Considérons quelques exemples simples

Fitr. 33.

Soit d'abord /(s) = ^ + A, A étant un nombre imaginaire quel-

conque; d'après le n" 97, le point ;: + A se déduira du point z en lui faisant subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point V : En d'autres termes, le vecteur qui va du point z au point ^ + A est équipollent au vecleur fixe qui va du point O au point A.

Quand le point z décrit une courbe quelconque, le point 5 + A décrit une courbe égale : on passe de la première courbe à la seconde par la translation qu'on vient d'expliquer; de même, quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, le point z -\- A est assujetti par là à rester dans une région égale, qui se déduit de la première par cette même translation.

Soit f{z) = Az. Désignons par a la valeur absolue de A : On comniencera par déduire du point z un point z', homothétique du point z

par rapport au centre O, le rapport d'homothétie étant a; le point z^ sera l'image du nombre az; puis on fera tourner le vecteur qui part du point O pour aboutir au point z' d'un angle égal à l'argument de A ; l'extrémité du vecteur viendra au point Az ; c'est ce qui a été expliqué au n" 97; le point As se déduit donc par une homothétie, définie par son centre (le point O) et son rapport (le nombre positif a), suivie d'une rotation eifectuée autour du point O, rotation dont Tangle est l'argument de A, qui est fixe. Si le point z décrit une figure quelconque, la figure décrite par le point Az s'en déduira par une homothétie, suivie d'une rotation; ce sera une figure semblable à la figure décrite par le point z, le centre de similitude (le point qui coïncide avec son homologue) étant le point O; elle lui serait homothétique si A était réel, directement si A était positif, inversement si A était négatif. Si le point ;; décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant sou

centre au point O, le point As décrirait, dans le même sens, un cercle concentrique; le rapport des rayons des deux cercles serait a. Si le point z était assujetti à rester dans le premier cercle, le point Az serait assujetti à rester dans le second.

Soit /(s) = As + B. On déduira le point As du point s, comme on vient de l'expliquer, puis on fera subir à ce point As une translation égale au vecteur qui part du point O et aboutit au point B; si le point s décrit une figure quelconque, le point As + B décrira une figure semblable, mais le centre de similitude ne sera plus le point O. Si le point s décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son centre en O, et de rayon égal à p, le point As + B décrirait, dans le sens direct, un cercle ayant pour centre le point B, et un rayon égal 'a a-^^ en continuant de désigner par a la valeur absolue de A. Si le point s était assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point As + B serait assujetti à rester à l'intérieur du second.

Soit f[z)^ s". Désignons par p et par 6 la valeur absolue et l'argument de s; la valeur absolue et l'argument de s" seront respectivement o" et nO; si l'on considère les deux cercles décrits du point O comme centre avec les rayons p et p", le point s sera sur le premier, le point s" sur le second ; s'il faut faire tourner de l'angle 9 la direction positive de l'axe des abscisses pour l'amener à passer par le point s, il faudra la faire tourner de l'angle /i6 pour l'amener à passer par le point s".

Supposons que p, et par conséquent p", soit constant, et que le point s se meuve sur le cercle de rayon p, le point s'* se mouvra sur le cercle de rayon o". Si le point z se meut dans le sens direct, il en sera de même du point s" ; si le point s décrit la /i'^™^ partie du premier cercle, dans le sens direct, le point s" décrira, dans le sens direct, le second cercle tout entier; si le point z décrit le premier cercle tout entier dans le sens direct, le point s" décrira n fois le second cercle, dans le même sens; il passe alors n fois par un point quelconque de ce second cercle. Si, pour la position Sq du point s sur le premier cercle, le point s" est au point Zo sur le second cercle, lorsque le point s aura décrit sur le premier cercle, à partir de Sq, la rt'^""' partie de la circonférence, le point s" se retrouvera en Zq, ..., les n positions du point s sur le premier cercle pour lesquelles le point s" coïncide avec le point Zo sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans ce premier cercle; ils figurent les /i va-

l6\ CHAPITRE VU.

leurs de z pour lesquelles le nombre z" est égal à Zq, les n racines /?"'"»«» de Zfl, ces résultats sont bien conformes avec ceux des n°* 99, 100. Si le point z était assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point z" serait assujetti à rester à l'intérieur du second. Les deux cercles coïncident si l'on suppose o = i ; le second cercle est intérieur au premier si p est plus petit que i, extérieur si p est plus grand que I .

Soity(3) = A^" ; après avoir déduit le point z" du point z, on déduira le point A:;" du point 2" par une homotliétie, dont le centre est le point O, dont le rapport est le nombre a = | A|, suivie d'une rotation autour du point O, rotation dont l'angle est l'argument de A. Si l'on suppose encore que le point z décrive, dans le sens direct, le cercle de rayon p dont le centre est le point O, le point A^" décrira, dans le sens direct, le cercle concentrique, dont le rayon est «p"; il le décrira n fois si le point z décrit une fois le premier cercle.

Soit enfin f{z) = Az"-+-B. Ayant construit, comme on vient de l'expliquer, le point Az" en partant du point z, on lui fera subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point B, et l'on aura ainsi le point A^'^+B. Si l'on suppose toujours que le point z décrive, une fois autour du j)oint O, le cercle de rayon p, dans le sens direct, le point \z" + B décrira n fois, dans le sens direct, le cercle déduit du point B comme centre avec le rayon «p", en passant n fois par chaque point de ce cercle; si le point z est assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point Az"-+- B sera assujetti à rester à l'intérieur du second.

2. - ÉTUDE D'UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES D'UNE VALEUR DONNÉE.

lOo. Soit maintenant

/(z) = Ao-f- A, 3 -+- XîZ--\-. . .-h A,.,s",

un polynôme en z, ordonné suivant les puissances ascendantes de 2, que l'on veut étudier pour les valeurs de z voisines de o. Désignons par G la valeur absolue de z et par «05 <^i? •••? <^« les valeurs absolues des coefficients Aq, A|, Aj, .-., A„ : La valeur absolue de/{z)

sera au plus égale au nombre «0+ «i p + • • • + ^h?'% a^^ nombre So^ «0+ <^i +• • • + ^«5 si p est inférieur ou égal à i. L'expression «ô+ «1 Q +• • • est un polynôme en p à coefficients réels et positifs; on sait comment elle varie avec p.

Si, en particulier, les premiers termes du polynôme /"(z) manquent, si ce polynôme commence par le terme A^;/', on pourra l'écrire

^/'(A/,+ A/,+,5 -f-. . .-!- Xnzn-i>).

Supposons 0 inférieur ou égal à i , la valeur absolue du polynôme qui multiplie z"^ sera au plus égale à 'èp^ ap-\- ap^\ + ...+««; la valeur absolue du polynôme proposé sera au plus égale à Sp^P\ si l'on veut qu'elle reste inférieure à un nombre positif s, arbitrairement donné, il suffira de prendre

Revenons au polynôme

en supposant toujours qu'on ne considère que des valeurs de z voisines de o; de même que dans le cas où il ne s'agit que de variables réelles, les expressions

Ao, Ao-^-A,z, Ao-i- A,2-!- AjsS ...

constituent des expressions approchées dey(:;). Considérons par exemple la dernière : la difierence f{z) — (AoH- A, z + A2:;-) n'est autre chose que le polynôme, commençant par un terme en ^^,

dont la valeur absolue, pourvu qu'on ait | s | ^ i , est au plus égale à S3P', et reste inférieure à £ si l'on suppose p < 1/ ^- •

Notons encore que le polynôme f{z) pourra être mis sous la forme

/(^) = Ao+A,5^A,^2+M-3, M étant un polynôme en z dont on sait que la valeur absolue, pourvu

(jue la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif fixe, reste elle-même inférieure à un nombre positif fixe que l'on sait calculer.

En particulier, pourvu que z soit suffisamment voisin de o, la différence entre f(z) et Ao est petite en valeur absolue : le point /{z) est aussi voisin qu'on le veut du point Ao, avec lequel il se confond quand z est nul, pourvu que le point z soit suffisamment voisin du point O : c'est ce qu'on exprime en disant que le poljnomey(5) est une fonction continue de z, pour 5 = 0. Pourvu que 0 soit moindre

que ^j on a

et le point /(z) reste à l'intérieur d'un cercle décrit du point A,, comme centre avec un rajon égal à s. Supposons que Aq ne soit pas nul; on a pu alors choisir s << «^ ; dans ces conditions le point O est extérieur au cercle de rayon s décrit de Ao comme centre; le point y(^) ne peut donc venir au point O : En d'autres termes, s'il y a un terme constant dans un polynôme, ce polynôme ne peut s'annuler lorsque la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif que l'on sait fixer.

Un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls et qui s'annule pour ^ = o, ne peut être nul pour les valeurs de z suffisamment voisines de o.

Un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut être nul pour toutes les valeurs de z. Deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de z sans être identiques terme à terme (n" 33).

106. Je vais maintenant montrer que si un polynôme f(z) contient un terme constant Ao, on peut trouver des valeurs de z, aussi voisines de o qu'on le veut, telles que, pour ces valeurs, on ait

I/(^)|<lAo|.

Cette proposition nous sera utile un peu plus loin.

Par hypothèse, le polynôme, ordonné suivant les puissances ascendantes de 5, commence par un terme constant Ao ; il peut manquer ensuite plusieurs termes; je suppose que le premier terme (non nul)

qui suive A© soit ApZP;\e polynôme peut se réduire à ces deux termes et avoir la forme A(,+ A^pZ-P; s'il y a d'autres termes, on pourra dans

Fig

tous ces termes mettre zP'^\ au moins, en facteur et écrire le polynôme sous la forme

Z = Ao -T- A,, zi> -+- M :;/'+• ;

je ne considérerai que des valeurs de z telles que l'on ait |:? [ «< i : alors la valeur absolue du polynôme M restera inférieure à un nombre positif fixe m, à la somme des valeurs absolues de ses termes, par exemple. Je continuerai de désigner par rto, <7^, o les valeurs absolues des coefficients Ao, A^ et de la variable ;. Quand z- est petit en valeur absolue, les expressions

Aq, Zj = Ao-f- \/,2i'

constituent des expressions approcliées de Z. Lorsqu'on donne à ^ une valeur numérique, la valeur absolue de la différence entre les deux nombres Z, et Ao, la distance entre les deux points Z, et A» est égale à cipoP; on peut la supposer moindre que a,,; il suffit de

prendre pour cela p <C 1 / — ; l'erreur commise en substituant Z, àZ,

c'est-à-dire M^/'+', est moindre en valeur absolue que m^P^* ; en d'autres termes, la distance entre les deux points Z, et Z est moindre que mpP'^^; on peut la supposer moindre que apoP; il suffit de

prendre p < — ^j je supposerai p inférieur au plus petit des nombres

positifs

y ttj, m

d'ailleurs aussi petit qu'on le voudra.

Supposons que le point z décrive, dans le sens direct, un cercle de rayon p, et dont le centre soit le point O : le point Z| décrira p fois, dans le sens direct, un cercle (C) dont le centre sera le point Aq et dont le rayon UppP sera moindre que «„, en sorte que le point O sera certainement extérieur au cercle (G).

Soit K le point du cercle (C) situé entre O et Ay sur la droite qui joint ces deux points. Quand le point Z, est en K (il y passe/? fois), le point Z, dont la distance au point Z, est toujours moindre que le rayon de (C), se trouve alors à l'intérieur d'un cercle décrit de K comme centre avec un rayon moindre que le rayoade (C) : ce cercle, de centre K, sera donc intérieur au cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à Oq', cela revient à dire que le point Z est à une distance du point O moindre que a^, ou que la valeur absolue du nombre Z est moindre que «oi lorsque le point z est dans l'une des p positions pour lesquelles Z, est en K.