ARRANGEMENTS, ETC

faisant /?:=/?. il est

Ce nombre augmente rapidement avec n\ il est égal à 8628800 pour /7 = 10; ainsi il y a plus de trois millions de manières de ranger jo objets sur une même ligne. Le nombre 100! comporterait i58 chiffres.

121. Les groupes de p lettres distinctes prises parmi n lettres données, quand, pour chaque groupe, on ne tientpas compte de Tordre mais seulement de la nature des lettres qui j figurent, s'appellent les combinaisons des n lettres prises p à />, ou les combinaisons p 'a p des n lettres. Chaque groupe est une combinaison p Àp; on dit aussi wvi produit différent p -A p, parce que ce groupe peut s'écrire comme un produit et qu'un produit ne dépend pas de l'ordre des facteurs.

Je désignerai par C" le nombre des combinaisons distinctes des n lettres prises p ^ p.

Dans le tableau des arrangements de /i objets /> à /> figurent évidemment les combinaisons p k p] chaque combinaison se trouve même répétée autant de fois qu'il y a de manières de ranger les p objets qui la constituent, c'est-à-dire 1 . 2 . 3 . . . /? fois; les deux nombres A'^, C" sont donc liés par la relation i .2.3.../>C^^ A^: d'où l'on déduit, en se reportant à la valeur de A"

C " = "(" — !)• ••(« — />--[) ^ '' l . J,. . . fJ

Le nombre C" figure comme coefficient numérique dans la formule du binôme : la définition qu'on vient d'en donner montre qu'il est essentiellement entier (n" 43).

A chaque combinaison formée avec/? des n objets considérés correspond évidemment la combinaison formée avec n — p objets qui n'y figurent pas; on doit donc avoir C"= C^^p. C'est ce qu'on a déjà vu au n" 43.

En adoptant la définition précédente de C", la formule C^= G" , n'a de sens que si/? est au moins égal à i et au plus égal k n — i . Elle subsiste pour p ^ o oup = n en convenant de prendre G'^ = i (n" 43).

Pour former effectivement le tableau des combinaisons de n objets

p à/?, il serait assez fastidieux de former les arrangements/» à p. On peut procéder autrement.

Supposons formées les C" combinaisons/) à/> des /i objets a^b^ .,.^1. Parmi ces combinaisons, les unes ne contiennent pas l'objet a, par exemple : ce sont évidemment les C""* combinaisons /j à/? des objets A, c, . . ., /, autres que a. Les autres contiennent «; si l'on supprime l'objet «, il reste évidemment les combinaisons de n — i objets by ' c, . . ., / pris/? — I à /> — I : en formant ces combinaisons en nombre G^l{ , et en j introduisant la lettre «, puis en leur adjoignant les C^~^ combinaisons /> à /> des objets 6, c, ..., k on obtiendra les G" combinaisons cherchées.

On peut d'ailleurs se borner à former les combinaisons/? à^ pour

lesquelles p est au plus égal à - • Si l'on avait /?> -> il serait, en

effet, plus facile, pour former les combinaisons /> à /?, de former d'abord les combinaisons n — /? à 11 — />, puis de remplacer chacune de ces combinaisons par la combinaison des p objets qui y manquent. Par exemple, si l'on veut former les C.'î =6 combinaisons des quatre objets a, />, c, cl deux à deux, on mettra la lettre a avant les combinaisons b, c, cl des trois objets b, c, c?, autres que «, pris un à un ; ou obtiendra ainsi les combinaisons cib^ ac, ad; on leur adjoindra lestrois combinaisons des mêmes objets b, c, d pris deux à deux; à l'une doit manquer b, à l'autre c, à l'autre cl] elles sont cd, bd^ bc. Les six combinaisons cherchées sont

«6, ac, ad, cd, bd, bc.

Quant aux G.j = 4 combinaisons des objets a, b, c, d trois à trois,, on peut les écrire immédiatement : l'une ne contient pas «, une autre ne contient pas ^, etc. : elles sont bcd^ acd^ abd, abc. L'unique com- J)inaison des quatre lettres «, b^ c, d quatre à quatre est abcd.

La façon même dont on vient d'expliquer la formation des combinaisons de n objets/? à/?, met en évidence la relation (n" 13)

cj^=g;;;}-4-c;;-i.

122. Le mot permutation est pris quelquefois dans un sens un peu différent de celui qu'on a indiqué au n° 120; c'est ce qui arrive, quand on parle à^ effectuer une pennutalion.