REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES IMAGINAIRES

O^, Les nombres imaginaires sont susceptibles d'une représentation géométrique sur laquelle je vais maintenant insister. Mais, auparavant, je rappellerai quelques définitions.

Fig. 25.

Considérons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires. Pour fixer, dans ce plan, une direction, il suffit évidemment de fixer la parai-

NOMBhES IMAGINAIRES. 239

lèle menée à cette direction, dans le même sens, à partir de l'origine : je ne considérerai donc que des directions partant de ce point; en particulier l'angle de deux directions sera l'angle des deux parallèles à ces directions, à partir de l'origine.

Four fixer une direction à partir de l'origine O, ou, si l'on veut, une demidroite ayant son origine au point O, il suffit évidemment de se donner un point A situé sur cette demi-droite (et non sur la demi-droite opposée), ou, ce qui revient au même, les coordonnées a, b de ce point. Le point unique M où la demi-droite considérée rencontre le cercle décrit de 0 comme centre avec un rayon égal à l'unité de longueur est particulièrement utile à considérer; ses coordonnées a, ^ s'appellent les cosinus directeurs de la demidroite considérée; elles vérifient la relation a^-t-^^—j. Inversement, deux nombres réels quelconques vérifiant cette relation sont les coordonnées d'un point unique sur le cercle et sont les cosinus directeurs de la demi-droite qui part de l'origine et aboutit en ce point.

Si l'on désigne par r le nombre positif qui mesure la longueur OA, on a

a = 'xr^ b='^r^ r = ^a^-\-b'^, a = - j <^ — - ;

le radical est pris avec son sens arithmétique. Ces formules permettent, quand on se donne a, 6, de calculer r, a, ^ sans ambiguïté.

Soient X, Y les points où les directions positives des axes des x et des jrencontrent le cercle; un mobile M, qui se meut sur le cercle toujours dans le même sens (sans oscillations), se meut dans le sens direct ou positif s'il se meut dans le même sens qu'un mobile qui partirait du point X pour aller vers le point Y en décrivant le quart du cercle; dans le cas contraire, il se meut dans le sens indirect ou négatif. Dans les mêmes conditions, on dit que le rayon OM, ou une parallèle quelconque à ce rayon, menée dans le même sens à partir d'un point fixe, tourne dans le sens direct ou dans le sens indirect.

Un nombre 6 quelconque peut être regardé comme Vabscisse circulaire d'un point M sur le cercle : on obtient ce point M en imaginant un mobile qui se meuve sur le cercle, sans osciller, en partant du point X (origine des arcs), dans le sens positif ou dans le sens négatif, suivant que 6 est positif ou négatif, et qui s'arrête lorsqu'il a parcouru, sur le cercle, un chemin dont la longueur est la valeur absolue de 6. Le point où le mobile s'arrête est le point M dont l'abscisse circulaire est 0. Son abscisse et son ordonnée sont, par définition, les nombres cos6 et sin6; tango est, par définition, la pente de la droite qui joint le point O au point M.

Inversement, à chaque position du point M sur le cercle correspondent une infinité de nombres dont chacun peut être regardé comme l'abscisse circulaire du point M : ces nombres forment une progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens, dont la raison est itz. Tous ces nombres ont même cosinus, même sinus, même tangente.

Si l'on considère deux directions OM, OM', définies, comme on l'a expliqué plus haut, par deux points M, M' du cercle, et si l'on attribue un ordre à ces

deux directions, en sorte que OM soit la première et OM' la seconde, l'angle (OM, OM') de ces deux directions, ou l'arc MM', sera, par définition, l'abscisse circulaire du point M', définie comme plus haut, mais en prenant le point M comme origine des arcs (et non le point X). Le sens positif reste celui qu'on a défini plus haut. Cet angle ou cet arc ne sont définis qu'à un multiple près de 2 7:.

En d'autres termes, toutes leurs déterminations s'obtiennent en ajoutant à l'une quelconque d'entre elles le produit de -m par un nombre entier quelconque : la valeur principale de l'angle (OM, OM') ou de l'arc MM' est celle de ces déterminations qui est comprise entre — tt et -(- it ; elle est entièrement déterminée, sauf dans le cas où les deux directions sont opposées, où les deux points M, M' sont diamétralement opposés; elle peut alors être prise, à volonté, égale à tt ou à — tt. En écartant ce cas d'exception, la valeur principale de l'angle (OM, OM') est positive ou négative, suivant que l'angle de OM et de OM' considéré comme une figure géométrique a, ou non, la même disposition que l'angle ( OX, OY) considéré aussi comme une figure géométrique.

La somme des deux angles (OM, OM') et (OM', OM) est nulle ou égale à un multiple de ar.

Si l'on considère trois directions à partir du point O ou, si l'on veut, trois points M, M', M" sur le cercle, il est clair qu'on peut se mouvoir sur le cercle, à partir du point M, de manière à rencontrer d'abord le point M', puis le point M"; on voit ainsi qu'il existe une détermination des angles telle que l'on ait

(OM, OM") = (OM, OM') -h (OM', OM"),

et, par conséquent, on aura, pour n'importe quelle détermination des angles,

(OM, OM'') = (OM, OM')-i-(OM', 0M")-H-2^Tr, (OM', 0M") + (0M", OM ) + (0M, 0M')=-2hiz,

k el h étant des nombres entiers dont la valeur dépend des déterminations choisies pour les angles, ou les arcs.

Si l'on se donne la direction OM, ou le point M, et l'une des déterminations^ de l'angle (OM, OM'), la direction OM', ou le point M', sont déterminés sans ambiguïté.

En particulier, la direction OM, elle-même, peut être déterminée par

l'angle 0 = (OX, OM); - — 6 est alors une des déterminations de l'angle (OM, OY); les cosinus directeurs de OM sont

a = cos6, ^ = cos ( 0|=sin6.

Lorsqu'on se donne les coordonnées a et 6 du point A, on a vu plus haut comment on pouvait calculer les cosinus directeurs de la direction OA ou OM, en désignant par M le point unique où le cercle est rencontré par la demidroite OM; l'angle 6 est alors déterminé, à un multiple près de ix, par les.

formules

cosO = — 1 sinU =

Gela revient à dire que, si l'on se donne deux nombres a, b qui ne soient pas nuls à la fois, il existe un seul nombre positif/- et un seul angle 0 (abstraction faite des multiples de -iiz) tels que l'on ait a = rcos6, 6 = /-sinG. Si l'on veut choisir pour 0 sa détermination principale, comprise entre — —

et T., 6 devra être pris entre et H — ^ si a est positif, entre o et — ou

entre o et — — suivant que b est positif ou négatif; entre — et tc ou entre

— — et — Ti si a est négatif; dans le premier intervalle si b est positif, dans

le second si b est négatif; si b est nul et a négatif, la détermination principale peut être prise égale à tt ou à — -. Dans ces conditions, les tables trigonométriques (centésimales, par exemple) permettent de trouver un angle exprimé en grades, compris entre o et loo, dont le cosinus ou le sinus aient la même valeur absolue que cos6 ou sinO, et les remarques précédentes permettent de calculer ensuite l'angle 0.

Toutefois, il est préférable, quand on se donne les valeurs numériques de a et de b et que l'on veut calculer /• et 0, de faire le calcul en partant de la formule

tanir6 = -•

On cherche dans la table le nombre ff de grades compris entre o et loo, tel <jue la tangente correspondante soit la valeur absolue de — ; on prend à la même page le logarithme du cosinus ou du sinus du même arc, en sorte que l'on ait en posant 6'= ,

tanirO'

cos6'=L^, sin6'=i^

l'une des deux dernières formules donnera /• par un calcul facile, puisque l'on a déjà les logarithmes de ] a [ et de j 6 |. D'après les règles précédentes,^ si a est positif, on prendra 6 = 6' ou 6 = — 6' suivant que b sera positif ou négatif, et, si a est négatif, 0 = 7: — O'ou 0= — -h-0' suivant que b sera positif on nésatif ( M.

(') Il convient de prévenir le lecteur, une fois pour toutes, ([ue les angles ou arcs dont il sera question dans le présent Livre seront toujours exprimés en radiants (ou en parties du rayon) et non en grades ni en degrés. C'est pour appeler son attention «ur ce point et sur les précautions à prendre dans les calculs numériques, que j'ai insisté sur les détails que l'on vient de lire.

J'ai cru utile de rappeler les définitions et propositions fondamentales qui précèdent; je me servirai d'ailleurs, sans revenir sur leur démonstration, des formules de trigonométrie élémentaire qui reposent sur ces définitions et sur l'emploi du théorème des projections.

Fi". :.6.

9o. Imaginons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy.

TJn nombre imaginaire a + bi est déterminé si l'on se donne les deux nombres réels a, b; à ce couple de deux nombres réels a, b correspond un point A- dont l'abscisse est la partie réelle a et l'ordonnée le coefficient de i dans le nombre a -\- bl. Le point A sera, si l'on veut, \ image du nombre a-\-bi. Inversement, à un point A, dont les coordonnées sont «, b^ correspond le nombre imaginaire a -j- bi^ qui est dit {'ajffixe du point A.

Si b est nul, le nombre a + bi est réel : les nombres réels sont représentés par des points situés sur l'axe des abscisses ; de même les nombres purement imaginaires sont représentés par des points situés sur l'axe des ordonnées : aussi ces axes sont-ils souvent appelés respectivement axe des quantités réelles, axe des quantités purement imaginaires, ou, plus brièvement, axe réel, axe imaginaire. Au nombre o correspond l'origine O des coordonnées. Le nombre positif r ■=■ \Ja^--\- b-, qui mesure la longueur du vecteur OA, est ce qu'on a appelé plus haut la valeur absolue du nombre a + bi, l'angle (OX, O A) de la direction positive prise sur l'axe des abscisses et de la direction du vecteur OA qui va de l'origine au point A, est V argument trigonométrique (*) du nombre a + bi. Cet argument est déterminé à un multiple près de au, pourvu que a + bi ne soit pas nul, que le point A

(') On supprime cette épithète quand il n'y a pas de confusion possible avec quelque autre argument.

ne coïncide pas avec le point O. Quand a + bi est nul, la valeur absolue est nulle, et l'argument complètement indéterminé.

La valeur principale de l'argument est comprise entre — tt et + tî ; elle est complètement déterminée, sauf dans le cas où h est nul et a négatif ou nul. Elle est nulle ou égale à riz tt si a -|- bi est réel (Z> = o), nulle si l'on a affaire à un nombre positif, égale à dz t: si l'on a affaire à un nombre négatif.

Elle est égale à ir: — û a-\-bi est purement imaginaire (« = o),

à -1- - ou à suivant que b est positif ou négatif.

Elle est, en général, du même signe que 6; elle est comprise entre

et H — SI a est positii, entre H — et —, ou entre et — t: si

a est négatif.

Puisque l'on a a = /cosÔ, 6^/sin6, on peut écrire

a-^bi=- /"(cosO -I- t sin6),

le second membre, où la valeur absolue /• et l'argument 0 sont mis en évidence, est ce qu'on appelle \di forme trigonomélriqae du nombre a H- bi.

En particulier, tout nombre dont la valeur absolue est i peut se mettre sous la forme cosO + ^sinO; pour mettre le nombre i sous cette forme, on pourra prendre 6 = o, ou 6 égal à un multiple de itz] pour mettre le nombre — i sous cette forme, on prendra 6 = — ou 6 égal à un multiple impair de u.

Deux nombres imaginaires égaux sont représentés par le même point; leurs valeurs absolues sont égales et leurs arguments ne peuvent différer que d'un multiple de 271; ces dernières conditions sont nécessaires et suffisantes pour que deux nombres imaginaires mis sous forme trigonométrique soient égaux, sauf dans le cas où l'une des valeurs absolues est nulle; dans ce cas, l'autre valeur absolue doit aussi être nulle; cela suffit pour que les deux nombres soient nuls.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'origine. Deux nombres imaginaires conjugués sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses,

96. Pour faire la somme de plusieurs nombres imaginaires a + bi^

a' -{- b' i^ a" -\- b" i, . . . , représentés par des points A, A', A'', , . . , il suffit de faire la somme géométrique des vecteurs OA, OA', OA", . . . en lui donnant pour origine le point O ; je rappelle la construction de cette somme géométrique : on regarde le point A comme l'origine d'un vecteur AA', équipollent au vecteur OA', le point A', comme l'origine d'un vecteur A', A"^ équipollent au vecteur OA", etc.; l'extrémité du dernier vecteur est l'extrémité de la somme géométrique cherchée; c'est le point qui figure la somme des nombres représentés par les points A, A', A", ....

Il suffira, pour démontrer cette proposition, de raisonner sur trois nombres a + bi, a! -\- b' i^ a!' -\- b" i^ représentés parles trois points A,

Fis. -^7.

A', A". L'extrémité A", de la somme géométrique OA'j des trois vecteurs OA, OA', OA" est, d'après la construction précédente, l'extrémité d'une ligne brisée O A A', A", dont les côtés OA, AA', , A'^ A", sont respectivement équipollents aux vecteurs OA, OA', OA"; les projections Oa, aa', a' a" des côtés de la ligne brisée sur l'axe des x sont respectivement équipollentes aux projections sur cet axe des vecteurs OA, OA', OA", projections dont les équivalents algébriques sont respectivement et, rt', a" . On a d'ailleurs, entre les équivalents algébriques Oa, aa', a' a", Oa" des vecteurs Oa, aa', a' a", Oa", la relation

O a" ^ O a -H- aa' -f- a' a" = a -!- a' -!- a" .

L'abscisse Oa" du point A'^ est donc a-\- a' + a"; son ordonnée est de même b -f- b' -\- b" ; c'est bien là l'abscisse et l'ordonnée du point qui représente la somme a -\- a' -\- a" -{- (b -i- b' -{- b"}i des trois nombres a -+■ bi\ a'+ b' i., a" -\- b" i.

On sait qu'une somme géométrique est indépendante de l'ordre de ses éléments; au reste, ce résultat apparaît immédiatement sur la démonstration, puisque les coordonnées a + «'+ a", b -{- h' -\- b" de l'extrémité de la somme ne dépendent pas de l'ordre des nombres réels rt, a\ d' \ 6, 6', W .

Le nombre (positif) qui mesure la longueur du vecteur OA"^ , c'està-dire la valeur absolue de la somme des nombres imaginaires donnés, est inférieur ou égal à la somme des nombres positifs qui mesurent les côtés de la ligne brisée OAA', A", , c'est-à-dire à la somme des valeurs absolues des nombres donnés; pour qu'il j eût égalité, il faudrait que la ligne brisée se réduisît à une ligne droite et que les points A, A', fussent entre O et A', : il faudrait pour cela que les points A, A', A" fussent sur une même demi-droite partant du point O, c'est-à-dire que les arguments des nombres a-f- 6f, «'+ 6'/, «'+ H' i fussent égaux (à un multiple près de 2tc); l'argument commun de ces nombres serait aussi l'argument de leur somme.

D'après la notation adoptée au n" 91, on peut écrire

6t -+- «' -f- 6' t -4- a" H- 6" / 1 £ I a -1- èi I -f- I a' -f- 6' i 1 -(- 1

Fis. 28.

Dans le cas où l'on veut faire la somme de deux nombres a -h bi, «'+ y i^ représentés par les points A, A', cette somme est représentée par le point B, sommet opposé au point O du parallélogramme dont OA, OA' sont deux côtés. Dans le triangle OAB le côté OB est plus petit que la somme des deux côtés OA, AB plus grand que leur différence. Outre cette proposition déjà connue la valeur absolue de la somme de deux nombres est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres, nous obtenons donc celle-ci :

La valeur absolue de la somme de deux nombres est supérieure ou égale à la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs absolues de ces deux nombres.

Il y aurait égalité dans le cas où les points A, A' seraient en ligne droite avec le point O, mais de part et d'autre du point O, ou, ce qui revient au même, quand les arguments des nombres a ~\- bi^ a' -\- b' i diffèrent d'un multiple impair de 7t.

On peut écrire

bi

bi\ — I «'-+- è'i I ;

cette égalité restant vraie quand on a \a -\- bi\<^\a' + b' i\^ puisque, alors, le second membre de l'inégalité est négatif.

Fig. 29.

La différence {a-\- bi) — («'+ b'i) entre les deux nombres a + bi, a' -\- b' i, représentés par les points A, A', sera représentée par l'extrémité G d'un vecteur OC, différence géométrique des vecteurs OA et OA'; ce vecteur est équipollent au vecteur A' A dont l'origine représente le point qui figure le nombre à soustraire, dont l'extrémité figure le nombre dont on soustrait. La figure montre nettement que le point A représente la somme des nombres représentés par A' et par C, que le point G représente la somme des nombres représentés d'une part par le point A, d'autre part par le point A" symétrique du point A' par rapport au point O, c'est-à-dire la somme des nombres a -H bi, — a' — b' i.

Deux nombres imaginaires sont regardés comme voisins, comme

différant peu l'un de l'autre, quand la valeur absolue de leur diff"érence est petite. Cette valeur absolue est mesurée par la distance des deux points qui représentent ces deux nombres : ces deux points sont donc voisins; a fortiori, la diff'érence entre les abscisses des deux points, ou entre leurs ordonnées, ([ui est inférieure à leur distance, est petite, en valeur absolue.

La valeur absolue d'une difTérence est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, supérieure ou égale à leur différence.

Cette proposition ne diff'ère pas de celle qui concerne une somme, puisque les deux nombres symétriques a + bi^ — a — bi ont même valeur absolue.

97. Considérons maintenant le produit des deux nombres imaginaires mis sous la forme trigonométrique (n° 96)

r(cos8 -h i sinO), r'(cos6' -+- i sinO').

En effectuant leur produit par la règle du n° 90, on trouve pour la partie réelle

/■/•'cosG cos6' — rr' sinO sinO'= /•/ cos(0 -f- G'),

et pour le coefficient de i

rr' cos6 sin6'-+- rr cosO' sinO = r/-'sin(8 -^ W).

Le produit se trouve donc mis sous la forme trigonométrique

/•/■'[cos(0 -f- 6') -+- i sin(e + 6')].

C'est un nombre dont la valeur absolue rr' est le produit des valeurs absolues /•, /•' des deux facteurs, dont l'argument 9 H- 9' est la somme des arguments des facteurs.

Du cas de deux facteurs on s'élève immédiatement au cas de trois facteurs /-(cosO + « sinO), /•'(cos6'-+- « sinG'), ;-"(cosQ"+ / sinG"); la valeur absolue du produit est le produit de rH par /", l'argument du produit est la somme de G + 0' et de 9".

D'une façon générale, le produit d'autant de nombres que l'on veut, mis sous forme trigonométrique, est un nombre dont la valeur

aïs

absolue est le produit des valeurs absolues des facteurs et dont l'argument est la somme des arguments des facteurs.

Sur cette forme donnée à un produit, la possibilité d'intervertir les facteurs, de grouper ces facteurs comme on veut, est évidente.

Supposons que le nombre r(cos9 + « sin9), que l'on veut multiplier par le nombre /•'(cosG'+ / sinô'), soit représenté par le point A,

Fig. 3o.

le mvdtiplicateur étant représenté par le point A'. On aura alors

(OX, OA) = 0, (OX, OA') = e'.

On fera tourner la demi-droite qui porte le vecteur OA d'un angle égal à 9'; elle prend alors une position OB telle que l'angle (OA, OB) soit égal à 9'; on prend ensuite un point B tel que le nombre positif qui mesure la longueur OB soit égal au produit des nombres r, /•' qui mesurent les longueurs OA, OA'. B représentera le produit

/■/■'[cos(e -4- 6') -H isin(0 -f- 0')].

Si, en particulier, la valeur absolue du multiplicateur est égale à i, la multiplication par cos9'+ isiuG' revient à faire tourner de l'angle 9' le vecteur dont l'extrémité représente le multiplicande; l'extrémité du nouveau vecteur représente le produit.

Plus particulièrement, la multiplication par le nombre «, dont la valeur absolue est i et l'ars»ument —> revient à faire tourner le vecteur qui aboutit au point qui représente le multiplicande d'un angle droit, dans le sens direct; la multiplication par — i, dont la valeur absolue est I et l'argument ± 7t, revient à faire tourner le même vecteur de deux angles droits dans un sens ou dans l'autre; la multiplication

NOMBRES IMAGIXAIUES.

par — i, dont la valeur absolue est i et l'argument — -» revient à faire tourner le même vecteur d'un angle droit dans le sens indirect.

Fig. 3i.

Le nombre i est représenté par le point I situé sur la partie positive de l'axe des ordonnées à l'unité de distance de l'origine. En faisant tourner le vecteur OI d'un angle droit, dans le sens direct, puis encore d'un angle droit dans le même sens, etc., on l'amène successivement en OF, en OF, en OU, puis on le ramène en 01, etc. ; c'est la traduction géométrique des égalités numériques

Lorsque le multiplicateur est un nombre réel, l'argument du produit est égal à l'argument du multiplicande si le multiplicateur est positif, à l'argument du multiplicande augmenté ou diminué de - si le multiplicateur est négatif.

98. En regardant la division comme l'opération inverse de la multiplication, on voit de suite que la valeur absolue d'un rapport doit être le rapport de la valeur absolue du dividende à la valeur absolue du diviseur, et que l'argument du rapport doit être égal à la diflerence entre l'argument du di\idende et l'argument du diviseur, afin que le produit du quotient par le diviseur soit égal au dividende; en d'autres

termes, on peul écrire

r(cosO -t- i sinO) /• ,„ ^,^ . . „ „, ,

-77 Kf • • ft,\ = - [cos(0 — 6') -I- j sin(e — 0') ,

et celte égalité est susceptible d'une interprétation géométrique analogue à celle qu'on a donnée pour la multiplication.

En particulier, en supposant /" = 1 , 0 = o, on a pour l'expression trigonométrique de l'inverse d'un nombre

—, (cosO' — i sinO');

/•'(cosO'-h i siiiO') /

d'où résulte la construction suivante pour obtenir le point qui représente l'inverse du nombre figuré par le point A'.

On décrit du point O comme centre le cercle de rayon i; on prend le point A'^ qui serait l'inverse (') du point A' dans une inversion faite par rapport à ce cercle ; l'affixe du point A', est —, (cosG' + / sin9') ;

le point cherché A", dont l'affixe est -^(cos6' — « sinO'), est le symétrique du point A', par rapport à l'axe des abscisses.

Plus particulièrement encore, en supposant ;•'= i, on voit que l'inverse d'un nouibre dont la valeur absolue est i est le conjugué de ce nombre; pour que deux nombres conjugués soient inverses l'un de l'autre, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient ég^ales à i. Dans ce cas, les deux points A', A', de la figure précédente sont confondus sur le cercle.

§ 3. — RACINES n''"'".

99. Cherchons à déterminer la racine /z'^""' d'un nombre donné, que l'on peut toujours supposer mis sous la forme trigonométrique /•(cos9 + f sinO); il s'agit de trouver, s'il est possible, un nombre dont la puissance n^""^^ soit égale à /-(cosO + /sinG); en supposant ce nombre mis lui-même sous la forme trigonométrique p(cosa) + /sinw)

(') C'est, comme on sait, le point où la polaire du point A' par rapport au cercle rencontre la droite qui joint les deux points O, A'; c'est encore le second point commun à tous les cercles qui passent par le point A' et qui sont orthogonaux au cercle de centre O : au lieu de dire que les points A', A', sont inverses par rapport à ce cercle, on dit souvent quils sont symétriques par rapport à ce cercle.

NOMBRES IMAGIXAIRES. 231

il s'agit de déterminer p et to de façon que l'on ait

[p(cosw + i sinw)]" = /-(cosO -f- i sin6);

mais, d'après la théorie de la multiplication, la valeur absolue du premier membre est p", son argument est /iw; pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments ne diffèrent que d'un multiple de 2 7z; on doit donc avoir

p" = /•, rtw = 0 -+- îAtt,

en désignant par A" un nombre entier quelconque; on en déduit

H/— 6 -t- aAit

inversement, ces valeurs de o, iii^ où s^^r est la racine /?''''"*^ arithmétique de /•, répondent à la question; en d'autres termes, la formule

Tr{

e-4-9.ATT . . e + 2^--

cos 1- i sin

fournit toutes les solutions du problème posé. Si, dans cette formule, on remplaçait G par quelque autre valeur de l'argument du nombre donné, on ne ferait que modifier le nombre entier k\ on ne changerait pas l'ensemble des résultats, puisque, pour avoir toutes les solutions du problème posé, on doit remplacer k par tous les nombres entiers possibles.

Si le nombre dont on veut chercher la racine /i'*"® était i, il n'y aurait qu'à faire dans la formule précédente /• ^ i, 8 ^ o; on trouverait ainsi, pour l'expression des nombres dont la puissance n'^"" est i, ou, comme l'on dit, des racines n'^"""* de l'unité, la formule

iUt. . . ik-K

COS h i SI 11 i

où k est un nombre entier quelconque.

On a d'ailleurs, en général (n" 97 ),

«/-/ e-f- ?./;•-:: . . e -f-sATi