THÉORÈME FONDAMENTAL DE L'ALGÈBRE

111. La proposition connue sous ce nom peut s'énoncer sous la forme suivante :

Tout polynôme en z du rlegré n est le produit de ii facteurs du premier degré en s, à coefficients réels ou imaginaires.

La démonstration de cette proposition se ramène aisément à la démonstration de la suivante :

Tout polynôme en 2 à coefficients réels ou imaginaires admet au moins une racine réelle ou imaginaire.

Avant d'indiquer une démonstration de cette dernière proposition il convient d'en rappeler le sens précis.

Soit

f{z) = (ao-f- b^i) z^-f-Cai-HÔiO-z"-'-!-- • • -+- (««-H *„ t)

un polynôme en z du degré n dont les coefficients sont les nombres complexes aQ-\- b^i., a^-^h^i^ . . ., a,i-\-hni., «o» ci\i - • •■> ««> 6o, 6,, ..., b,i étant des nombres réels; je n'exclus pas le cas où, b^, bf, . . ., bn étant nuls, les coefficients seraient réels.

Le théorème précédent veut dire qu'il existe un nombre s, ^.r, -hiy{, ou plutôt deux nombres réels Xt, j^, tels que si l'on remplace dans f{z) z par x^ ■+- iyt, et que l'on effectue les calculs d'après les règles du Chapitre précédent, le résultat soit nul, la partie réelle et le coefficient de i étant nuls séparément.

On peut encore présenter les choses ainsi : dans /(s) remplaçons z par^p + iy, en désignant par :r ely deux variables réelles.

Le polynôme /(2) prendra la forme (n° 103)

en désignant parcp(iP,jK) et '\i(x^ y) des polynômes à deux variables réelles x,y el à coefficients réels. La proposition énoncée veut dire qu'il y a un couple de nombres réels jc,, j , qui annulent les poly-

nomes C3(:r,jv), '^(^, y) ou encore que les deux équations, à coefficients réels

admettent une solution réelle x ^= x^^ y =^ y,.

ii2. La démonstration que je donnerai de ce théorème repose sur le postulat suivant que je prierai le lecteur d'admettre : il est d'ailleurs susceptible d'une démonstration parfaitement rigoureuse : c'est un cas particulier d'une proposition beaucoup plus générale.

Soit g (^, y) un polynôme à deux variables réelles x, y et k coefficients réels; parmi les couples de valeurs (réelles) de x, y qui satisfont à la condition x'^ -\- y'^ ^K'^ ^ où R est un nombre positif donné, il y en a un a?,, y, qui fait acquérir au polynôme g{oc^ y) une valeur minimum g{Xi , y < ) • c'est-à-dire que, pour tous les couples de valeurs de X, y qui vérifient l'inégalité précédente, on a certainement

g(^uy\)'ig{^^ y)-

En d'autres termes, à l'intérieur du cercle (C) décrit de l'origine des coordonnées comme centre, avec le rayon R, ou sur la circonférence de ce cercle, il y a un point dont les coordonnées vérifient l'inégalité précédente.

La démonstration rigoureuse de ce théorème repose essentiellement sur ce qu'un polynôme est une fonction continue des variables qui y figurent : elle s'étend par conséquent aux fonctions continues autres que les polynômes. Quant au théorème lui-même, il paraît peut-être au lecteur plus évident qu'il n'est en réalité : on sentira bien la nécessité de cette démonstration que je supprime, en observant que la proposition cesserait d'être vraie si l'on remplaçait l'inégalité .r^+j^^^R^ par l'inégalité x'^^ -\- y''^ <i R^, et ce dernier point est assez clair, puisqu'il peut arriver que ce soit précisément pour un couple de valeurs j7,,jKi vérifiant la condition a;^ + JK^ = R^ [pour un point situé sur la circonférence du cercle (G)], que le polynôme atteigne la plus petite valeur possible.

Quoi qu'il en soit, si l'on admet ce postulat ( * ), la démonstration de

(') J'aurai l'occasion d'admettre plus tard la proposition analogue pour les fonctions continues aune seule variable {Introduction, p. 287).

l'existence d'une racine pour le polynôme

/{z)= {ao-+- boi)z''^ (ai + hii) z"-^ ^ . ..^ Un^ bni

repose sur ce que, dans le voisinage de chaque valeur z qui n'annule pas /(s), il y a des valeurs de z pour lesquelles on a \f{z) \ <^ \f[ Zi) \ (n°^ 105, 107).

Le postulat qu'on vient d'énoncer va être appliqué, en choisissant convenablement le cercle (C), au polynôme

OÙ C2(.r,y), '^(^7, y) sont les polynômes à coefficients réels et à variables réelles que l'on déduit du polynôme /"(:;) quand on remplace s par X -\- iy, et qu'on sépare la partie réelle et la partie imaginaire, ainsi qu'on l'a expliqué au numéro précédent : le polynôme g{x, y) représente le carré de la valeur absolue àe f{z)^ pour s = .r H- iy^ ou, si l'on veut, le carré de la distance à l'origine du point /(s). Dire qu'il y a un point, de coordonnées ^,, y^^ situé soit à l'intérieur, soit sur la circonférence de (C) tel que l'on ait g{Xi^ yi)^g[x^ y) pour tous les points de coordonnées x, y^ situés soit à l'intérieur de (G) soit sur sa circonférence, revient à dire qu'il y a un point s, = ^T) -H iy\, situé à l'intérieur ou sur la circonférence de (C), tel que l'on ait, pour tous les points s = x + iy situés à l'intérieur ou sur la circonférence de (C), \f{Zi)\^\f{z)\. Ceci posé, soit z' une valeur quelconque de z qui n'annule pas f{z)', soit P un nombre positif quelconque supérieur à \fi^z')\] soit R un nombre positif, tel que l'on ait | y*(s) | >> P, si la valeur absolue de z est égale ou supérieure à R. On a montré, au n" 108, comment, lorsqu'on se donnait le nombre P, on pouvait déterminer R. On va prendre pour le cercle (C) le cercle de rayon R, dont le centre est à l'origine. Pour tout point z situé à l'extérieur ou sur la circonférence de (C), on a i/(^)| > P; tous les points z pour lesquels on a \f{z)\ <;P sont donc à l'intérievir de (G); tels sont en particulier le point z' , les points z pour lesquels on a | /(s) |^| /(s') |, le point -g, défini plus haut; pour ce point la valeur absolue àe f{z^ ) est certainement inférieure ou égale à \f{z')\, puisque le point z' est à l'intérieur de (G). Il en résulte que /"(;;,) est nul; si, en etret,y*(5, ) n'était pas nul, il y aurait un point z pour lequel on aurait \J\z) \ < |/(st). Gette iné-

galité entraîne |/(:;) | ■< P, elle exige donc que le points soit à l'intérieur de (C); mais alors elle contredit la supposition en vertu de laquelle on a |/(s, ) I 5 I /(^) i pour tous les points z situés à l'intérieur de(C).

Il faut donc que l'on ait /"(s, ) = o, ou

et la proposition énoncée est établie.

113. On va maintenant montrer que tout polynôme du degré // à coefficients réels ou imaginaires est le produit de n facteurs de la forme z — a, où rt est un nombre réel ou imaginaire, et d'un facteur numérique égal au coefficient de s" dans le polynôme.

Soit en eft'et

f{z)= AoZ»-l- A,z"-'-l-. . . -H A„-iS + A„

le polynôme proposé. En vertu du numéro précédent il admet une racine Z| ; il est donc divisible par z — s,; le quotient est un polynôme/", (2) de degré n — i, qui commense par le terme AoS"~' ; ce polynôme y, (s) admet lui-même une racine ^2; il est divisible par z — So? et le quotient est un polynôme du degré n — 2 qui commence par le terme AoS"~-; en continuant ainsi, de proche en proche, on arrive à un polynôme fn~\ du premier degré qui commence par le terme A-o- et que l'on peut écrire Ao(s — z,,) en désignant sa racine par z„ ; la suite d'égalités

f {z) =(z — z,)fr(z), /,(z) =(z-z,)Mz),

fn-liz) = Xo(z — Znh

en remplaçant dans la première /", (z) par (z — 52)^2 (-)i P^^i* dans le résultat /2 (5) par [z — Za)f3(z), ..., entraîne l'identité

f{z) = Ao(z—Zi){z — z,)iz Zs). ..{Z — z„),

que l'on avait annoncée.

Rien ne suppose dans le raisonnement précédent que les nombres Zt, Z2, ..., -« soient distincts. Si l'on désigne par a, 6, ..., / les

nombres diflérents qu'on peut tirer de la suite 5,, ^2-, ..., 2«; si Ton suppose que a figure a fois dans cette suite, que b y figure P fois, . . . , que l y figure \ fois, on peut écrire l'identité précédente sous la forme

(I) /(2) = Ao(z - a)=^(z- b)<^... (z - l)^;

les nombres a, [3, . . ., À sont des nombres naturels; mais rien n'empêche qu'ils soient égaux à i ; on a d'ailleurs

Supposons qu'on se donne un polynôme y*( 5), c'est-à-dire qu'on se donne ses coefficients, et qu'on l'ait mis sous la forme précédente.

On voit, puisqu'un produit ne peut être nul sans qu'un de ses facteurs soit nul, que le polynôme f{z) ne peut s'annuler que pour les seuls nombres a^ b, c, . . .^ I, qui sont en nombre au plus égal à n.

On voit aussi que le polynôme f{z) ne peut être mis que d'une seule façon sous cette forme, où tout est déterminé, les nombres a, bj c, ..., /, qui sont les racines distinctes Ae f{z)^ les exposants a, (â, ..., )., dont chacun indique l'ordre de multiplicité de la racine correspondante, le facteur constant A, nécessairement égal au coefficient de s" dans le polynôme f{z).

Au reste, on pourrait invoquer encore le théorème du n" 80, sur l'impossibilité de décomposer de deux façons différentes un polynôme en un produit de facteurs premiers : ces facteurs premiers sont ici, comme on l'a dit plus haut, les polynômes du premier degré.

Un polynôme de degré n ne peut s'annuler pour plus de n valeurs distinctes de la variable.

Si l'on sait d'un polynôme en z qu'il n'est pas de degré supérieur à /i et qu'il s'annule pour plus de n valeurs distinctes de 2, on peut affirmer que tous ses coefficients sont nuls, car, si l'un de ces coefficients n'était pas nul, le polynôme serait d'un certain degré p <C n, ou bien il se réduirait à une constante, dans le cas où tous les coefficients seraient nuls, sauf le terme constant. Dans le premier cas il ne pourrait s'annuler pour plus de p valeurs distinctes de z ; dans le second cas, il ne serait jamais nul.

Deux polynômes en z du degré n au plus ne peuvent prendre des

valeurs égales pour plus de n valeurs distinctes de z sans être identiques terme à terme, puisque leur différence est un polynôme en z de degré n au plus qui s'annulerait pour plus de n valeurs de la variable. En d'autres termes, il n'existe qu'un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui prenne n + i valeurs données pour n + t valeurs données distinctes de la variable.

On a appris à former ce polynôme au n ' 67, dont les conclusions s'étendent immédiatement au cas d'un polynôme à coefficients et à variable imaginaires.

H 4. Lorsqu'un polynôme a ses coefficients réels, à chaque racine imaginaire de ce polynôme correspond une racine imaginaire conjuguée, pour laquelle Tordre de multiplicité est le même.

Soit

f{z)= Ao^"-f- A,^«-i-h...-H A„,

le polynôme donné dans lequel les coefficients Ao, A,, . . ., A„ sont réels; supposons-le, en désignant par s,, z.y, . . ., Zn ses racines, chacune étant répétée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité, mis sous la forme

dans cette identité, qui a lieu quel que soit s, regardons z comme un nombre réel; f{z) est alors un nombre réel.

Désignons par 5',, :;'.,, ..., s^j les nombres conjugués de z,, Zj, ..., Zn.

Le nombre Ao(5 — ^\) {^ — z'.-^)...{z — z'^^) est le nombre conjugué du nombre Ao(5 — s, ) (s — z.i)"-{z — 2„) (n"91) : comme le dernier nombre est réel, le premier lui est égal; l'égalité

Kq{Z — Zx){Z— Z2)...{Z — Zn)= S.o{z — Z\){Z — z',) . . .(Z — Z',^),

devant avoir lieu pour toutes les valeurs réelles de :;, est une identité en z. En d'autres termes, le polynôme f{z} peut aussi bien être mis sous la seconde forme que sous la première. Tout facteur qui se trouve dans un membre doit se trouver dans l'autre et le même nombre de fois. Cette remarque n'apprend rien pour ce qui concerne les racines réelles, identiques à leurs conjuguées. Mais si ^,, par exemple, est une racine imaginaire d'ordre de multiplicité a, c'esl-à-dire s'il y a dans le premier membre a facteurs identiques

28o rH4PITRK VII.

à z — S), il y en a le même nombre a qui sont identiques à z — s, ; en d'autres termes le polynôme admet le nombre z', , conjugué de 3(, comme racine du même ordre de multiplicité que s,.

11 est alors naturel dégrouper ensemble les facteurs qui correspondent à deux racines conjuguées a -\-bi^ a — bi; le produit

(z — a — bi){z — a-hbi) de ces deux facteurs est égal à

(z — ay-h b-= z'^— laz-^ a--h b^;

c'est le trinôme du second degré en s à coefficients réels, dont les racines sont a -+- bi, a — bi. En faisant de même pour chaque couple de racines conjuguées, on voit que tout polynôme /{z) peut se mettre sous forme d'un produit de facteurs réels; les uns sont du premier degré, ils correspondent aux racines réelles; les autres sont des trinomes du second degré à racines imaginaires; chacun d'eux a pour racines un couple de racines imaginaires conjuguées du polynôme proposé. Si, par exemple, le polynôme /{z), du degré n, à coefficients réels, admet /• racines réelles Zf , z.,, . . ., Zr et 2S racines imaginaires, conjuguées deux par deux, et si l'on désigne par

z^-hpiZ -h Çi, Z'^p-iZ -\- q-i, ..., z'^-h p^z -h qs,

les trinômes du second degré dont chacun admet comme racines un des 5 couples de racines imaginaires conjuguées, le polynôme peut se mettre sous la forme

Ao(z — Zt)(z — Z2)...(z — z,.)(z^-hpjZ + qi )(z^' -^p^z-^qi). . .(z^-\-pfZ-^qs).

Ao est toujours le coefficient de z'^ dans f{z). Ici encore, on ne suppose pas que les facteurs du premier degré ou ceux du second soient nécessairement distincts : chacun figure autant de fois qu'il y a d'unités dans l'ordre de multiplicité de la racine correspondante, si elle est réelle, dans l'ordre de multiplicité commun aux deux racines conjuguées, s'il s'agit d'un facteur du second degré.

Ici encore, tout est déterminé dans ce mode de décomposition, lorsqu'on suppose que les facteurs du second degré n'ont pas de racines réelles. Au reste, on peut encore invoquer l'impossibilité de

décomposer de deux façons un poljnome en facteurs premiers. Si l'on se place en effet au point de vue des nombres réels, si l'on ne veut considérer que des polynômes à variables réelles et à coefficients réels, il est clair que les facteurs du premier et du second degré qui figurent dans la formule précédente doivent être regardés comme des facteurs premiers.

llo. La recherche des racines d'un polynôme donné /"(.r) est identique à la recherche des solutions de l'équation /"( 3)= o, ou, comme on dit, à la résolution de cette équation.

On sait effectuer cette résolution dans le cas où l'équation est du premier ou du second degré; dans ce dernier cas, en effet, la méthode que l'on enseigne dans les Eléments s'applique, que les coefficients soient réels ou imaginaires; on a à extx-aire une racine carrée, ce que l'on a appris à faire au n° 93.

Soit par exemple à résoudre l'équation