PR = PQ -^ QR

Fis:. 5.

où PR, PQ, QR sont les équivalents algébriques des vecteurs PR, PQ, QR situés sur l'axe X'X, dans le cas où ces vecteurs ne sont pas tous commensurables à l'unité de longueur. Cette démonstration, lorsque les nombres PK, PQ, QR sont positifs et mesurent ainsi les longueurs des segments PR, PQ, QR, résulte de ce que le segment PR est plus grand que les segments obtenus en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus petits que PQ, QR et plus petit que le segment obtenu en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus grands que PQ, QR, en sorte que le nombre qui mesure la longueur de PR doit être plus grand que la somme de deux nombres ration-

3o CHAPITRE I.

nels mesurant les longueurs de deux segments, commensurables à l'unité de longueur, respectivement plus petits que PQ, QR, .... On reconnaît la définition de la somme des deux nombres PQ, QR. La proposition, démontrée dans ce cas, s'étend ensuite, comme on le sait, à tous les autres, en examinant les diverses dispositions que peuvent avoir les points P, Q, R sur l'axe X'X.

18. Multiplication, division. — Pour définir le produit de deux nombres A et B, je supposerai d'abord que ces deux nombres soient positifs ; alors le produit AB de ces deux nombres est, par définition, un nombre positif plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs plus petits respectivement que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels plus grands que A, B.

La séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes, qui, d'après cela, définit le nombre AB, est pareille à celle qu'on a expliquée tout au long pour l'addition ; elle repose sur ce qu'un produit de deux facteurs augmente quand on augmente ces facteurs et sur ce qu'il varie très peu quand on modifie très peu les facteurs; je ne m'y arrêterai pas davantage.

Quand l'un des nombres A, B est nul, le produit AB est nul par définition.

Quand l'un ou l'autre des nombres A, B est négatif", on définit la valeur absolue du produit comme le produit des valeurs absolues de ces deux nombres, et l'on complète la définition du produit AB parla règle des signes, telle qu'on l'enseigne au début de l'Algèbre. Pour définir le produit de plusieurs nombres positifs A, B, C, ..., L rangés (ou non) dans vin certain ordre, on peut procéder comme pour l'addition, (définir ce produit tout d'un coup, ou de proche en proche. Dans le premier cas on suppose d'abord, comme pour deux facteurs, que les nombres A, B, G, . . . , L sont positifs et l'on complète la définition encore par la règle des signes.

Il est aisé de déduire des définitions les propriétés qu'expriment les égalités

(i) AB = BA,