Lorsqu'on veut étudier un polynôme

f(z) = Ao+ Ai^ -h A,z2 f. ,, A„Z'»,

pour les valeurs de z voisines d'un nombre donné Zq, on ramène (n"' 3o, etc.) cette étude au cas où la variable est voisine de o, en posant ^ = ^0 + /t, puis en ordonnant le polynôme

/(zo-+- h) ^ Ao-+- A,(zo^- h) + A2U0+ h)^^. . .^- A„(^o^ A)",

suivant les puissances ascendantes de h ; h sera alors regardé comme une variable imaginaire, petite en valeur absolue. Les résultats du Chapitre II, fondés uniquement sur les règles relatives à l'addition et à la multiplication, s'appliquent sans changement. Si l'on désigne par

f {z) = A,-H2A.,z-+-3A3-'- + .. .+ nA„«"-», f"{z) = \.iK^-h'x.Zk,z^.. .-i-(/i — i)nA,jS''-2, fl>^{z) = l.'i....pk,,-\-^}..'^...ip^^)kp+^z^... H- ( /l — p -{- i) { n — p -^ -2) . . . n kn -3"-/',

les n dérivées du polynôme /(^), dont la /î'^""" est une constante, on a

ou, si l'on veut,

en désignant par /(c^o), /'(::o)» ••• les valeurs des polynômes f{z)^ y'(^), ..., quand on y remplace z par ^o- Si h est petit en valeur absolue, si z reste voisin de ^o, la valeur de ./(^) reste voisine de /{Z(^), aussi voisine qu'on le veut, pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite : c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme est une fonction continue de z, pour z = z^.

Si le polynôme /(z) s'annule pour z = Zo, ^o ^st une racine de ce polynôme; l'ordre de multiplicité de cette racine est la plus haute puissance de h que l'on puisse mettre en facteur dans le polynôme f{zo-{- h) ordonné suivant les puissances de h ; c'est le degré du premier terme de ce polynôme qui n'est pas nul; pour que z^ soit une racine d'ordre de multiplicité p du polynôme /(z), il faut et il suffit que ce polynôme s'annule pour z ^ Zq ainsi que ses p — i premières dérivées, et que la yp'*™" dérivée ne s'annule pas. Si l'ordre de multiplicité /?, défini comme plus haut, était égal à i , la racine ^o n'est pas multiple; elle est simple; dans ce cas la dérivée f'{^) ne s'annule pas pour z = z^^. Si Zq est une racine d'ordre de multiplicité/? pour le polynôme /(^), c'est vine racine multiple d'ordre p — i pour y (^); puisque lesp — 2 premières dérivées du polynôme y (^) s'annulent pour z = Zo, et que sa (p — i )'^'"*' dérivée ne s'annule pas ; elle est d'ordre p — 2 pour f"{z), d'ordre i (une racine simple) pour f^P~*\z): ce n'est pas une racine pour /^p^{z). On peut mettre alors le polynôme f{z) sous la forme f[z) = (z — ^o)^'f(^)? 'f{^) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour z = Zq. Réciproquement, si l'on peut mettre /(s) sous cette forme, le polynôme o(z) ne s'annulant pas pour z = Zo, on peut affirmer que Zo est une racine de/(;5), d'ordre de multiplicité/». Si ^1 est une racine de/(^)>

autre que ^01 't est une racine de ç(;), elle est du même ordre de multiplicité dans /(s) et dans ç>(;).

Si le polynôme /{^) ne s'annule pas pour z = z^, il ne s'annule pas non plus pour les valeurs de z suffisamment voisines de z^; mais on peut, d'après le numéro précédent, trouver de telles valeurs pour Jescpielles on ait

l/(-)l<l/(-So)!.

108. Considérons maintenant les valeurs de la variable qui sont grandes en valeur absolue. Pour de telles valeurs, le polynôme est lui-même très grand en valeur absolue.

Supposons, en effet, que ce polynôme soit de degré n; en l'ordonnant suivant les puissances descendantes de :; on pourra l'écrire

/{z) = BoZ"-^B,z"-^-^...-+-\in-iZ + B„

= --"[ï^oH-B,(l)-....^B„,(l)"-'-^B.(l)"].

Le polynôme entre crochets, dans le dernier membre, est un polynôme en -1 ordonné suivant les puissances de -» dans lequel le premier terme Bq n'est pas nul.

On peut choisir la valeur absolue o de z assez grande, ou la valeur

absolue - de - assez petite, pour que la différence entre le polynôme

en - qui est entre crochets et son premier terme Bo soit moindre en valeur absolue que tel nombre positif s que l'on voudra. Dans •ces conditions la valeur absolue de f(z) sera supérieure à p" (b^ — s), ■en désignant par b„ la valeur absolue de Bo, que l'on peut supposer plus grande que £. Or, il est clair que, pourvu que 0 soit assez grand, la valeur de p"(^o — ^) peut dépasser tel nombre positif que l'on voudra.

On voit, en particulier, que, lorsque le point:; est à l'extérieur d'un cercle décrit du point O comme centre avec un rayon suffisamment grand, le polynôme /{^•) ne peut pas s'annuler.