Arrêtons-nous sur le cas où l'on prend

il correspond à cette sorte de règle divisée, dont on a parlé au début du précédent numéro.

Le plus grand nombre entier /i qui appartienne à la classe inférieure est la valeur approchée de A à une unité près, par défaut (ou la partie entière de A); elle peut être positive, nulle ou négative; dans ce dernier cas, au lieu de placer le signe — en avant, il est

(') Lorsque p est négatif et n'est pas divisible par A", n s'obtient en prenant le quotient entier de la ilivision par k de la valeur absolue de p, en augmentant d'une unité ce quotient entier et en afI'eclanL le résultat du signe — .

commode de placer le signe — au-dessus du dernier chiffre ; c'est une notation à laquelle le lecteur est sans doute habitué par l'usage des tables de logarithmes. La valeur approchée à un dixième près, par défaut, s'obtiendra en ajoutant à cette partie entière un certain nombre entier de dixièmes, 9 au plus ; on l'écrira en plaçant une virgule à la suite de la partie entière et en faisant suivre cette virgule d'un chiffre représentant le nombre de dixièmes que l'on doit ajouter à la partie entière ; le chiffre des dixièmes peut d'ailleurs être un zéro ; la valeur approchée à un centième près, par défaut, s'obtiendra en ajoutant à la valeur approchée à un dixième près un certain nombre de centièmes; on l'écrira en plaçant, à la suite de la valeur approchée à un dixième près, un chiffre représentant les centièmes, etc. On obtiendra ainsi une suite indéfinie de nombres décimaux

MO1 "il "2i • • -1

dont chacun se déduit du précédent par l'adjonction d'un chiffre de plus, dont chacun est ainsi égal ou supérieur à celui qui le précède;

c'est la suite des valeurs approchées de A, par défaut, à 1 , — , — . ...

* ^ * 10 lO'^

près. L'égalité entre deux termes consécutifs a lieu quand le dernier chiffre du second terme est un zéro. La suite des valeurs approchées

de A par excès à i, — , — , . . . près se déduit de la précédente en ^ 10 100 ^ ^

ajoutant respectivement à ses termes 1, — , — -, . . . ou, comme l'on ^ 10 100

dit, en forçant le dernier chiffre de chacun des termes, écrits sous la forme décimale. En vertu des explications données dans le numéro précédent, pour le cas général, on voit que chaque terme de la nouvelle suite est supérieur à n'importe quel terme de la première et que chaque terme de la nouvelle suite est supérieur ou égal à ceux qui viennent après lui ; l'égalité entre deux termes consécutifs de la nouvelle suite a heu quand, des deux termes correspondants de la suite des valeurs approchées par défaut, le second se termine par un 9. Les termes de la première suite appartiennent tous à la classe inférieure relative à A, les termes de la seconde appartiennent tous à la classe supérieure.

Au lieu d'écrire successivement les termes u^, w,, u,, ... de la suite des valeurs approchées par défaut à 1, à 0,1, à o,oi, . . . près, on se borne habituellement à écrire l'un de ces termes a„, en pre-

nant n suffisamment grand et en faisant suivre de points suspensifs le n'""^'^ chiffre décimal. Ainsi, pour le nombre tt que l'on définit en Géométrie, on écrira, en prenant ai = lo,

Celle notation, avec ses points suspensifs, est faite pour éveiller l'idée d'un symbole qui commencerait par les chiffres que l'on a écrits et qui se poursuivrait indéfiniment, de façon qu'en l'arrêtant à un chiffre décimal quelconque on obtînt la valeur approchée du nombre considéré A, par défaut, à une unité près de l'ordre de ce chiffre; en forçant ce chiffre, on obtiendrait la valeur approchée, par excès, à une unité près du même ordre. Un tel symbole, avec son infinité de chiffres décimaux, est ce qu'on appelle la représentation décimale du nombre A; lorsqu'on se donne la coupure qui définit ce nombre A, chaque chiffre de la représentation décimale peut être calculé quand on connaît son rang.

Il convient de remarquer qu'en allant assez loin dans la suite M4,

Mo, .... Un-, • • • des valeurs approchées de A à — » — -■, « •» — > • • ■

•" ' ' ^*^ 10 lo- 10"

près, par défaut, on finit par dépasser tel nombre a de la classe inférieure qu'on voudra ; car on peut trouver un nombre b de cette même classe qui soit plus grand que a, puis, entre a et 6, un nombre décimal ô; si le nombre S, plus grand que «, comporte n chiffres décimaux, il sera inférieur ou égal à u,i qui sera par conséquent plus grand que a, ainsi que u„j^i , Unj^>i ... ; en particulier, il y a dans la suite Ux , «2? • • '5 Uni • • • un terme plus grand que n'importe quel terme Up de cette suite qu'on voudra ; il est donc impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres qui suivent le ^"''"•= soient des zéros, car, si tous ces chiffres étaient des zéros, on aurait

Up = lli,-\-i = Up-i-^ = . . . .

On voit de la même façon que, en allant assez loin dans la suite des valeurs approchées par excès, on finit par descendre au-dessous de tel nombre de la classe supérieure qu'on voudra; que, en particulier, il y a forcément, dans cette suite, des termes qui sont plus petits que tel terme que l'on voudra; que, ainsi, il est impossible que tous les termes de cette suite, à partir de l'un d'entre eux, soient égaux; que,

enfin, il est impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres à partir de l'un d'entre eux soient des g.

J'ai supposé, dans ce qui précède, que A était irrationnel; les raisonnements s'appliquent lorsque A est rationnel; si ce n'est que, en procédant comme on l'a expliqué, il peut arriver, sous des conditions que le lecteur connaît, qu'on tombe sur une valeur approchée par défaut qui soit égale à A; les suivantes se déduisent de celles-là en la faisant suivre de zéros ; elle est la représentation décimale de A. Lorsque A ne peut pas être exactement converti en fraction décimale, sa représentation décimale est périodique, ainsi qu'on l'enseigne en Arithmétique. 11 ne peut jamais arriver que tous les chiffres de cette représentation décimale, à partir de l'un d'eux, soient des 9.

lo. Invex'sement, imaginons qu'on se donne un symbole tel que ceux qu'on vient de décrire, formé d'une partie entière, qui peut d'ailleurs être positive, nulle ou négative, suivie d'une infinité de chiffres décimaux : dire qu'on se donne un pareil symbole, c'est dire qu'on se donne le moyen d'en trouver le /^'^°'* chiffre, quel que soit n.

Tel serait par exemple le symbole

où la partie décimale est obtenue en écrivant, sans séparation, la suite naturelle des nombres.

En excluant, conformément à ce qui a été dit dans le précédent numéro, le cas où tous les chiffres à partir de l'un d'eux seraient tous des zéros ou tous des 9, je vais indiquer comment un tel symbole permet de définir une séparation des nombres rationnels en classes, séparation qui définit elle-même un nombre rationnel ou irrationnel A, dont le symbole donné est la représentation décimale.

Après le /i'*""" chiffre décimal donné, il peut y avoir quelques zéros, mais on finira par rencontrer un autre chiffre; le nombre décimal que l'on obtient en limitant le symbole après ce chiffre est alors plus grand que le nombre décimal obtenu en le limitant au n'^™*^ chiffre ; ainsi chaque nombre décimal déduit du symbole, en le limitant quelque part, est certainement surpassé par un nombre décimal obtenu en le limitant plus loin. De même, après le /i'^™*^ chiffre, il peut bien y avoir quelques 9, mais en continuant assez loin on rencontre un autre

chiffre ; en forçant ce chiffre et en s'arrètant là, on obtient un nombre décimal plus petit que le nombre décimal obtenu en forçant le /i'*""*® chiffre et en s'arrètant là.

Ces remarques faites, j'ariive à la séparation des nombres rationnels en classes, que l'on déduit du symbole donné.

On rangera dans la première classe tous les nombres rationnels inférieurs ou égaux à l'un des nombres décimaux obtenus en limitant quelque part le symbole donné et dans la seconde classe tous les nombres rationnels supérieurs ou égaux à l'un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part et en forçant le dernier chiffre.

On voit de suite que chaque nombre de la première classe est inférieur à n'importe quel nombre de la seconde classe, et qu'il y a des nombres appartenant, l'un à la seconde classe, l'autre à la première, qui diffèrent aussi peu qu'on veut.

D'autre part, il n'y a pas, dans la première classe, de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car un nombre quelconque a de celte classe est inférieur ou égal à quelqu'un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part; en limitant le symbole plus loin, on trouve un nombre plus grand et, par conséquent, plus grand que a. De même il n'y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

On serait sûr d'avoir défini une coupure et, par conséquent, un nombre A s'il était certain que la classification précédente n'a laissé échapper aucun nombre rationnel.

Or, si un nombre rationnel échappe à cette classification, c'est qu'il est, d'une part, plus grand que tous les nombres qui figurent dans la première classe, d'autre part, plus petit que tous ceux qui figurent dans la seconde : il est alors seul de son espèce, car, s'il y avait deux tels nombres a, Jii(a-< |5i), la diff'é'^ence entre un nombre de la seconde classe et un nombre de la première serait toujours supérieure

Si un nombre rationnel échappe à la classification, on a affaire à une séparation de tous les nombres rationnels en trois classes, telle qu'elle a été décrite au n" i^; le nombre rationnel unique qui échappe à la classification constitue précisément la classe intermédiaire : c'est lui qui est défini par la séparation précédente. Désignons-le par A. Puisque A

est compris entre le nombre décimal obtenu en limitant le sjmbole donné au /i'*""'" chilïre décimal, et le même nombre dont on a forcé le dernier chiffre, ces deux nombres décimaux sont les valeurs approchées de A., par défaut et par excès, à — - près ; le symbole donné est

donc la représentation décimale du nombre rationnel A; le symbole donné ne peut être que la fraction décimale périodique dont A est la fraction génératrice.

Si aucun nombre rationnel n'échappe à la classification, on a bien affaire à une coupure proprement dite. Cette coupure définit un nombre irrationnel A, puisqu'elle appartient au type I et, dans ce cas encore, ^on voit de suite que le symbole donné est la représentation décimale de A.

Le mode de raisonnement qu'on vient d'employer se rencontre assez fréquemment; en y réfléchissant un peu, le lecteur apercevra ce qu'il comporte d'essentiel, à savoir, les deux ensembles de nombres formés, dans ce cas particulier, l'un par les nombres décimaux déduits du symbole proposé en le limitant quelque part, l'autre par ces mêmes nombres dont on a forcé le dernier chiffre ; tout nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second; il y a des nombres pris respectivement dans les deux ensembles qui diffèrent aussi peu qu'on le veut : la coupure est formée en considérant d'une part les nombres rationnels inférieurs ou égaux aux éléments du premier ensemble, d'autre part les nombres rationnels supérieurs ou égaux aux éléments du second ensemble. On touche ici à une théorie très importante, celle des ensembles infinis, dans laquelle je ne pénétrerai pas davantage.

Il est à peine utile de pai4er des deux cas exclus au commencement du numéro. Si, dans le symbole donné, à partir d'un certain chitlre décimal, tous les chiffres sont des zéros, on ne tiendra aucun compte de ces zéros; on obtient ainsi un nombre décimal limité; c'est ce nombre que définit le symbole donné et dont ce symbole est la représentation décimale. Si tous les chiffres, à partir d'un certain rang, étaient des 9, comme dans le symbole 0,36999..., on reconnaît de suite que les termes de la suite indéfinie

0,369; 0,3699: 0,36999; ••• s'approchent autant qu'on veut, pourvu qu'on aille assez loin dans

cette suite, du nombre o, 3-, obtenu en forçant le dernier des ohifTres décimaux du symbole qui n'est pas un 9; c'est ce qu'on exprime en disant que cette suite a le nombre o, S-j pour limite : on pourrait bien dire qu'elle définit ce nombre; mais alors il ne serait plus exact de dire que le symbole, en le h'mitant au /r''""' chiffre décimal, fournit la valeur approchée, par défaut, du nombre o,3^ qu'il définit : le symbole donné ne serait plus la représentation décimale du nombre qu'il définit. Aussi convient-il d'exclure complètement les symboles de cette sorte.

16. Égalité, inégalité des nombres irrationnels. — Ni l'égalité ou l'inégalité de deux nombres irrationnels, ni leur somme, leur différence, etc., n'ont encore été définies. Dans une exposition purement logique, toutes ces notions doivent être reprises l'une après l'autre, en s'appuyant uniquement sur cette notion de coupure qui sert à définir un nombre irrationnel (' ); je ne toucherai que quelques points de cette théorie, de manière à faire comprendre comment elle peut se développer, et je ne craindrai pas d'avoir recours, au besoin, à l'intuition géométrique qui résulte de la représentation, sur l'axe X'X, des nombres rationnels ou non.

.Je me placerai, dans ce qui suit, au point de vue du n° 12, où la définition d'un nombre A est obtenue par la séparation de tous les nombres rationnels en deux classes, s'il s'agit d'un nombre irrationnel, en trois classes, s'il s'agit d'un nombre rationnel. Je pourrai ainsi raisonner à la fois sur les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Deux nombres A, B sont dits égaux quand leur définition est la même, quand les deux ou trois classes qui définissent l'un sont composées respectivement des mêmes nombres rationnels que les deux ou trois classes qui définissent l'autre. Ils sont le même nombre, ce que l'on marque en écrivant A^ B. Ils sont représentés, sur l'axe X'X, par le même point, dont l'un ou l'autre est l'abscisse. Inversement, on a vu qu'à un point de cet axe ne correspond qu'un seul nombre,

(' ) C'est dans ce sens qu'elle est développée dans le premier Chapitre de mon Introduction à la Théorie des fonctions, >* édition, t. I, A. Hermann, 1904 J'aurai plusieurs fois à renvoyer le lecteur à cet Ouvrage, où les démonstrations sont présentées à un autre point de vue que dans les présentes Leçons. Ces renvois seront faits sous la rubrique : Intr.

NOMBRKS IRRATIONNELS. 25

son abscisse. Lorsque deux nombres sont égaux ils ont même représentation décimale : réciproquement, quand les représentations décimales de deux nombres sont les mêmes, ces deux nombres sont égaux.

Lorsque la définition des nombres A et B n'est pas la même, c'est que les classes qui définissent l'un des nombres ne sont pas les mêmes que celles qui définissent l'autre, que les points de l'axe X'X dont ces nombres sont les abscisses respectives ne sont pas les mêmes.

J'introduis ici la convention commode d'employer le même symbole, numérique ou littéral, pour désigner à la fois un nombre et le point de l'axe X'X dont ce nombre est l'abscisse. En mettant le mot nombre ou le mot point devant ce symbole, on évite toute confusion.

Si les deux nombres A, B ne sont pas égaux, c'est que les deux points A, B ne coïncident pas; l'un de ces points, B par exemple, est au delà de l'autre A; on dit alors que le nombre B est plus grand

FiK. 3.

que le nombre A, que le nombre A est plus petit que le nombre B, et l'on écrit B ^ A ou A < B; il y a entre les points A, B des points d'abscisse rationnelle; si a est un tel point, on voit que le nombre rationnel a appartient à la classe supérieure relative à A, à la classe inférieure relative à B ; réciproquement, s'il existe un tel nombre, le point dont il est l'abscisse est à droite du point A, à gauche du point B; le point B est à droite de A, le nombre B est plus grand que le nombre A. L'existence d'un nombre rationnel plus grand que le nombre A, plus petit que le nombre B, peut donc être prise pour la définition abstraite (') de l'inégalité B>A. Les inégalités B>> A, C>»B entraînent G>> A, car le point B étant à droite du point A, le point G étant à droite du point B, il faut bien que le point G soit à droite du point A.

Un nombre est &{{. positif s'A est plus grand que zéro, négatif ?>^\\ est plus petit que zéro; les nombres positifs sont représentés par des

(') C'est sur celte défînilion abstraite que, logiquement, la théorie de l'inégalité doit être fondée {Jntr., p. 17).

points situés à droite du point O ; les nombres négatifs, par des points situés à gauche du point O.

Fig. 4.

A tout point de l'axe correspond un point A.', symétrique de A par rapport au point O. Les nombres A et A' sont dits symétriques ('); chacun d'eux est le symétrique de l'autre ; le nombre zéro doit être regardé comme son propre symétrique. I3es deux nombres A, A', s'ils ne sont pas nuls tous deux, l'un est positif, l'autre est négatif.

Si A désigne un nombre, on convient de représenter par + A le même nombre que A, par — A le symétrique de A.

Si le nombre A est défini par une coupure, il est bien aisé de voir quelle est la coupure qui définit le nombre symétrique A' : les nombres rationnels plus petits que A' sont les nombres rationnels plus grands que A changés de signe; les nombres rationnels plvis grands que A' sont les nombres rationnels plus petits que A, également changés de signe; cette remarque contient évidemment la définition abstraite de deux nombres symétriques.

Celui des deux nombres A, — A qui est positif peut être regardé comme la valeur absolue commune à ces deux nombres.

17. Addition, soustraction. — Soient A, B deux nombres quelconques; la somme A + B de ces deux nombres est, par définition, un nombre plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus grands que A, B.

Voici comment on doit pratiquer la séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes qui définit cette somme au sens du n° H.

On range dans une première classe tout nombre rationnel égal ou inférieur à la somme de deux nombres rationnels, respectivement plus petits que A et

(') On dit plus souvent égaux et de signes contraires : outre qu'elle est longue, celte façon de parler est contradictoire; si deux nombres sont égaux, ils ne sont pas de signes contraires. Il faudrait, pour la rendre correcte, l'allonger encore et dire égaux en valeur absolue et de signes contraires. Enfin on verra plus loin qu'elle ne peut s'appliquer aux nombres imaginaires, qui n'ont pas de signe.

que B; dans une seconde classe tout nombre rationnel égal ou supérieur à la somme de deux nombres, respectivement plus grands que A et que B. Il est clair que chaque nombre de la première classe est inférieur à n'importe [quel nombre de la seconde classe.

Il n'y a pas, dans la première [classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car, si le nombre c a été rangé dans la première classe, c'est qu'il est inférieur ou égal à la somme de deux nombres rationnels a, 6, respectivement plus petits que A, B; or, dans la classe inférieure relative à A, il y a un nombre rationnel a! plus grand que a, dans la classe inférieure relative à B, il y a un nombre rationnel b' plus grand que b\ leur somme a' -H 6' a dû être rangée dans la première classe de notre classification : or, elle est plus grande que a -+- 6 et, par suite que c. De même, il n'y a pas, dans la seconde classe, dénombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

Enfin il y a des nombres pris respectivement dans la première et dans la seconde classe, qui diffèrent aussi peu qu'on le veut : si l'on veut avoir deux pareils nombres, dont la différence soit moindre que e, il suffira de choisir deux nombres rationnels « et ai, l'un plus petit, l'autre plus grand que A et tels

que l'on ait «i — a < '-t puis deux nombres rationnels 6, b^ l'un plus petit,

l'autre plus grand que B et tels que l'on ait 6, — 6 < -; a -i- 6 appartiendra à la

première classe, ai-i-èi à la seconde, et l'on aura (ai-r-6i) — (a-f-6)<£.

D'après cela, il ne peut échapper qu'un seul nombre rationnel à notre classification : en effet, un nombre rationnel a qui échappe à cette classification est forcément plus igrand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B, c'est-à-dire que n'importe quel nombre de la première classe, et plus petit que n'importe quel nombre de la seconde classe; il ne peut donc y avoir deux nombres rationnels a, ^ (a <[ ^) qui échappent à la classification, puisque alors la différence entre un nombre de la seconde classe (plus grand que ^) et un nombre de la première (plus petit que a) devrait être supérieure à ^ — a.

S'il n'échappe aucun nombre à la classification, celle-ci définit une coupure du type I, c'est-à-dire un nombre irrationnel, qui satisfait manifestement à la définition de la somme qu'on a donnée au début.

S'il échappe un seul nombre rationnel à cette classification, c'est ce nombre rationnel lui-même qui est la somme des nombres A, B. On est dans le cas de la séparation en trois classes.

La définition adoptée pour la somme de deux nombres A, B s'étend de suite à la somme d'autant de nombres A, B, C, . . ., L que l'on voudra. Celle-ci est plus grande que la somme de nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B, C, ..., L, et plus petite que la somme de nombres rationnels quelconques, respectivement plus grands que A, B, C, ..., L.

28 CHAPITRK I.

Que cette condition définisse une séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes (n" 12), c'est-à-dire un nombre irrationnel ou rationnel, c'est ce qui résulte évidemnient des raisonnements employés pour le cas de deux nombres.

11 résulte de cette définition, et de ce fait que la somme de plusieurs nombres rationnels ne dépend pas de l'ordre de ces nombres, que la somme des nombres A, B, G, . . ., L ne dépend pas non plus de leur ordre, puisque, quel que soit cet ordre, les classes inférieure ou supérieure relatives à la somme seront constituées de la même façon.

Au lieu de définir tout d'un coup la somme des nombres A, B, ...,L, on peut les supposer rangés dans un certain ordre, ajouter le second au premier, le troisième au résultat, le quatrième au nouveau résultat, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les nombres. En se reportant au cas de deux nombres, on reconnaît de suite que la somme, ainsi définie, satisfait à la condition imposée par la première définition, en sorte que les deux définitions s )nt équivalentes.

Comme on peut amener aux premiers rangs tels termes de la somme que l'on veut, et que, d'après la seconde définition, on doit, pour effectuer la somme, ajouter d'abord entre eux ces premiers termes, on voit que, dans une somme quelconque, on peut remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée.

Pour figurer la somme de nombres représentés par des lettres ou des symboles quelconques, rangés dans un ordre déterminé, on commence par placer le signe -+- devant ceux de ces symboles qui n'ont pas de signe apparent, et l'on écrit les uns à la suite des autres ces symboles ainsi affectés de signes : toutefois l'habitude est de supprimer le signe qui précède le premier symbole, si c'est un signe -+- . Ainsi A — B H- G représente la somme obtenue en ajoutant à A le nombre — B, puis le nombre G au résultat.

Les propriétés fondamentales de l'addition peuvent être résumées dans les formules suivantes :

(2) ' A+(B +-G) =(A-HB)-f-G.

(3) Ah-o=A, ' ■

Les deux premières se trouvent avoir été détnontrées par ce qui précède : elle constituent ce que l'on appelle la propriété commutative et la propriété associative de l'addition.

En les admettant, et en regardant une somme d'un nombre quelconque de termes comme obtenue en ajoutant le second au premier, le troisième au résultat, etc., elles suffisent à montrer que, dans une pareille somme, on peut intervertir l'ordre des deux premiers termes, des deux derniers, de deux termes consécutifs; qu'on peut ranger les termes dans l'ordre qu'on veut, remplacer enfin tels termes que l'on veut par leur somme effectuée. A cause des égalités (3) et (4), qui se démontrent sans peine en recourant aux définitions, on peut, dans une somme quelconque, supprimer des termes dont la somme est nulle et, en particulier, deux termes symétriques.

Deux nombres A et B étant donnés, la différence entre le nombre A et le nombre B est, par définition, un nombre ,r tel que l'on ait

Supposons que ce nombre x existe, en ajoutant — B aux deux membres de l'égalité précédente, on voit qu'on doit avoir

or, le premier membre est égal à x^ d'après les remarques précédentes; le nombres, s'il existe, est la somme du nombre A et du symétrique — B du nombre B; d'ailleurs, si l'on ajoute B à cette somme A — B, elle devient A — B -|- B ou A, en vertu des mêmes remarques; le nombre .r existe, il est unique, et égal à A — B; ce dernier symbole représente aussi bien la différence entre A et B que la somme de A et de — B.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer l'égalité