deux nombres réels a, a' au moyen desquels il est formé : ces deux nombres jouent un rôle très différent; l'un a s'appelle la partie réelle du nombre imaginaire, l'autre a' s'appelle le coefficient de /.

Deux nombres imaginaires formés avec la même partie réelle et le même coefficient de i doivent naturellement être regardés comme le même nombre imaginaire; si, dans les deux nombres, les parties réelles ou les coefficients de / ne sont pas les mêmes, les deux nombres sont distincts.

En d'autres termes, deux nombres imaginaires a -\- a' i^ 6 H- 6't, oiî a, a', è, b' sont des nombres réels, sont dits égaux et l'on écrit

lorsque l'on a a^=^a!^ b =^ b' et seulement dans ce cas; l'égalité unique a -f- a' i= b-\- b' i remplace en réalité deux égalités.

Cette définition de l'égalité de deux nombres imaginaires est la même que celle qu'on a adoptée plus haut pour deux polynômes en i, puisqu'un binôme a-\-di., du premier degré en /, est le reste de la division de ce binôme par i^ -\-\.

Lorsque, dans l'expression a -\- a' i, le coefficient de i est nul, on la confond avec le nombre réel a : les nombres complexes comprennent donc les nombres réels comme cas particulier. De même, en Arithmétique, une fraction dont le dénominateur est i est regardée comme la même chose que son numérateur.

Cette convention est légitime, puisque les calculs sur des nombres imaginaires dans lesquels les coefficients de i seraient nuls, effectués d'après la règle qu'on a donnée plus haut, se réduisent évidemment aux calculs effectués sur des nombres réels, d'après les règles qui concernent ces nombres. Cette observation s'appliquera à la division quand on l'aura définie.

Les nombres imaginaires comprenant les nombres réels, il est permis de dire un nombre, au lieu de dire un nombre imaginaire; cette T. i5

convention, toute pareille à celle qu'on fait en Arithmétique quand on passe des nombres entiers aux fractions, est d'autant plus avantageuse qu'il est naturel d'opposer dans une certaine mesure les nombres imaginaires aux nombres réels, c'est-à-dire de sous-entendre, quand on parle d'un nombre imaginaire, que le coefficient de /, dans ce nombre, n'est pas nul.

Un nombre imaginaire dans lequel la partie réelle est nulle et qui, ainsi, est représenté par un symbole tel que a' i est dit purement imaginaire.

Lorsque la partie réelle et le coefficient de i d'un nombre imaginaire sont nuls l'un et l'autre, et seulement dans ce cas, le nombre imaginaire est dit nul; on le représente par o. Cette convention est contenue dans celle qui fait comprendre les nombres réels dans les nombres imaginaires.

Deux nombres imaginaires a -\- a' i., a — a' i dans lesquels les parties réelles sont les mêmes et les coefficients de i des nombres symétriques sont dits conjugués : deux nombres imaginaires conjugués ne peuvent être égaux sans que les coefficients de i soient nuls; un nombre réel est son propre conjugué.

Deux nombres imaginaires a -\- a' i., — a — a' i dans l'un desquels la partie réelle et le coefficient de i se déduisent de la partie réelle et du coefficient de / dans l'autre en les changeant de signe sont dits symétriques. L'expression égaux et de signes contraires que l'on emploie quelquefois est incorrecte, puisque le signe d'un nombre imaginaire n'est pas quelque chose de défini ('). Deux nombres symétriques ne peuvent être égaux que s'ils sont nuls l'un et l'autre. Deux nombres purement imaginaires conjugués sont symétriques.

87. D'après ce qu'on vient de dire, un nombre imaginaire est entièrement défini par deux nombres réels a, a' qui jouent un rôle distinct; rien n'empêche, si on le veut, de regarder la lettre i comme un simple signe accolé à l'un des deux nombres «, a' pour le distinguer de l'autre : on peut même la supprimer et, au lieu de a-\-a'i., écrire

(') 11 y a en réalité deux signes à considérer: le sii;ne de la partie réelle, le signe de la partie imaginaire. Toutefois, j'emploierai à l'occasion l'expression changer de signe un nombre imaginaire avec le même sens que remplacer un nombre imaginaire par son symétrique.

par exemple (a, a'), en convenant d'écrire toujours le premier le nombre qui tiendra le rôle de la partie réelle et, le second, le nombre qui tiendra le rôle du coefficient de i] dans cette notation, le nombre réel a se représenterait par («, o), le nombre purement imaginaire «'/ par la notation (o, à), le nombre i par la notation (o, i), le nombre o par la notation (o, o).

Le lecteur peut, s'il le veut, se représenter ainsi un nombre imaginaire comme un couple de nombres réels, de même qu'on peut, en Arithmétique, se représenter une fraction comme un couple de deux nombres entiers. Naturellement, sur ces nouveaux nombres (ces couples de nombres réels), toutes les définitions relatives à l'égalité, à l'addition, à la soustraction, à la multiplication, à la division doivent alors être reprises l'une après l'autre. Ce qui précède suffit évidemment à la définition de l'égalité.

Quant aux opérations d'addition, de soustraction, de multiplication sur les nombres réels ou imaginaires, je les définirai toutes par la règle du numéro précédent en insistant, pour chacune de ces opérations, sur la façon dont on calcule la partie réelle et le coefficient de i dans le résultat.

Rien n'empêcherait de prendre chacune des règles particulières à laquelle je parviendrai ainsi comme la définition, au point de vue qu'on vient d'indiquer, de l'opération correspondante, effectuée sur des couples de nombres réels, et d'établir ensuite les propriétés fondamentales de cette opération, qui, pour nous, résulteront de la considération des restes de la division par i^-{- \.

Avant d'entrer dans le détail des opérations, je dois faire observer qu'il n'y a aucun inconvénient à représenter par une seule lettre un nombre imaginaire : on s'est déjà souvent servi d'une lettre pour désigner tout un polynôme; il s'agira maintenant d'un polynôme en i, ou plutôt du reste de la division de ce polynôme par i'^-f-i.

88. Addition et soustraction. — Étant donnés deux ou plusieurs nombres (réels ou imaginaires)

A = a -+- a' i, B = 6 -+- 6' I , G = c -i- c' t , . . . , où «, 6, c, ..., a', 6', c', ... sont des nombres réels, on doit, pour

effectuer leur somme, faire la somme

comme si i était une variable réelle, puis prendre le reste de la division par i--\-\] puisque la somme est du premier degré, au plus, en f, elle est précisément le reste cherché : la partie réelle de la somme est la somme des parties réelles; le coefficient de i est la somme des coefficients de i. En se plaçant au point de vue du numéro précédent, ce serait là la définition de l'addition des nombres imaginaires.

Par exemple, la somme des nombres 2 + 3i', — /, |, 4« est | + 6/ ; la somme des nombres 2 /, i — / , — i est i .

Il est manifeste que, dans une somme de deux ou plusieurs nombres, on peut ranger les termes dans l'ordre qu'on veut, remplacer tels termes que Ton veut par leur somme effectuée, ajouter© à un nombre sans le changer, supprimer les termes qui se détruisent. On peut dire encore que l'addition des nombres réels ou imaginaires, pour laquelle on adopte le même signe + que pour les nombres réels, obéit aux lois qu'expriment les égalités qui suivent :

qui constituent les propriétés fondamentales de l'addition.

Un nombre a -\- a' i peut être regardé comme la somme de sa partie réelle a et de sa partie (purement) imaginaire a' i.

La somme de deux nombres imaginaires conjugués est le double de la partie réelle de ces nombres.

La somme de deux nombres symétriques (réels ou imaginaires) est o; la somme de deux nombres ne peut être o que s'ils sont symétriques.

La différence A— B des deux nombres a-\-a'i, b -\- b' i est le nombre a — b-\-{a' — b')i; c'est le seul nombre qui, ajouté à B, reproduise A; elle est nulle si A est égal à B, et seulement dans ce cas.

On peut affecter du signe H- ou du signe — une lettre qui repré-

NOMBRES IMAGINAIRES. liQ

sente un nombre imaginaire ; + A désigne le même nombre que A,

— A le nombre symétrique de A.

Dans une expression telle que A — B -h C — D, les signes — , +,

— peuvent être regardés comme des signes d'opération : on a à retrancher B de A, à ajouter C au résultat, puis à retrancher D; ces signes peuvent être attachés aux lettres qui les suivent; l'expression précédente représente alors la somme des nombres A, — B, -f- C, — D ; les deux significations sont équivalentes.

89. Multiplication. — Pour faire le pioduit de deux ou plusieurs nombres, des nombres

par exemple, on doit faire le produit des trois binômes, comme si / était une variable réelle; on obtient ainsi

abc -\- {a' bc -^ ah' c -+- abc' )i -h (ab' c' -h a' bc' + a' b' c)i^-\- a' b' c' i^ ;

on a ensuite à chercher le reste de la division par f--t- i, ou à remplacer i'^ par — I , i^ par — i, ce qui donne

( abc — ab' c' — a' bc — a b' c) -+- {abc -\- ab' c -\- abc' — a' b' c')i.

On ne modifie pas le reste de la division par i- -\- i quand on intervertit l'ordre des facteurs, ou que l'on remplace deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué, ou encore par le reste de la division par /- -h 1 de ce produit partiel : dans un produit de facteurs imaginaires on peut intervertir l'ordre des termes, grouper les facteurs comme on veut. On ne change pas un produit en introduisant ou en supprimant un facteur égal à i , ou en supprimant un groupe de facteurs dont le produit est égal à i .

Lorsque, dans un produit de nombres réels ou imaginaires, un facteur est nul, le produit est nul : car le polynôme en /, obtenu en faisant la multiplication comme si f était une variable réelle, est divisible par f 2 -h i .

Réciproquement, si un produit de facteurs est nul, l'un des facteurs est nul. En effet, dire que le produit des nombres imaginaires a -t- a i^ b -\- b' i, c -\- c' i, par exemple, est nul, c'est dire que le polynôme en c

aSo CHAPITRE VI.

obtenu en développant

comme si i était une variable réelle, est divisible par i^-\- \ . Restons un moment à ce point de vue ; si aucun des binômes a -\- a! i, b -[- b' i, c + c'f n'est identiquement nul, c'est que chacun d'eux est premier avec i^ -\- \ ; il en est de même de leur produit (n" 76), qui, ainsi, ne peut être divisible par /--i- i ; le produit ne peut donc être nul, si l'on se place au point de vue du calcul des nombres imaginaires.

Pour multiplier une somme de deux nombres imaginaires A, B par un troisième C, on peut multiplier successivement les deux nombres A, B par G et faire la somme des produits. En d'autres termes on peut écrire, en employant pour les nombres imaginaires les mêmes notations que pour les nombres réels,

(A-i-B)G = AG-t-BG.

L'égalité est en effet évidente, quand on effectue simplement les opérations sur les binômes a + a' i, b -\- b' i^ c + c' i, comme si i était une variable quelconque (n" 33); les restes de la division par i^ -\- i des deux membres sont les mêmes; et le reste relatif au premier membre n'est pas changé quand on remplace A + B par son reste, le reste relatif au second membre n'est pas changé quand on y remplace A, B, G par leurs restes (n" 76).

La proposition et la démonstration s'étendent au cas où la somme contient autant de termes qu'on veut; elle s'applique aussi bien à une différence qu'à une somme, puisqu'une différence peut être regardée comme une somme. Elle s'applique en particulier à la multiplication d'un nombre imaginaire, 3 — 5/ par exemple, par un nombre réel — 2, ou purement imaginaire 3«; le produit est dans le premier cas, — 6 + lOf, et, dans le second cas, 9/ — i 5/^, que l'on doit remplacer par 1 5 + 9 i.

90. Arrêtons-nous sur le cas où il s'agit du produit de deux facteurs k = a-\r Cl i-i ^=^b -\- b' i.

Le produit développé de ces deux nombres est

ab -h {ab' -h a' b)i -h a'b' i^

NOMBRES IMAGINAIRES. 23l

OU, en remplaçant i- par — i ,

ab — a' b' ^(ab' -\- a' b^i\

par exemple, le produit de ^ — 5« par i + / est 12 + 2/.

L'expression obtenue pour le produit des deux nombres imaginaires rt H- a'/, b -\- b' i pourrait, en se plaçant au point de vue du n" }S7, être regardée comme la définition du produit de deux nombres imaginaires; le produit de deux nombres imaginaires A, B étant défini, le produit de trois nombres A, B, C s'obtiendrait, par définition, en faisant le produit des deux premiers par le troisième d'après la même règle; ainsi, en supposant comme plus haut C = c4-c'i, on aurait par définition

ABC = {ab — a' b')c — {ab' ^ a' b)c' -\-[{ab — a b' )c' -\- {ab' -\- a' b)c\i',

le résultat est naturellement le même que plus haut. En se plaçant à ce point de vue, on aurait à vérifier les égalités