DÉFINITIONS. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

103. Le Chapitre précédent, consacré aux opérations sur les nombres imaginaires, a montré que les calculs eflectués sur ces nombres se faisaient d'après les mêmes lois que les calculs sur les nombres réels. Les conséquences qui se déduisent de ces lois, établies pour les nombres réels, s'étendront naturellement aux nombres imaginaires.

On a rappelé au n" 27 la définition d'un monôme, ou d'un poljnome, à variables réelles. Ces définitions s'étendent immédiatement, en admettant que les coefficients et les variables puissent être imaginaires. Chacune des variables ^, JK, z^ pourra représenter un

nombre imaginaire quelconque, c'est-à-dire que sa partie réelle et le coefficient de i pourront être des nombres réels quelconques. Les coefficients seront des nombres réels ou imaginaires fixes, qui peuvent d'ailleurs être représentés par des lettres. Quand on attribue aux variables des valeurs déterminées, le monôme ou le polynôme prend une valeur déterminée que l'on sait calculer par les règles précédentes. Ainsi le polynôme en x^ y,

{i-]ri)x'-—ixy-^y—i,

si l'on attribue à a; la valeur f, à y la valeur i 4- «, prend la valeur i .

Il n'y a rien à changer à la définition du degré.

La valeur absolue d'un monôme s'obtient en remplaçant dans ce monôme le coefficient et les variables par leurs valeurs absolues.

La valeur absolue d'un polynôme est au plus égale à la somme des valeurs absolues des monômes qui le constituent; elle est au plus

26o CHAPITRE VII.

égale à la soniine des valeurs absolues de tous les coefficients, si les valeurs absolues des variables sont inférieures ou égales à i. Si, dans un polynôme, tous les coefficients sont des nombres réels et positifs, et si les variables a?, j^, 5, ... sont assujetties à avoir respectivement des valeurs absolues inférieures ou égales aux nombres positifs a, è, c, ..., la valeur absolue du polynôme sera inférieure ou égale au nombre positif obtenu en remplaçant les variables ic, j)^, z^ ... par «, 6, c, ....

Par exemple, le polynôme ix--\- '6y- + ^.xy + ^ + i , si l'on suppose I .T I <! I , |jK I < 2, sera moindre, en valeur absolue, que 20.

C'est surtout des polynômes à une variable que j'aurai à m'occuper : d'ordinaire, je désignerai la variable par la lettre 5, et je poserai V = X -f- iy. en désignant par x ely des variables réelles. Cette convention, qui est d'accord avec l'habitude qu'on a de désigner Y^îir x,y les coordonnées d'un point, du point qui, suivant les conventions du n** 9o, représente z, n'a évidemment rien de nécessaire. Elle est commode en commençant; le lecteur, une fois habitué à l'emploi des variables imaginaires, ne craindra pas de les désigner par x,y., ..., ou n'importe quelles autres lettres.

Une habitude commode, généralisation immédiate de celle qu'on a introduite au n" 10, consiste à employer la même lettre ou le même symbole pour désigner le nombre imaginaire d'une part et, d'autre part, le point dont ce nombre est l'affixe.

Par exemple, i -f- a/ désignera à la fois le nombre imaginaire dont la partie réelle est i et dont le coefficient de f est 2, ou le point dont l'abscisse est 1 , l'ordonnée 2. S'il y a lieu de craindre quelque confusion, il suffira, pour l'éviter, de dire le nombre \ + 2/, dans le premier sens, le point 1 + 2/, dans le second sens. Cette façon de parler s'appliquera naturellement soit aux nombres réels, soit aux nombres purement imaginaires. Pour les nombres réels, représentés par des points de l'axe des abscisses, c'est la même convention qu'au n" 10. Le point O est l'origine des coordonnées.

Un polynôme

/(z) = («0+ ibo)z"-^{ai^ iè, )z«-i-l-. ..-+- «„-+- ib,„

où «05 f^oj ■ • ■) ^11) bn sont des nombres réels, est une fonction de la variable z = x -\- iy., c'est-à-dire que, si l'on se donne la valeur nu-

ÉTUDK DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES. '^Gl

mérique de c (ou plutôt les valeurs numériques réelles dex.y), on sait calculer la valeur numérique de/{z) (la partie réelle et le coefficient de i). L'étude de la façon dont varie y(«) avec c revient à l'étude de la variation simultanée de deux polynômes à coefficients réels en x, y, quand ces deux variables varient simultanément. Ces deux polynômes s'obtiennent en remplaçant z par x -h iy, dans le précédent polynôme en z, en effectuant les calculs indiqués, et en séparant la partie réelle et la partie imaginaire ' f{z) se met alors sous la forme

Z)(x,y) et '}j(x^y) sont les deux polynômes en question.

Au lieu de dire qu'à chaque valeur de :; correspond une valeur de /"(s), il revient au même de dire qu'à chaque point z (de coordonnées ^, y) correspond un point /"(s) [de coordonnées 'f(x, y), ^(a;,y)], ou que la fonction donnée (le polynôme) définit une correspondance entre le point z et le point /{^)i un mode de transformation qui permet de passer du point ^ au point y( 5) : étudier la fonction, c'est au fond étudier cette correspondance, ou celte transformation : on aura, en particulier, à traiter des questions comme celles-ci : quand le point z décrit un certain lieu, quel est le lieu correspondant décrit par le point y(-s); quand le point :; est assujetti à rester dans une certaine région, dans quelle région le point correspondant /(z) est-il assujetti à rester?