H i)5 -f- 3 -H / = o; on trouvera

les deux racines sont

et l'on peut écrire l'identité en :;

z^ — (2 -+- i)z -+- 3 -H i =(z— I — ii){z — i -+- i).

116. On sait encore effectuer la résolution pour une équation binôme, c'est-à-dire pour une équation de la forme .r" — x\ = o, c'est le problème qui a été traité aux n"* 99, 100, etc. Bornons-nous au cas ou A est égal à i ,

Les n racines de l'équation

OU les n racines /«'«^"'s* de l'unité s'obtiennent (n" 100) en donnant

à /f, dans l'expression cos h / sin -, n valeurs consécutives.

Elles sont toutes simples, puisqu'il y en a w qui sont distinctes.

Le polynôme s" — i est donc le produit de n facteurs de la forme

tkr: . . ik',

cos t sin

OÙ k A n valeurs consécutives. On peut aussi appliquer la formule du n" 114 et obtenir une décomposition en facteurs réels. Supposons d'abord n impair; on pourra prendre pour les n valeurs du nombre A" les n nombres consécutifs

la valeur o attribuée à k fournit la seule racine réelle de l'équation proposée, savoir z = ï; d'ailleurs, à deux valeurs symétriques de k répondent deux racines conjuguées : on peut dire que la racine réelle unique de l'équation proposée est 3 = 1, et que les n — i racines imaginaires, conjuguées deux par deux, sont contenues dans la

formule

cos ± i sin ,

où k doit prendre les valeurs i , st, . . . , — ■ Le produit de deux facteurs binômes correspondant à deux racines conjuguées est d'ailleurs

2^TT\2 . ^ikTZ „ ik-ji

z — cos -t- sin^ = z^ — '2 5 cos i-I.

On a donc identiquement en s,

^2 25 cos -t- I

n /, k-!i \ /, (n — i)tt

~X\Z^ — 2ZCOS — -4- 1 . . . ( ^2 — 2-3 cos ^

ce que l'on écrit souvent sous la forme

z"^ — i=(z — i) I I ( z^ — 7.ZCOS ^ -I- I J ;

le signe FT indique qu'on doit faire le produit de facteurs qui se déduisent de l'expression écrite après ce signe, en donnant à k des valeurs consécutives, à partir de la valeur A"= i, placée au-dessous

du signe, jusqu'à la valeur /: = > placée au-dessus.

Lorsque n est pair on peut prendre pour k les valeurs

hl, -+- '^, •.•■> '. Ol 1, •••! I) — '

'î % 'i SI

les racines i et — i, qui correspondent aux valeurs o et-» sont alors réelles, les autres sont imaginaires conjuguées, et l'on peut écrire

i==(^*— i) rr { z'^— iz co's^

Le problème de la résolution des équations ou de la décomposition des polynômes en facteurs du premier degré sera repris ultérieurement; je me borne pour le moment aux exemples qui précèdent et je vais poursuivre quelques conséquences de cette décomposition supposée effectuée.

117. Quand deux polynômes /(s) et 'f(-) sont décomposés en facteurs du premier degré, on sait reconnaître immédiatement si l'un est divisible par l'autre : f{z) sera divisible par 'f(s) si tous les facteurs du premier degré qui figurent dans le polynôme © (^) figurent dans le polynôme /{z), autant de fois au moins : cette condition est nécessaire, comme on le voit de suite en s\ippossiiil/{z)=^o{z)'h(z), et le polynôme '|(^) aussi décomposé en facteurs du premier degré; elle est évidemment suffisante.

Dès lors, étant donnés deux ou plusieurs polynômes en 5, décomposés en facteurs du premier degré, on saura former soit leur plus grand commun diviseur, soit leur plus petit commun multiple.

Le plus grand commun diviseur des polynômes P, Q, R, ... sera le produit des facteurs binômes qui figurent à la fois dans tous ces polynômes, chacun étant répété autant de fois que dans celui des polynômes P, Q, R,, . . , où il est répété le plus petit nombre de fois.

284 CHAPITRE Vil.

Le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes P, Q, R, ... décomposés en facteurs du premier degré s'obtiendra en faisant le produit des différents facteurs qui figurent dans ces différents polynômes, chacun de ces facteurs étant répété autant de fois que dans le polynôme où il est répété le plus grand nombre de fois.

Les démonstrations sont identiques à celles de l'Arithmétique, pour les théorèmes analogues concernant la recherche du plus grand commun diviseur des nombres entiers décomposés en facteurs premiers : ceux-ci sont remplacés, dans la théorie qui nous occupe, par les facteurs binômes.

Par exemple, le plus grand commun diviseur des polynômes

x^{x — i)'^{x -+- i)'*{x — I — t), x^{x — \){x -\- i)^{x — I -t- i)i {x — i)''(a? 4- i)^{x — i) est

Leur plus petit commun multiple est

x^{x — iy^(x -\- i)'*{x — ï — i){x — iH- t)(a7 — i).

118. Racines multiples. — La théorie précédente permet de reconnaître la composition du plus grand commun diviseur entre un polynôme y(2) et sa dérivée et de décomposer effectivement un polynôme donné /'(z) en un produit de polynômes dont chacun n'admet plus que des racines simples.

On a vu plus haut qu'une racine s, du polynôme /(z), d'ordre de multiplicité a, est une racine de la dérivée f'{z) avec l'ordre de multiplicité a — I ; dans le cas où a est égal à i , où 2, est une racine simple de /(z), z, n'est pas racine de la dérivée. Réciproquement, si z, est une racine de la dérivée f'{z), d'ordre de multiplicité a', pour cette dérivée, et si ^, est racine de /(s), on peut affirmer qu'elle est une racine d'ordre de multiplicité a' -h i pour /(s) : en effet, si a est son ordre de multiplicité pour/(z), cet ordre de multiplicité poury'(5) doit être a — i ; on doit donc avoir a — i = a' (' ).

(') Un nombre peut être racine multiple de la dérivée d'un polynôme sans être racine de ce polynôme : ainsi le polynôme z^ — i a pour dérivée ffZ^ : o est une racine triple de cette dérivée et n'est pas racine de z* — i.

D'après cela, si un polynôme y(5) n'a que des racines simples, il n'a pas de racine commune avec sa dérivée f'{z); le plus grand commun diviseur de f{z) et de /' (z) est i. Réciproquement, si le plus grand commun diviseur d'un polynôme et de sa dérivée est i , on peut affirmer que ce polynôme n'a que des racines simples. Tel est, par exemple, le polynôme z" — i .

Si un polynôme y*( s) a des racines multiples, et si on le suppose décomposé en facteurs du premier degré, on voit que le plus grand commun diviseur de ce polynôme et de sa dérivée est formé des facteurs correspondant aux racines multiples, chaque facteur figurant une fois de moins dans le plus grand commun diviseur que dans/(2).

1 19. Supposons que le polynôme ^(5) admette des racines simples, doubles, triples, ...,/?"p''^% mais non d'ordre de multiplicité supérieur à /). Groupons ensemble les facteurs binômes qui correspondent aux racines simples, facteurs dont chacun ne figure qu'une fois dansy(s) et soit Z, leur produit; soit de même Zo le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines doubles, . .., Z^ le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines d'ordre de multiplicité/?, chacun de ces facteurs n'étant pris qu'une fois. On aura identiquement

Le polynôme /(z), tout en admettant des racines multiples, peut fort bien ne pas avoir de racines multiples de tous les ordres, comme on l'a supposé dans la formule précédente : pour que celle-ci puisse embrasser tous les cas, il suffit de convenir qu'on remplacera par l'unité celui ou ceux des facteurs Z,, Z^, . . ., qui doit manquer, Z2, par exemple, s'il n'y a pas de racines doubles.

On peut, par une suite d'opérations rationnelles effectuées en partant de f{z), déterminer chacun des polynômes Z,, Z2, ..., Z^.

En effet, d'après ce qu'on a dit plus haut, le plus grand commun diviseur entre ^(2) et sa dérivée y'(s) doit admettre comme racines simples les racines doubles dey(s), comme racines doubles les racines

a86 CHAPITRE vil.

triples de /(s), etc. Il est donc identique à Z-jZ^Z^Z^"', en continuant d'adopter la convention par laquelle un facteur qui n'existe pas dans/(2) doit être remplacé par l'unité.

Désignons par/", (2) ce plus grand commun diviseur, on a

le plus grand commun diviseur entre f\{z) et sa dérivée sera de même

et ainsi de suite. Le plus grand commun diviseur entre /p-i(z) et sa dérivée sera

fp-i(^) = ^p'i

on sera prévenu qu'il faut s'arrêter, parce que, en cherchant le plus grand commun diviseur entreyp, (z) et sa dérivée, on n'en trouvera pas, puisque le polynôme Z^ n'a pas de racines multiples. En d'autres termes l'ordre de multiplicité le plus élevé des racines de /(z) (le mombre p) sera le nombre de plus grands communs diviseurs qu'on aura eu à chercher, en comptant celui qui est égal à une constante. Les identités

/(z)=Z,ZlZl...ZP, f,(z)=Z,Zl...Z^-\

fp-2{z) — Zji^xZp,

fp-\{z)^ Zp

conduisent aux suivantes

p2(-3) = -f-;- — : — Z2Z3 . . . Zp,

fp-\{^)— 7 T— — Lp^iLp,

Jp-l{^) 'ipi^)= fp-i{^) =Zp,

puis à celles-ci

En sorte que, par suite de divisions, on trouve isolément les polynômes Z,, Z2, . . ., 7jp t, lip. Par conséquent le problème qui consiste à trouver les racines d'un poljnome peut toujours être ramené au cas où le polynôme n'a que des racines simples.

Supposons que ./(s) ait ses coefficients rationnels; il en sera de même de la dérivée f {z\ et des coefficients des polynômes qu'on obtient par une suite de divisions; dans ce cas, tous les polynômes Z<, Z2, . . ., Z^ ont leurs coefficients rationnels. Si l'un de ces polynômes se réduit au premier degré, sa racine sera donc un nombre rationnel. En d'autres termes, si un polynôme a ses coefficients rationnels, et s'il n'y a qu'une seule racine de ce polynôme à avoir un certain ordre de multiplicité, cette racine sera rationnelle.

Un polynôme du troisième degré, s'il a des racines multiples, ne peut avoir qu'une racine simple et une racine double, ou bien une racine triple : si les coefficients du polynôme sont rationnels, il en est de même de ces racines.

Un polynôme du quatrième degré, à racines multiples, peut avoir deux racines simples et une double, deux racines doubles, une racine simple et une racine triple, ou encore une racine quadruple. Si le polynôme a ses coefficients rationnels, la racine double dans le premier cas, toutes les racines dans le troisième et le quatrième cas, seront rationnelles; dans le second cas, le polynôme sera un carré parfait et il sera aisé de s'en apercevoir.

Appliquons par exemple la méthode exposée plus haut au polynôme

on trouvera que le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est

Le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est z — i. Ce dernier polynôme est premier avec sa dérivée. L'ordre de multiplicité le plus élevé est ici /? = 3, et l'on a, en employant les notations précédemment

aSS CHAPITRE VII.

expliquées,

Cpl(2)= Z, Z2Z3 = -^^ — = Z^-h Z^ — Z — I.

Zj= ; = 2-M,

/(z) = iz — \)^{z-^^z^if{z^i):

ainsi i est racine triple, les deux racines du trinôme 2^+2-1-1, à savoir

— i±tV3

sont racines doubles de/(2), — i est racine simple.

EXERCICES

100. Le point a — z est le point symétrique du point 5 par rapport au point - •

101. Lorsque t varie par valeurs réelles de o à 1, le point z^-i-tzi décrit le vecteur qui va du point Zq au point Sj ; pour quelle valeur de / le point

Zo-htZi

est-il au milieu de ce vecteur?

102. Soient (Co) et (Ci) les cercles de rayon i, dont les centres sont les points o et 1 , et ( D) la corde commune, supposée indéfinie, à ces deux cercles; en supposant que le point z décrive l'un des lieux (Go), ( Gj ), (D), quels sont

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES. -iSç)

les lieux décrits par les points

Les lignes (Cq), (Ci), (D) partagent le plan en six régions; en supposant que l'un des six points

soit dans l'une de ces régions, où sont les cinq autres?

103. La valeur absolue du rapport — est le rapport des distances du

point z aux points Zi et ^2; la valeur principale de l'argument de ce rapport est l'angle (compris entre — ir et -+- tt) sous lequel on voit du point z le vecteur qui va du point z-x au point Zi, cet angle étant regardé comme positif ou comme négatif suivant que le point z est situé d'un côté ou de l'autre de la droite qui joint les deux points Zi, Zf. Reconnaître le signe d'après la disposition de l'angle. — Où le point z doit-il se trouver pour que l'argument du rapport soit nul, égal à ±71? Quel est, en supposant fixes les points ^i et z^,

le lieu des points z tel que la valeur absolue de ^ soit constante, tel

que la valeur principale de l'argument de — soit constante?

lOi. Appelons transformé du point z le point •:' tel que l'on ait

az -\- b

en désignant par a, b, a', b' des constantes réelles ou imaginaires telles que ab' — a'b soit différent de o; appelons transformée d'une figure décrite par le point z la figure décrite par le point z'.

Quelles relations entre les distances des points z^ ^i, ^2, 23 et les distances de leurs transformées x;', z\, z'.,, z'^, quelles relations entre les angles que font entre elles les droites qui joignent le points et le point Zi aux points Zi et Z3, et les angles que font entre elles les droites qui joignent le point z' et le point z\ aux points z'^ et ^'3 résultent de la relation

On suppose que le point s décrive un cercle par rapport auquel les points ^j T. ,9

as -+- h

a' b — ab'

2gO CIIAPITHK VII.

Cl ^3 soient symétriques (*), le point transformé décrira un cercle par rapport auquel les deux points z\^ z'.^ seront symétriques. Cas particulier où le point z décrit une droite.

Quel est le transformé d'un cercle (ou d'une droite) qui passe par les trois points C], Z-}, Sj?

Les transformées de toutes les droites du plan sont des cercles ou des droites

qui passent par le point—,-- Les cercles et les droites dont les transformées

sont des droites passent par le point — ; •

Si le cercle (c') est le transformé du cercle (c), le centre du cercle (c') est le transformé du point inverse du point — — par rapport au cercle (c).

lOo. La relation

montre que, si l'on fait subir au point z une translation définie par le vecteur qui va du point o au point —■, si l'on prend le symétrique du point ainsi obtenu par rapport au cercle dont le point o est le centre et dont le rayon

, / i a' b — ab' 1 , , . , . . i, i

est 4/ > le symétrique du nouveau point par rapport a 1 axe des

abscisses, si, enfin, on fait subir au point ainsi obtenu une translation définie

par le vecteur qui va du point o au point -- » on tombe sur le point z'.

La transformation considérée conserve les angles.

106. En conservant les mêmes notations que dans les deux exercices précédents et en désignant par a, ^ les racines supposées distinctes de l'équation du second degré

monti'cr que le rapport des distances du point z' aux points a, [3 est égal au rapport des distances du point z aux mêmes points multiplié par une constante, que l'angle sous lequel on voit, du point z'. le vecteur qui va du point a au point S est égal à l'angle sous lequel on voit le même vecteur du point z, augmenté d'une constante.

') Voir la note du n" 98.

1()7. Quelles sont les propositions qui, pour les polynômes à coefficients et à variables imaginaires, correspondent aux propositions énoncées dans les exercices 18, 24, 23?

108. En désignant par a™, y des variables réelles, on suppose que '^{x^y) et '^{x^y) soient des polynômes du second degré à coefficients réels

o(a:, y )= -^x^ -1- iBxy -H Cy- -4- iDx -+■ xEy -+- F, ii{x, y)= ^S^'x^^iB'xy -h G' y- -h -jlD' x -+- 2 E' j' + F';

quelles relations doit-il y avoir entre les coefficients de ces polynômes pour que l'expression

puisse être regardée comme un polynôme en z = a: -i- iy^ à coefficients ima- «rinaires?