COS

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fc.

-h i sin

•ikTz . . -xh-

X ( COS h- i Sin

Il n

dans le second membre, le facteur i//-(cos — hisin- )j est l'un des nombres dont la puissance /i'™" reproduit r(cosO -j-tsinG); c'est l'une des racines /i'"^™"' du nombre donné; l'autre facteur

a/iTT . . •>. /r-

COS -+- l SU!

n II

est l'une des racines n"'"»"* de l'unité; on obtient toutes ces racines en donnant à k toutes les valeurs entières possibles. En d'autres termes :

On obtient toutes les racines n'^'"^^^ d'un nombre en multipliant l'une d'elles, choisie arbitrairement, par les diverses racines n}'<''^^^ de V unité.

dOO. Racines de l'unité. — C'est de ces dernières racines que je vais m'occuper maintenant.

Le nombre ços^^-^' + i%\\\ — ^ a i pour valeur absolue et — ^ pour argument : les divers points qui figurent les nombres de cette sorte, où k est entier, sont tous situés sur le cercle de centre O et de rayon i ; ils correspondent aux arguments

STt f\TZ ÔTt o, j 1 1 • • •»

C'est d'abord les points Aq, A.,, Aa, A3, ... dont le premier, qui

correspond à l'argument o, est le point du cercle qui se trouve sur la partie

positive de Taxe des abscisses, point dont l'affixe est i ; les suivants Âj, A2, A3 s'obtiennent en portant bout à bout, à partir de Ao, dans le sens positif, des arcs égaux à — ^j à la «'•■">•' partie de la circonférence du cercle. Quand on a porté ainsi bout à bout n de ces arcs, on retombe sur le point A„, |mis, en continuant à tourner dans le même sens, les points A,, Ao, A3, .... En portant bout à bout des arcs de la même longueur—^ dans le sens négatif on retombe sur des points déjà obtenus Art,, A„2, ..., mais on les rencontre successivement dans le sens inverse de celui où on les a obtenus d'abord; les points Ao, A|, . . .. A„| ainsi obtenus, qui représentent toutes les racines /i'*™"* distinctes de l'unité, sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés. On voit ainsi qu'il V a /i racines distinctes de l'unité, dont l'une, qui correspond au sommet Aq, est elle-même égale à i . Le polygone n'existe, à proprement parler, que pour /«>>2; pour « = 2, la figure se réduirait au point Aq et au point diamétralement opposé ; les deux racines carrées de i sont

coso -î- i sino ;= I, cosTi -)- t sin— ^ — i;

pour /i = 3, la figure formerait un triangle équilatéral, les trois racines cubiques de l'unité sont

COS — h l Slll — — = r- « >

COS h l SIIl — - = -

pour ;« ^ 4? la iigure serait un carré, les quatre racines quatrièmes de 1 seraient i , ?, — 1 , — ?', ....

Les résultats précédents, et quelques autres, s'obtiennent encore comme il suit :

Observons d'abord que la valeur absolue d'une racine /i"'™*' de l'unité étant toujours égale à i , il suffit de s'occuper de l'argument qui est de la forme — -• A chaque valeur entière de A correspond une racine; pour que les deux racines qui correspondent à deux valeurs k\ et Ao de A" soient égales, il faut et il suffit que la différence entre les deux arguments soit un nombre entier de fois 27c, c'est-

à-dire que la différence k.> — ki soit un multiple de n ; en particulier,

2 k TT

on ne change pas la racine dont l'argument est ^-) quand on remplace k par le reste de sa division par n ; on obtiendra donc les arguments des racines /î''^'™*'» distinctes en remplaçant dans l'expression •>

k par o, 1 , 2, . . ., n — i , ou par n nombres entiers consécutifs quelconques, ou encore par n valeurs entières k^, A^,, . . ., kn-\ qui, divisées pai' /i, donnent n restes distincts, à savoir les restes o, i, 2, ..., n — I , dans un certain ordre.

Pour qu'une racine n"'"'" de l'unité soit réelle, il faut et il suffît que

son argument - — ^ soit un multiple de ti, c'est-à-dire que 2 A' soit un

multiple de n; si l'on donne à k les valeurs o, i, 2, , /i — i, les

seules valeurs de A" telles que 2A^ soit divisible par ii seront k = o, et,

dans le cas où n est pair, k = —; à ces valeurs de k correspondent

les arguments o et tc, auxquels correspondent les nombres i et — i ; I est toujours une racine /i'*"" de l'unité; c'est la seule racine /i"""*" réelle si n est impair; si n est pair, — i est une autre racine réelle; il ne peut pas y avoir d'autres racines réelles que i et — i.

Les racines /^'*"^«* imaginaires sont conjuguées deux par deux : la

1 15 5! ( n /f ) TT . /Il • 1

racine dont 1 argument est — est conjuguée de la racine dont

l'argument est — ^; le produit de ces deux racines est i.

101. Une racine /j'^""" de l'unité peut aussi être une racine yo'*™" de l'unité ; il faut et il suffît pour cela que l'argument - — de cette racine

puisse être mis sous la forme - — ^ > h étant un nombre entier comme k' ceci exige que l'on ait

on pourra toujours vérifier cette égalité en prenant pour p et h des équi-multiples de n et de A; on ne pourra la vérifier autrement si n et A' sont premiers entre eux; d'où une distinction importante entre les racines /i'*'"*'* de l'unité :

La racine cos h ^'sin-^-^ est dite une racine n'*'"*" primitive

lorsque k est premier ciK'ec n ; elle ne peut alors élre une racine y^'^""" de lunité que si p est un multiple de /^; en particulier, elle ne peut être une racine />"'""' de l'unité pouryo << n.

La racine cos-^ — '- + f sin-^ — - est une racine /i""""' non primitive

si k et n ne sont pas premiers entre eux: si l'on désigne par d le plus grand commun diviseur de k et de n et si l'on pose k = k' d^ n = n' d^ on aura

f.k- . . ikT. ■?./,'— . . 'i. k' T. cos \- i sin = cos — ; h i sin ; — ,

en sorte que la racine n"""'" considérée sera aussi une racine /j"^""" de l'unité, n' étant moindre que n. Considérée comme racine /i''^'"^ elle est d'ailleurs primitive puisque k' est premier à n! . Par exemple, — i est une racine quatrième de l'unité, c'en est aussi une racine carrée; ce n'est pas une racine quatrième primitive, i est une racine /^ ""'"•' de l'unité, quel que soit n > i , ce n'est jamais une racine primitive.

102. Si l'on multiplie les deux racines /^''^™•'* de l'unité dont les arguments sont — -^ ' , le produit aura une valeur absolue égale

à 1 , comme les deux facteurs, et son argument sera la somme ^^^-^^ — -

des arguments des deux facteurs, c'est une autre racine /?"'"'" de l'unité.

Le produit de deux racines /i'*'™'^* est une racine /î'^™"; en particulier, le produit de deux racines conjuguées est i. Le produit d'autant de racines /i"'™«* de l'unité que l'on veut est une racine /ï"'™'^ de l'unité.

Les puissances d'une racine /^'*■™" sont aussi des racines ai'*™"* de l'unité.

Lu particulier, si l'on élève à la puissance r la racine d'argument— -, on trouvera la racine d'argument — -; on obtiendra donc toutes les racines /i'*^"'«-'=' de l'unité en élevant aux puissances o, i, 2, .... n — i la racine d'argument — ^•

Si, plus généralement, on élève à la puissance /■ la racine d'argument > on trouve une racine d argument ; dans cet argument, on peut remplacer kr par le reste obtenu en divisant kr par /i;

'i56 CllAlMTRh; VI.

or, si l'on considère la suite de nombres

obtenus en remplaçant dans A/', /• par o, i, 2, ..., /i — i ; les restes

de la division de ces nombres par /?, seront dans un certain ordre

les nombres o, i , 2, . . ., n — i , en supposant que /i soit premier à n.

C'est-à-dire que, en supposant k premier à n, les n valeurs

de — ^ — > quand on donne à /• les valeurs o, i , 2, . . . , n — i , peuvent

être regardées comme les arguments des n racines de l'unité. Donc : Lorsque l'on élève une racine primitive /i"^'"" de l'unité aux puissances o, I, 2, ..., n — I, on reproduit les n racines n"'""'* de l'unité.

Si l'on multiplie une racine /i"'"'" de l'unité d'argument - — '- par vine

racine />"""" de l'unité, d'argument —^' j on obtient un nombre dont la

1 11 11) i{ ]ip-v-h'n)T~ , , .

valeur absolue est i, dont 1 argument est : le produit est

donc une racine (np)'""'' de l'unité.

Je me borne à énoncer les propositions suivantes, d'ailleurs aisées à démontrer : elles supposent que les nombres naturels n, p soient premiers entre eux.

En multipliant chacune des n racines /t"^^""" distinctes de 1 par chacune des/) racines distinctes />'""" de i on obtient les «y? racines (/jy;)"'"'^' distinctes de I.

Le produit d'une racine /<"^^""^ j)rimitive par une racine yj"""" primitive est une racine (ny?)''""^ primitive.

En multipliant chacune des racines n'^'"<^^ primitives par chacune des racines y?'*-'""^* primitives, on trouve toutes les racines (np)''^"'" primitives.

Le lecteur voit que la recherche des racines «'"'"" de l'unité est liée à certaines propositions d'arithmétique et à la théorie des polygones réguliers. L'étude approfondie de ce problème comporte de très beaux développements que je laisse de côté.