ARRANGEMENTS, ETC

Considérons a objets distincts «,, «o, • • ••« «« qui figurent en totalilé ou en partie dans une ou plusieurs expressions quelconques; si rt, , «!,, ..., rt'„ désignent ces mêmes objets rangés dans un certain ordre, remplacer dans ces expressions <7, par a\^ a-, par a'.,, ..., a„ par a„ s'appelle effectuer une permutation : l'acte lui-même prend aussi le nom de permutation, une telle permutation s'exprime d'une façon claire en écrivant sur une ligne horizontale les objets a,, «2, . . ., an et au-dessous de chacun d'eux l'objet qui doit le remplacer :

Va'i, a.;, . .., rt,'t.

L'ordre dans lequel sont inscrits les objets «,, «o, . . ., «„ n'importe pas, ce qui importe, c'est la correspondance entre l'objet supérieur et l'objet placé au-dessous, qui doit le remplacer.

La permutation inverse Ae la précédente consisterait à remplacera', par «,, rt', par «o, . . ., a'^^ par «„.

Pour former chacun des symboles possibles de permutations, dans le sens que l'on vient d'expliquer, on écrira sur une ligne horizontale les objets «), «o? •••,«,•: rangés de toutes les manières possibles; puis au-dessus de chaque arrangement les mêmes lettres rangées dans un ordre arbitraire, mais toujours le même. On obtiendra ainsi i.2.3.../i symboles.

Par exemple, tous les symboles de permutation pour les trois lettres a, b., c seront

rt, 6, c\ /a. b, c\ /rt, b, c

\a,c,bj \c,b,aj \6, «,c/

Parmi ces symboles il y en a un qui signifie l'action de remplacer a par a, b par b, c par c : c'est ce qu'on appelle la permutation identique, par laquelle rien n'est changé.

Si Ion a dressé le tableau des arrangements, ou des combinaisons, p d p de n objets distincts quelconques, puis que l'on efTectue, sur chacun de ces arrangements ou de ces combinaisons, une permutation quelconque, il est clair que le tableau ne sera pas changé dans son ensemble. En elfet, tous les arrangements étaient distincts avant qu'on

298 CIIAPITIIE VIII.

efTectuâl la permutation, ils le resteront après : naturellement, si ces arrangements étaient placés dans un certain ordre, cet ordre sera modifié par la permutation.

Parmi les permutations, il convient de distinguer les permutations circulaires : les objets «,, a-^^ ..., a,i étant rangés dans un certain ordre, une permutation circulaire effectuée sur ces objets consiste à remplacer le premier par le second, le second par le troisième, etc., l'avant-dernier par le dernier, le dernier par le premier.

Au lieu du symbole

«1, «25 ^3) • • • 1 d/l-li ^11 a-^i «:), «4, . . . , «/,, «1

qui, d'après les conventions précédentes, devrait représenter une telle permutation, on emploie souvent le symbole

avec le même sens. C'est l'ordre seul dans lequel sont rangés les éléments qui importe dans ce derni«^r symbole, non l'élément qui figure le premier. Ainsi, s'il s'agit de trois éléments a,, «o? «35 les trois symboles

(ai, «2, «3), («2, «3, «^i), («3, «i,«2)

ont le même sens.

Jl peut être commode de se figvirer les objets «,, «27 • • -j ^« rangés sur un cercle sur lequel on a choisi un sens de parcours^ placés par exemple aux sommets d'un polygone régulier de n côtés. Alors il n'y a plus ni premierobjet ni dernier, et la permutation circulaire revient à remplacer chaque objet par le suivant.

Enfin, parmi les permutations circulaires, il convient de signaler la plus simple, celle qui porte sur deux éléments seulement a,, «2 5 elle consiste à remplacer «i par ao et «o par ^\ '■, il n'y a évidemment pas, comme dans les permutations circulaires qui portent surplus de deux éléments, à tenir compte d'un ordre quelconque attribué aux éléments a,, a^', on donne souvent le nom de transpositions aux permutations de cette sorte : la transposition qui porte sur les éléments «(, a-2 se représente par le symbole («<, rto) ou («25 «i)-

Etant données deux permutations de n objets distincts au sens du

AHRANGEMENTS, ETC. 299

n' 120, c'est-à-dire deux arrangements n k n de ces n objets, on peut passer de l'une à l'autre par une suite de transpositions, puisque, par une transposition, on peut amener un objet quelconque à la place qu'il doit occuper. On peut parvenir au même résultat en ne faisant jamais que des transpositions qui portent sur deux éléments consécutifs de l'arrangement auquel on est parvenu : c'est là une observation que l'on fait déjà dans les éléments de l'Arithmétique lorsqu'on veut prouver que, dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir comme on veut l'ordre de ces facteurs.

Par exemple, pour passer de l'arrangement i, 2, 3, 4 à l'arrangement 2, 4? 3, I ; on peut effectuer successivement les transpositions (i, 2), (i, 4)7 ce qui donne successivement les arrangements

ou les transpositions successives (i, 2), (3, 4), (i, 4)? (ï? ■^)^ ce qui donne les arrangements successifs

Pour arriver au même arrangement 2, 4? 3, i en partant du même arrangement i, 2, 3, 4? on a fait dans le premier cas deux transpositions successives, quatre dans le second.

On voit que pour effectuer la permutation

qui consiste à remplacer i par 2, 2 par 4, à laisser 3, à remplacer 4 par I, on peut transposer d'abord les éléments i et 2, puis les éléments 1, 4) ou bien transposer d'abord les éléments i et 2, puis les éléments 3 et 4, puis les éléments i et 4, puis les éléments i et 3.

Pour effectuer une permutation quelconque on peut effectuer une suite de transpositions.

Par exemple encore, la permutation circulaire (i , 2, 3, 4? 5) revient à la suite de transpositions (i, 2), (i, 3), (i, 4)? (i> 5)- En général une permutation circulaire, portant sur n éléments, équivaut à une suite de n — i transpositions.

123. Étant donné un arrangement quelconque ciia-;,. . •ciii-K^f-n de n objets, la transposition qui consiste à échanger les deux éléments

3oo ciiAPiTRic vrii.

extrêmes et qui conduit ainsi à l'arrangement auO,. . .a„xax revient à une suite de -m — 3 transpositions, dont chacune porte sur deux éléments consécutifs de l'arrangement auquel on vient de parvenir, à savoir d'abord les /i — i transpositions («,, «o), («i 5 «3)5 •••5 («),'^«t)> («,, a,i) qui amènent successivement l'élément «t, à la seconde, à la troisième, etc., à la dernière place, en sorte qu'après avoir effectué ces transpositions successives on est parvenu à l'arrangement

puis les u — 2 transpositions successives, (a,i, a,i i), (a„, a„2)y [a„i 0,2) qwi amènent l'élément a„ de l'avant-dernière place à la précédente et, finalement, à la première. Les n — i premières transpositions équivalent à la permutation circulaire

Si l'on effectue maintenant une transposition quelconque dans un arrangement, on voit que cette transposition équivaudra toujours à un nombre impair de transpositions portant, chaque fois, sur deux éléments consécutifs de l'arrangement auquel on vient de parvenir. 11 suffit de négliger, par la pensée, les objets qui précèdent le premier des objets que l'on transpose et ceux qui suivent le second : on est ramené au cas précédent.

124. Considérons n objets distincts auxquels on attribue un ordre naturel; par exemple, n numéros différents dont on dira qu'ils sont rangés dans Tordre naturel, s'ils sont rangés par ordre de grandeur croissante, ou n lettres dont on dira qu'elles sont rangées dans l'ordre naturel, si elles sont rangées dans l'ordre alphabétique. Je raisonnerai en supposant qu'il s'agisse de n numéros distincts.

Si, dans un arrangement quelconque de ces numéros, qu'on lit, suivant l'habitude, de gauche à droite, on considère deux d'entre eux, le premier que l'on rencontre peut être le plus petit, ou le plus grand; dans le premier cas on dit que, dans l'arrangement considéré, les deux numéros ne présentent pas d'inversion; dans le second cas, on dit qu'ils présentent une inversion. On dit aussi que l'arrangement ne comporte pas d'inversion, ou comporte une inversion relativement à ce couple de numéros. Le nombre total d'inversions que

ARRANGEMENTS, ETC. 3o l

comporte l'arrangement est le nombre de couples de numéros qui présentent une inversion.

Pour compter ce nombre d'inversions, on procédera comme il suit: on partira du premier élément (à gauche) de l'arrangement, et l'on comptera les inversions qu'il peut présenter avec le second, le troisième, etc., le dernier élément; on passera ensuite au second élément et l'on comptera le nombre d'inversions qu'il présente avec le troisième, le quatrième, etc., le dernier élément, etc.; enfin on examinera si l'avanl-dernier élément et le dernier présentent une inversion : la somme de tous les nombres ainsi obtenus est le nombre total d'inversions présenté par l'arrangement.

Considérons par exemple l'arrangement 5, 3, 2, c, 4, 6, le premier élément 5 présente une inversion avec chacun des éléments 3, 2, I, 4 qui le suivent; il n'en présente pas avec 6; le second élément 3 présente une inversion avec 2, i; le troisième élément 2 présente une inversion avec i; aucun des éléments i, 4 ne présente d'inversion avec ceux qui le suivent; on a en tout 4 + 2H-i-|-o-i-o=:- inversions.

L'arrangement (1, 2, 3, ..., n) ne comporte aucune inversion: l'arrangement (/i, n — i , . . ., 3, 2, 1) comporte

inversions; c'est évidemment l'arrangement de n nombres qui comporte le plus d'inversions.

125. Convenons de dire qu'un arrangement est de première classe s'il comporte o ou un nombre pair d'inversions, qu'il est de seconde classe s'il présente un nombre impair d'inversions.

Un arrangement change de classe quand on effectue une transposition entre deux éléments de cet arrangement.

Par exemple l'arrangement 5, 3, 2, 1,4?^ est de seconde classe; transposons les éléments 3, 4? on obtiendra l'arrangement 5, 4, 2, 1,3,6 et, en comptant les inversions d'après la règle du numéro précédent, on en trouve 4 + 3 H- i = 8 ; le nouvel arrangement est de première classe.

La proposition est évidente quand on transpose deux éléments consécutifs; en effet, on ne modifie pas alors les inversions que ces deux

3o-2 CHAPITRE VIII.

éléments présentent, soit avec les éléments qui précèdent leur couple, soit avec ceux qui le suivent. Si dans l'arrangement considéré le premier élément du couple était plus grand que le second, il y avait, de ce fait, une inversion qu'on supprime par la transposition; au contraire, si les deux éléments du couple ne présentaient pas d'inversion, la transposition en introduit évidemment une. Dans les deux cas le nombre d'inversions est modifié d'une unité, l'arrangement a changé de classe.

Supposons que les deux éléments qu'on transpose ne soient pas consécutifs ; on a vu plus haut que leur transposition équivaut à un nombre impair de transpositions, elFec tuées chaque fois sur deux éléments consécutifs de l'arrangement auquel on vient de parvenir; par chaque transposition, l'arrangement a changé de classe; il a changé un nombre impair de fois, il a finalement changé de classe.

Il résulte immédiatement de là que, si l'on considère les n\ arrangements possibles n à n des n numéros i, 2, 3, . . ., /?, il j a autant d'arrangements de la première classe que d'arrangements de la seconde classe. Car, si l'on suppose les arrangements distribués dans les deux classes et que l'on effectue une transposition quelconque, l'ensemble de tous ces arrangements ne sera pas changé par cette transposition; mais elle fera passer les arrangements de la première classe dans la seconde, ceux de la seconde dans la première : or il doit j avoir maintenant autant d'arrangements dans la première classe, ou dans la seconde, qu'auparavant.

On a vu au n" 123 qu'on pouvait passer d'un arrangement de n numéros n k n k un autre de ces arrangements par une suite de transpositions. Gela peut se faire d'une infinité de façons; mais, de quelque façon que l'on opère, le nombre de transpositions que l'on effectue conserve la même parité. Il est pair si les deux arrangements sont de même classe, impair s'ils sont de classe différente.

Considérons un arrangement (n à n) a\ a> . . . a,i des n numéros I, 2, . . ., II. Si, de cet arrangement, on supprime le premier élément rt,, comment sera modifié le nombre d'inversions?

11 y a, dans l'arrangement, «, — i numéros plus petits que «), à savoir les numéros i, 2, 3, . . ., «j — i ; ils sont tous placés après a, ; avec chacun d'eux a, présente une inversion, et toutes ces inversions ont disparu de l'arrangement a^a^. . .«„. On a donc supprimé «i — i inversions.

ARRANGEMENTS, ETC. 3o3

126. Si l'on considère un polynôme à n variables a:,, x-î-, • . ., x„ et si l'on effectue sur ces variables les n\ permutations possibles, v compris la permutation identique, qui laisse le polynôme tel qu'il était, divers cas peuvent se présenter. Il peut se faire que les Ji\ permutations conduisent à des polynômes qui soient tous distincts: c'est ce qui arrive, par exemple, pour le polynôme

si ses coefficients a,, «a? • • •tCin sont tous différents, ou encore pour le monôme j:^'^:*^. . .x*", si tous les exposants sont différents.

Il peut se faire, au contraire, que tous les polynômes auxquels on parvient ainsi soient identiques ; ce serait le cas pour le polynôme

ou pour le monôme

XiXi .. .Xn-

S'il en est ainsi le polynôme est dit symétrique par rapport aux variables :r,, x-y, . . ., x,i.

Pour reconnaître qu'un polynôme en ^,, Xo, . . ., x,i (dans lequel je suppose qu'on ait effectué la réduction des termes semblables) est symétrique par rapport à ces variables, il suffît de constater que le polynôme reste identique à lui-même quand on transpose dïeux quelconques des variables, puisqu'une permutation quelconque peut toujours être remplacée par une suite de transpositions.

On a remarqué plus haut que l'ensemble des combinaisons/? à p de /i objets ne changeait pas quand on effectuait sur ces combinaisons un arrangement quelconque; en supposant que ces objets soient les variables Xi,X2, ..., ^«, chaque combinaison p k p peut être regardée comme le produit de p de ces variables; il est clair, d'après cela, que la somme des G" produits différents, p à p, des n variables x,, Xo, ..., x„ constitue un polynôme symétrique par rapport à ces n variables. Les polynômes que l'on peut ainsi former, à savoir

Xx-+- Xi-{-X3-\-. ..-{- Xn,

Xia;i'+- XiX:i-h. . .-h x,i-ix,„

XiX,X3-{- X^XiX;-^. . .-}- X„-,Xii-lXn,

XiX^X^ , . . X II ,

3o4 CHAPITRE VIII.

sont au nombre de /i, on leur donne le nom àe fonctions symétriques élémentaires des variables X|, Xo, . • ., Xn.

Par exemple, les fonetions symétriques élémentaires des quatre variables «, 6, c, cl sont

ab -i- ac -r- ad -h bc -\- bd -+- cd^

bcd -\- acd -^- abd -^ abc,

abcd.

Il est manifeste que, si l'on désigne par j^,, j/'o, . . ., yn les 'î fonctions symétriques élémentaires des n variables ^,, x^^ ..., ^«, tout polynôme enjKi^JKa? •••?JKrt sera, si l'on y remplace jKi> JK2? •••5JK» par leurs expressions en x,, ^o, ..., jc„, un polynôme symétrique en Xi^ x-ii . . ., Xn' On montrera plus tard que, réciproquement, tout polynôme symétrique en .r,, x-i-, . . ., Xn peut se mettre sous la forme d'un polynôme eny,,yo, ...,y,i.

Le cas où un polynôme en .r,, x.,, . . . , x^ ne change pas quand on effectue une permutation sur les lettres Xi, x-y, . . •, x„, celui où il change toujours, sont deux cas extrêmes. Voici quelques exemples importants de cas intermédiaires.

Considérons le produit

(iFt — 573 ) (a^v — iFî) (:rv — ar, )

{Xn— Xn-i) {^n— ^n-i) {^n— ^n--i)- ' -i^n — ^l)

des —^ différences que l'on peut former entre l'une quelconque

des variables ic,, ^To, . . . , a:„ et celles qui la précèdent.

Ces ; facteurs peuvent être regardés comme provenant des

combinaisons deux à deux des n lettres Xi, Xo, • . ., x,i; une permutation quelconque effectuée sur ces lettres ne change pas l'ensemble de ces combinaisons, mais peut changer l'ordre des lettres qui figurent dans l'une d'elles, c'est-à-dire ici le signe d'un facteur, ou remplacer un facteur par quelque autre facteur, peut-être changé de signe. On voit donc que, par toutes les permutations possibles, le précédent poly-

ARRANGEMENTS, ETC. 3o5

nome ou bien se reproduira, ou bien se reproduira changé de signe. Toutes les ni permutations ne produisent que deux polynômes distincts. Il est d'ailleurs bien aisé de distinguer les permutations qui ne changent pas le polynôme de celles qui le font changer de signe. Si l'on attribue aux variables x^, Xo, . . .^ x„ des valeurs numériques quelconques, mais distinctes, et que l'on convienne de dire, comme au n" 124-, que, dans la suite iCi, x^^ ..., x,ii deux éléments Xp, Xq {/> <Ccj) présentent ou non une inversion suivant que le premier de ces éléments est plus petit ou plus grand que le second, on reconnaît immédiatement que, dans le produit de différences, le nombre de facteurs négatifs est égal au nombre d'inversions delà suite ^,, x.^^ ..., x,/, une transposition efTectuée sur deux éléments de la suite modifie d'une unité le nombre des inversions et change le signe du produit. Les permutations qui ne le changent pas sont celles qui équivalent à un nombre pair de transpositions, celles qui lui font changer son signe équivalent à un nombre impair de transpositions.

Considérons encore, dans le cas de quatre variables a, b, c, d, le polynôme ab -+- cd. Le lecteur reconnaîtra sans peine que les vingtquatre permutations possibles ne produisent que les trois polynômes distincts

ab -+- cd, ac -h bd, ad -t- bc ;

huit permutations conservent le polynôme ab + cd^ huit autres le changent en ac -f- bd^ les huit restantes le changent en ad + bc.

Les propositions qui précèdent constituent le point de départ de recherches qui ont été poussées très loin et qui ont la plus grande importance pour la théorie de la résolution des équations algébriques.

127. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les nombres C" de combinaisons de n objets p ^ p sont précisément les coefficients numériques du développement de {x + a)" ; c'est ce qu'il est aisé de voir directement, en fondant sur la théorie qui précède une nouvelle démonstration de la formule du binôme : cette démonstration s'appuie sur une formule qui a d'ailleurs de l'intérêt par elle-même.

Au lieu de considérer le produit [x -{- a)" de n facteurs identiques à .r H- a, considérons le produit de n facteurs distincts

3o6 CHAPITRE VI 11.

développons ce produite! ordonnons-le suivant les puissances descendantes de X.

On obtient un terme quelconque du produit, en faisant le produit de n facteurs dont chacun est l'un des termes des binômes x + «, X + b^ . . .^ X -\- k.

Le terme du plus haut degré s'obtiendra en faisant le produit de n facteurs égaux à x^ c'est a?"; les termes de degré n — i s'obtiendront en prenant dans n — i binômes le premier terme, et dans le ^ième ]jinome le second. D'une façon générale, les termes du/?'^"'" degré s'obtiendront en considérant une combinaison /> à /? des binômes X -\- a^ X -\- b, . . ., X -\- k et la combinaison complémentaire formée des n -\- p binômes restants. Le produit des premiers termes des binômes qui figurent dans la première combinaison, multiplié par les seconds termes des binômes qui figurent dans la combinaison complémentaire, fournira un terme de degré/), en x. Dans tous les termes analogues on mettra xP en facteur; le coefficient de xP sera la somme des produits différents n — p k n — p des termes a^ b^ c, . . ., k.

On aura ainsi

= a?" -F (a -t- 6 -H c -h ... -1- k)x"^-^ -+- {ab -i- ac + ... -l- hk)x'^-^ + ... + ab...k.

En supposant maintenant que tous les nombres <7, b, c, ..., k soient égaux et en se rappelant que G" désigne le nombre des combinaisons de n objets p k p, on obtient la formule

EXERCICES

117. Considérons n lettres a, b, ..., l et un groupe de p lettres dont chaeune soit une des lettres a, 6, ...,/, en sorte qu'une même lettre puisse être répélée plusieurs fois dans un même groupe. Ces groupes prennent le nom d'arrangements avec répétition de n lettres p à p, si l'on regarde comme distincts deux groupes qui diffèrent soit par la nature, soit par l'ordre des lettres qui y figurent, et de combinaisons avec répétition de n lettres/? à p^ si l'on ne regarde comme distincts que les groupes qui diffèrent par la nature des lettres qui y figurent.

Le nombre d'arrangements avec répétition de n lettres p àp est n/^

ARRANGEMENTS, ETC. Soy

118. Le nombre CJ'^', de combinaisons avec répétition de n lettres p à. p

est c;'//'.

On peut parvenir comme il suit à l'évaluation du nombre ()'JÎ. Les [)", combinaisons avec répétition contiennent en toutyo^i'^, lettres; chacune des II lettres devant figurer le même nombre de fois, la lettre a doit

figurer, en tout, — (.^",) fois : d'autre part, si on la retire une fois de l'une des

combinaisons qui la contiennent, il restera une des ^",^1 combinaisons des n lettres jo — i k p — i; dans ces Q'p-i combinaisons la lettre a figure en tout

— — -f?'/î i fois; d'oîj la relation

P an a" -^ ^-^ a"

^^\)l>-\)l>-t ^ „ Vl/^-i-

119. Appliquer un raisonnement de la même nature que le précédent à la démonstration de la formule

et à la détermination du nombre C",.

120. Lorsqu'il peut se produire, en tout, n événements que l'on regarde comme également probables et que jd de ces n événements satisfont à une certaine condition, la probabilité pour que l'un des n événements, se produisant

au hasard, satisfasse à la condition considérée est, par définition, la fraction — •

Par exemple, la probabilité pour que, en jetant un dé au hasard, on amène

un nombre donné est .; •

On jette deux dés : quelle est la probabilité pour que les nombres marqués par les dés soient deux nombres donnés? Il y a lieu de distinguer le cas où les deux nombres donnés sont pareils, et celui où ils diffèrent.

Quelle est la probabilité pour amener deux nombres formant une somme donnée (au plus égale à douze)? Pour amener deux nombres formant une somme supérieure à un nombre donné, inférieure à un nombre donné?

121. Une urne contient n boules marquées i, 2, 3, . ., n. On prend p de ces boules; quelle est la probabilité pour qu'on amène les numéros 1,2, ...,jo? Si l'on prend ces p boules successivement, quelle est la probabilité pour qu'on amène successivement ces numéros I, 2, ...,/? dans l'ordre i, 2, ...,/>?

122. Parmi les Cj, combinaisons des n nombres 1,2, . . . , n pris p à p, combien y en a-t-il qui soient formées avec a des nombres i, 2, . . ., A- et /? — a des nombres A: -+- i, k -{- 2, . . . , n?

3o8 CHAPITRE VIII.

Établir la formule

123. Une urne contient n boules, dont /c blanches et n — k noires, on prend au hasard p de ces boules; quelle est la probabilité pour qu'il y ait a boules blanches el p — a boules noires?

124. Dans un jeu de 3i cartes on prend is>. cartes au hasard: quelle est la probabilité de trouver parmi ces 12 cartes 8 cartes de la même couleur?

12.^. Dans un jeu de Sa caries on prend 12 cartes, puis 5; on regarde les 12 premières cartes et l'on désire trouver a cartes déterminées parmi les 5 cartes; quelle est la probabilité pour qu'elles s'y trouvent effectivement?

126. En désignant par a, p deux nombres naturels premiers entre eux, on sait que, si l'on divise par /j les termes de la suite

a, la, 3a, ..., (p — i)a,

on trouve les nombres i, 2, ...,/> — i rangés dans un certain ordre. On peut se proposer de trouver le nombre d'inversions contenues dans cette suite. En supposant donné le nombre/», résoudre le problème pour a = 2, a = 3.

127. Soit aiai . ■ ■ (1,1 un arrangement n à /ides numéros 1,2, 3, ..., n. Soient I le nombre d'inversions contenues dans cet arrangement, A et A' les nombres respectifs d'inversions contenues dans les anangements aia^ . . . a^^ d'une part et aa+iaa-H2 . . . «« de l'autre; montrer que l'on a

On reconnaît sans peine que la différence I — A — A' ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont rangés les nombres «j, «21 •••i «a» et fiue, si l'on snppose les nombres rangés par ordre de grandeur, il y a, parmi les nombres «a-hiî «a+2) •••1 ^/!) <^i — I nombres plus petits que «j, a^ — 2 nombres plus petits que a^, etc.

128. Montrer qu'une permutation donnée (au sens du n" 122), portant sur n éléments, peut être remplacée par un certain nombre de permutations circulaires dont chacune ne porte, en général, que sur une partie des n éléments, les éléments qui sont changés par une de ces permutations restant inaltérés par toutes les autres. Si parmi ces permutations circulaires il y en a /c qui portent sur un nombre pair d'éléments, le nombre de transpositions qui équivalent à la permutation donnée est de même parité que /c — i.

128. Je commence par rappeler quelques notions et principes concernant les systèmes d'équations; je crois inutile de revenir sur les principes qui se l'apportent à une seule équation.

Étant donné un système d'équations ( ' )

où X, , X2, . . . , X/< sont des expressions dont on sait calculer la valeur numérique quand on connaît les valeurs numériques des inconnues X, y, z, . . ., par exemple des polynômes en x, y, z, . . .; on sait qu'on appelle solution de ce système d'équations tout système de nombres Xq, jKo? ^o, • • • qui? substitués à la place de x, y, z, . . . dans X), Xo, . . ., X«, annulent ces expressions.

Cette définition s'applique quand on a affaire à des équations purement numériques; mais il peut se faire que les expressions X(, Xo, . . ., X,i contiennent des coefficients représentés par des lettres <i, b, c, ... que l'on regarde comme des données : les coefficients «, ■6, c, . . . sont susceptibles soit de prendre toutes les valeurs possibles, soit de prendre seulement les valeurs qui satisfont à certaines conditions.

Dans ce cas on appellera solution du système proposé un système d'expressions en a, 6, c, . . . telles qu'en remplaçant x, jk, ^, . • • par

(') Pour simplifiei" un peu, j'ai supposé qu'on avait fait passer tous les termes <lans un membre, mais cette supposition n'a rien d'essentiel, et le lecteur verra sans peine les légères modifications qu'il faudrait apporter au texle, si elle n'était pas réalisée.

3lO CHAPITRE IX.

ces expressions, X,, X^., . . ., X„ deviennent nuls, quelles que soient les valeurs numériques de a, 6, c, ..., vérifiant toutefois les conditions imposées à ces coefficients.

Il peut aussi arriver qu'une solution du système proposé soit formée par des expressions qui contiennent une ou plusieurs indéterminées : on doit alors entendre que X,, Xo, . . ., X„, quand on y remplace x, y, z, . . . par ces expressions, s'annulent quelles que soient les valeurs numériques de ces indéterminées, au moins lorsque ces valeurs satisfont à certaines conditions qui peuvent leur être imposées.

Au fond, tous ces cas ne diffèrent pas essentiellement; on peut, afin de regarder une solution comme formée d'un système de nombres, imaginer qu'on a attribué soit aux coefficients, soit à ces indéterminées dont je viens de parler, des valeurs numériques; les expressions des inconnues ^, y, 5, . . ., au moyen des coefficients ou des indéterminées, deviennent alors des nombres qui doivent annuler X| ,

Xo, . . ., x«.

On dit que deux systèmes d'équations en x^y, z^ ...

(0 Xi=o, X, =0,

sont équivalents quand les solutions de l'un sont les mêmes que les solutions de l'autre ; pour prouver l'équivalence de deux systèmes, il faut prouver que toute solution du premier est une solution du second, que toute solution du second est une solution du premier.

Lorsque toute solution du premier vérifie le second, on dit que le premier système entraine le second. Pour prouver que deux systèmes sont équivalents, il faut prouver que chacun d'eux entraîne l'autre.

Il est clair que si, dans un système d'équations, on remplace une équation par une équation équivalente, on obtient un système équivalent au premier; de même encore, en remplaçant dans le système proposé un système partiel d'équations par un système équivalent.

Si «I, «2, . . ., an sont des nombres dont le dernier n'est pas nul, le système

Xj = o, X2 =0, . . . , X„i = o, Xrt = o

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 3ll

est équivalent au système

Xi = o, Xj = o, . . . , X„i = o,

ai X, -j- «jXj +. . .-f- a,jX,j = o.

Il est clair, en effet, quels que soient les nombres cfj, a^-, .-., ««-» que le premier système entraîne le second; quant au second, il entraîne évidemment le suivant

c'est-à-dire le premier, lorsqu'on suppose que a,i n'est pas nul.

Cette proposition sera généralisée plus tard (*).

Considérons un système, dont l'une des équations, la première par exemple, soit résolue par rapport à l'une des inconnues x^ laquelle se trouve ainsi, en général, exprimée au moyen des données et des autres inconnues y, ^, .... On obtient un système équivalent au proposé, en reproduisant d'abord la première équation, puis en remplaçant dans les autres équations l'inconnue x par son expression en y, z, ....

En effet, si l'on considère une solution quelconque de l'un ou de l'autre système, la valeur de x et celle de son expression au moyen des autres inconnues jk? -, • • . qu'on a substituée à x dans les équations du premier système pour former le second sont les mêmes, en vertu de la première équation commune aux deux systèmes ; dire que les équations de l'un ou de l'autre des systèmes sont vérifiées, c'est dire la même chose (-).

(') On peut observer de suite que la démonstration ne suppose nullement que les quantités Cp a^, ..., a„i soient des nombres : elle subsisterait évidemment si ces quantités étaient des polynômes contenant les inconnues.

(') La proposition se généralise aisément; si l'on considère, par exemple, les équations

donc la seconde peut s'écrire {x — y)(a;-t-y) = 8, on formera un système équivalent au système proposé en remplaçant dans cette seconde équation x — y par 2 ; ce n'est pas une inconnue que l'on a remplacée par sa valeur, ou par une fonction des iiutres inconnues, c'est une fonction de deux inconnues, x — y, que l'on a remplacée par un nombre qui doit lui être égal en vertu de la première équation. On peut aussi supposer que 2,3, ... équations du système aient été résolues par rapport à 2, 3, ... inconnues, que l'on remplacerait par leurs expressions dans les autres équations.

129. Mon objet essentiel est ici l'étude des équations du premier degré par rapport aux inconnues. Si l'on a fait passer tous les termes d'une telle équation dans le premier membre, ce premier membre est un polynôme du premier degré par rapport aux inconnues regardées comme les variables du polynôme ; il j)Ourra s'écrire

ax -¥■ by -}- c^ -1- . . . -H /,

«1371-+- «2 ^2 -+-••• -t- Oa^il -+- «/i-'-l,

en désignant les inconnues par .r, y, «,..., ou par .r,, .r^, . . ., .r» et les coefficients, que l'on regardera comme numériques, par «, 6, c, . . ., /ou par «1, a-y-i . . ., ««, cin+\' Le terme / ou a,ij^\i qui ne contient pas d'inconnue (ou de variable) en facteur, s'appelle le terme indépendant des inconnues, le terme constant ou le terme tout connu. Ce terme peut être nul; le polynôme est alors homogène; je le désignerai dans ce cas sous le nom àe forme linéaire en x, y^ z^ ... ou en ;r,, x^, . . ., Xu ( ' ).

Il m'arrivera souvent, comme je l'ai déjà fait d'ailleurs, de désigner les premiers membres par de grandes lettres telles que X, Y, Z, ... ou X,, Xo, . . ., X^; il doit être bien entendu que ce n'est là qu'une abréviation, et que le lecteur doit substituer, par la pensée, le polynôme tout entier à la grande lettre qui le représente.

On a souvent, en désignant en général par X,, Xo, . . ., Xy, des polynômes en .r,, .2*2, ..., Xp, l'occasion de considérer des expressions telles que

a, Xi -+- aa X2 -+- . . . -H a,, X/„

OÙ a,, 7-2, . . ., ^J.p sont des nombres : une telle expression est linéaire

(*) Le sens des mots forme et linéaire varie un peu suivant les auteurs; souvent le mot forme est pris simplement comme synonyme de polynôme et le mot linéaire comme synonyme de du premier degré. L'origine de ce dernier mot est dans la signification des équations du premier degré, en Géométrie analytique. Il ne me paraît pas que ces synonymes soient nécessaires, et, conformément à un usage d'ailleurs très répandu, je réserverai, dans le présent livre, le mol forme pour les polynômes homogènes, le mot linéaire pour les polynômes homogènes cl du premier degré. Un polynôme du premier degré devra ainsi être regardé comme une forme linéaire à laquelle on a ajouté une constante. L'emploi des mots form,e et linéaire me dispensera donc d'ajouter l'épithcte homogène. Une équation linéaire sera une équation du premier degré sans terme constant; souvent on fait passer le terme constant dans le second membre; le premier membre est alors linéaire par rapport aux inconnues.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 3l3

en Xi , Xo, . . ., X^ ; elle est obtenue en combinant linéairement Xi, Xo, . . ., Xy, : c'est une combinaison linéaire de X,, X2, . . ., X^; en combinant linéairement plusieurs combinaisons linéaires de Xi, X2, . . ., Xp on retombe évidemment sur une combinaison linéaire de X,, Xo, . . ., X^. Si l'on considère les équations X( = o, Xo^ o, . . ., X^ = o, toute équation obtenue en égalant à o une combinaison linéaire de X| , Xo, . . ., X^ s'appelle aussi une combinaison linéaire de ces équations

SiX|, Xo, ..., X^ sont des polynômes du premier degré enXi, x-x^ . . ., Xni l'expression a,X, + aoXo + . . .+ ^p^s^p est évidemment aussi, en général, un polynôme du premier degré en J7,, Xo, . . ., x„\ c'est une expression linéaire en ;r,, .^o, ..., o:,^ lorsque Xi, Xo, ..., X^ sont linéaires en ^r,, a7o, . . ., x,i.

Il faut, toutefois, remarquer que les variables peuvent disparaître de la combinaison linéaire a, X, + aoXo +. . .+ o.plLp des polynômes X|, Xo, . . ., Xp. Si par exemple on pose

X = ix — 'iy -{- z — I , Y = X — iy — -3-1-2,

et si l'on forme la combinaison linéaire en X, Y, Z

on voit de suite, en remplaçant X, Y, Z par leurs expressions, en ordonnant par rapport à x^ y, z, que les coefficients de ces variables sont nuls et que l'on a, identiquement en x^y^ z,

notons en passant que cette identité montre clairement qu'il ne peut exister aucun système de valeurs pour x^ y, z telles que X, Y, Z s'annulent pour ces valeurs : en d'autres termes, on ne peut satisfaire à la fois aux équations X = o, Y = o, Z = o. Si, au contraire, en conservant à X, Y leur signification, on avait supposé Z, = x -\- DZ — 8, on aurait eu, identiquement en x, y, z,

3l4 * CHAPITRK IX.

et il serait évident par là que tout système de valeurs de x^ y, z qui annule X et Y, annule aussi Z; en d'autres termes, les équations X = o, Y ^ o entraîneraient l'équation Z = o.

Remarquons encore que, si X, Y, Z désignent en général des polynômes du premier degré en x, y, z, savoir

ax -+- by -\- cz-h d, a' x + h' y -h c z -h d , a" x -\- h" y -+- c z -4- «?",

et s'il existe une combinaison linéaire aX + [3YH- yZ, de X, Y, Z d'où les variables x^ y, z disparaissent, la combinaison linéaire

aX'+ ^Y' + yZ' des polynômes linéaires en x^y^ z,

\' =ax -h by -h cz, Y' =: d x ^ b'y -^- c' z, Z' =: a"x-\-b"y-^ c'z,

obtenus en supprimant les termes constants d, d\ d" des polynômes X, Y, Z, est identiquement nulle. En efTet, dans les deux expressions

aX' + PY'-f-yZ' et

aX +pY-4-YZ

les coefficients de .r, y, z sont évidemment les mêmes : or, par hypothèse, ces coefficients sont nuls dans la première expression. Inversement, l'existence d'une relation de la forme a X'+^Y'H- y Z'=o, identique en x^y, z^ implique évidemment l'existence d'une combinaison linéaire aX + [iY H-yZ des polynômes du premier degré X, Y, Z, d'où les variables x^ y, z disparaissent.

Ces résultats s'étendent à des polynômes du premier degré comportant autant de variables que l'on veut.

130. Il importe, pour ce qui suit, d'étudier l'application aux équations du premier degré du second principe que l'on a rappelé au n" 128; si l'on veut appliquer ce principe, il est clair qu'on a à effectuer successivement les deux opérations suivantes :

1" Résoudre l'une des équations données par rapport à l'une des inconnues .r, qui, après cette résolution, se trouve, en général, exprimée au moyen des autres inconnues j>^, 5, ....

2" Substituer dans les autres équations, à la place de .r, son expression au moyen de j^, z. . . .

On est ainsi amené à étudier ce que devient, par cette substitution,

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 3l5

le premier membre de l'une quelconque de ces autres équations, lequel était primitivement un polynôme du premier degré en x^ J'^Z, ....

Je vais raisonner en supposant qu'il j ait trois inconnues Xj y ei z; le lecteur reconnaîtra immédiatement que les résultats qui suivent ne dépendent pas du nombre des inconnues.

Considérons l'équation du premier degré

X = aa~ -+- by -\- cz -^ d = o,

et soit

un polynôme du premier degré en .r, j)^, z] on va voir ce qu'il devient (juand on résout l'équation X = o par rapport à l'une des Inconnues et que l'on y remplace cette inconnue par l'expression que l'on a trouvée; a, ^, c, d., «', b\ c', d' seront regardés comme des coefficients numériques.

Si le coefficient a n'est pas nul, l'équation X ^ o est équivalente

à l'équation — X =r o, ou

SOUS cette forme, elle est résolue par rapport à x {^). On observera que les coefficients de y, z dans le second membre ne dépendent pas du terme constant d.

Si l'on remplace x par cette expression dans Y, on obtiendra un polynôme 1li, du premier degré enj^, ^, à savoir

\.= a ( Y z -f-6r-+-cs-4-«

\ a* a aj

/,, ba'\ [ , ca'\ „ da'

et l'on vérifie de suite que l'on a identiquemeiit en x, jk, ^

(') Il nous sera utile plus tard d'avoir remarqué que, quand un laisse tous les termes dans un même membre, la résolution d'une équation du premier degré par rapport à une inconnue revient à diviser le premier membre de cette équation par le coefficient de cette inconnue.

3l6 CHAPITRE IX.

en d'autres termes, le polynôme Y, est une forme linéaire en X, Y, dont les coefficients sont et i . Dans ce polynôme, les coefficients des variables y^ z ne dépendent nullement des termes constants <i, d' ^ mais seulement de la valeur des coefficients de x^y, z dans X et dans \ .

Si l'on considère les deux équations du premier degré X = o,

Y = o, il est clair que leur système est équivalent au système X ^ o,

Y — — X = o, en sorte que, dans le cas des équations du premier

degré, la seconde proposition du n" lt28 est une conséquence de la première; mais c'est sur un autre point que je désire appeler l'attention du lecteur.

Il peut se faire, après la substitution, que les inconnues y, z disparaissent, en sorte que Y( ne soit plus, à proprement parler, un polynôme en y et z^ mais se réduise à un nombre [jl, qui peut d'ailleurs être différent de o, ou nul. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, dans l'exemple précédent, que l'on ait

Y, se réduit alors au nombre d' , et l'on a identiquement en

Si le second membre de cette identité n'est pas nul, il est clair

qu'on ne peut avoir à la fois X = o, Y = o pour aucune valeur de .r,

jK, ^; les deux équations X = o, Y= o sont incompatibles. Si, au

contraire, le second membre est nul, il est clair que la supposition

X = o entraîne Y = o ; on vérifiera alors les deux équations X = o,

Y ^ o, en attribuant -a y ç.\, z des valeurs quelconques et en attribuant

11 • . 1 b c d a ;r la valeur qui en resuite pour r z

Il convient de remarquer que ce fait exceptionnel, la disparition des inconnues dans Y, , ne dépend en aucune façon des termes constants rf, G?', mais seulement des valeurs des coefficients a, 6, c, «', 6', c' des inconnues x^ y, z.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. Siy

131. Ces remarques faites, j'expliquerai la méthode de résolution des équations linéaires par substitution sur le cas de trois équations du premier degré à trois inconnues.

Soient

iX = ax -+- by -+- c g -i- </ = o, Y = a' X -1- b' y -{- c' z -f- ci = o, -7 " 11' « 1,1 *

ces trois équations. Elles peuvent s'écrire encore

en désignant parX', \', 7J les polynômes linéaires en x^y^ z

ax -\- by -\- cz^ a' x -\- b' y-\- c' z, a" x -^- b" y + c" z^

que l'on obtient en supprimant les termes constants d^ d' ^ d" des polynômes X, Y, Z.

Supposons que l'un des coefficients des inconnues, a par exemple, ne soit pas nul; en résolvant l'équation X=: o eten portant l'expression trouvée

dans les deux autres équations, on parviendra aux équations

i Yi = Av -f-Bz -+-G =o.

\ Zi = A'r + B'i-t-G' =o,

en posant, pour abréger,

A, in ^ I, T:ti II ^ ft r^i l'i ^^ » = O a , H = c a , L = d a .

Ainsi qu'on l'a déjà fait observer, les valeurs des coefficients A, B,. A', B' de y, z dans Y, et Z, ne dépendent nullement des termes constants d, d', d".

On a d'ailleurs identiquement en x, y, z

3l8 ClIAPITUE IX.

et le système des équations proposé est équivalent au système

Yi=o, Zi=o, a^ = y — - z — d,

dont la dernière équivaut à X ^ o.'

En général, les inconnues v, z figurent dans Y,, Z, ; si, par

exemple, A n'est pas nul, on résoudra l'équation Y, = o, par rapport

à y et l'on remplacera, dans l'équation Z, = o, j^ par — ^ z — —;

Z,, après la substitution, deviendra

La valeur du coefficient de z dans Zo ne dépend que de la valeur des coefficients A, B, A', B', et, par suite, des coefficients «, Z>, c, «', b', c', a", 6", c", nullement delà valeur des termes constants d, d', d".

A cause des relations (3), on a, identiquement, en x, y, z,

Za est donc une forme linéaire en X, Y, Z dans laquelle le coefficient de Z est i.

Le système proposé est équivalent au système

Si, dans la première équation, le coefficient de z n'est pas nul, on pourra résoudre cette équation par rapport à ;:, et l'on en tirera une valeur unique 5 ^ A; le système proposé est équivalent au système

a VA A / a a

ÉQCATIONS DU PREMIER DEGRÉ. Sig

dont la solution est mise en évidence : dans ce cas le système proposé admet une solution, et une seule.

Tout en continuant de supposer que, dans Y,, Z,, l'un des coefficients des inconnues, A par exemple, ne soit pas nul, supposons que l'inconnue z disparaisse de Z^ qui se réduit alors au nombre

G' V— ; le raisonnement du numéro précédent montre que, si ce

nombre n'est pas nul, les équations \ , ^ o, Z, = o sont incompatibles, et le système proposé impossible; si, au contraire. G' -r—

est nul, on n'aura plus à tenir compte de l'équation Tj.,^ o, qui se réduit à o = o, et l'on pourra dire que le système des trois équations proposées est équivalent au système des deux équations

ou encore au système B C

b /B C \ c d /bn c\ bC d

« \ A A / a a \a\. a / aK a

Deux des inconnues y el x s'expriment alors comme des polynômes du premier degré en 5, qui reste indéterminé. On peut attribuer à z une valeur numérique arbitraire; les valeurs de y, x qui résultent des formules ci-dessus satisfont aux équations proposées : inversement, dans toute solution du système proposé, les valeurs de y, X s'expriment par les formules précédentes au moyen de la valeur de z.

Dans le cas où z ne figure pas dans Zo, qui se réduit alors au

G nombre G' — -r- A', on a identiquement en x^ y, z, en vertu de (4)?

A \ Aa a j

il y a une combinaison linéaire de X, Y, Z qui se réduit identiquement "aT

au nombre C^ —* L'identité précédente montre bien, quand

320 CHAPITUK IX.

incompalibles, et, quand G r— est nul, que les deux premières

G' r-^ n'est pas nul, que les équations X = o, Y = o, Z ::= o sont

A entraînent la troisième.

S'il arrivait que les inconnues y, z ne fig-urassent ni l'une ni

l'autre dans les équations \, =o, Z, ^o, c'est-à-dire si l'on avait

b a = o, c — - rt = o,

auquel cas \i, Z< se réduiraient aux nombres d! a! , d" a",

ou bien ces derniers nombres ne seraient pas nuls à la fois, et l'une des écjuations Y=:o, Z = o serait incompatible avec l'équation X = o,

ou bien les deux nombres cV a', d' a" seraient nuls, et alors

l'équation X=o entraînerait les deux équations \ =: o, Z := o. Dans ce dernier cas, le système des troh équations proposées serait équivalent à l'unique équation

y el Z resteraient indéterminés; on peut leur attribuer telles valeurs cjue l'on veut, la valeur de x est donnée par la formule précédente; inversement, dans toute solution du système proposé, la valeur de x est liée par la relation précédente aux valeurs de r et de z.

Lorsque y, z disparaissent des équations Y( = o, Z, = o, on a entre X, Y, Z, à cause des identités (3), les relations, identiques

en^,jK, ^,

Z--X = rf"--a", a a

qui mettent en évidence, quand les seconds membres ne sont pas nuls tous deux, l'incompatibilité de l'équation X= o avec l'une au moins des équations Y = o, Z = o, et qui, loi'sque les seconds membres sont nuls, montrent que l'équation X = o entraîne les deux •équations Y = o, Z = o.

EQUATIONS DU PREMIEh DEGKÉ. S'il

Enfin, si dans les équations proposées, les coefficients de toutes les inconnues étaient nuls, en sorte que ces équations se réduiraient à </= o, d' =z o, d" = o, ou bien l'un des nombres d^ d'^ d" ne serait pas nul, et le système proposé serait manifestement impossible, ou bien d^ d' , </' seraient nuls et le système proposé serait vérifié quelles que fussent les valeurs de x, y^ z.

En résumé, ou bien il y a une solution, et une seule; ou bien il y a impossibilité; ou bien une ou deux inconnues peuvent être prises arbitrairement, les deux autres ou la troisième s'exprimant au moyen de cette inconnue ou de ces inconnues arbitraires, ou encore, dans le cas très exceptionnel signalé tout à l'heure, les trois inconnues sont indéterminées. Enfin, dans les cas d'impossibilité ou d'indétermination, il y a entre les premiers membres des équations des relations (identiques en x, y, z), qui manifestent cette impossibilité ou cette indétermination. Ces relations sont de la forme

aX + ^Y-t-yZ + 0 = 0,

l'un des coefficients numériques a, [3, y n'étant pas nul, puisque, dans les relations de cette nature que l'on a obtenues dans le cours de la démonstration, l'un de ces coefficients était toujours égal à i . On peut dire encore qu'il existe une combinaison linéaire aX + ^3Y + yZ des premiers membres des équations dans laquelle les coefficients a, [j, y ne sont pas tous nuls et d'où les inconnues disparaissent. Dans le cas très exceptionnel où ces inconnues ne figureraient pas dans X, Y, Z, on peut prendre pour a, ,3, y des nombres quelconques. Ces relations identiques mettent en évidence l'impossibilité ou l'indétermination du système. On est certainement dans le cas de l'impossibilité si 3 n'est pas nul.

D'autre part, l'impossibilité ou l'indétermination se manifestent toujours, après l'une des substitutions dont la méthode se compose, par la disparition totale des inconnues dans l'une des équations où l'on a fait cette substitution, et, ainsi qu'on l'a fait observer, cette disparition ne dépend en aucune façon des termes constants, mais seulement des valeurs attribuées aux coefficients des inconnues. Il suffit de se reporter aux raisonnements précédents pour reconnaître que l'indétermination apparaît en quelque sorte comme un cas particulier de l'impossibilité : qu'on laisse leurs valeurs aux coefficients de x, y, s, dans les équations proposées, et qu'on modifie seulement les T. 21

termes constants, le système, s'il était impossible, peut, pour certaines valeurs de ces termes constants, devenir indéterminé. Considérons les équations linéaires en x^ y, z

obtenues en supprimant les termes constants d, û?', d" des premiers membres X, Y, Z des équations proposées. Ce système n'est jamais impossible : il est, en effet, évidemment vérifié pour x = o, jk = o, ^ =: o, en sorte qu'il arrivera de deux choses l'une : ou bien le système X'=^ o, Y'=: o, Z'^ o n'admettra que cette solution, ou bien ce système seraindéterminé,etdeux inconnues s'exprimeront linéairement au moyen de la troisième; ou bien une inconnue s'exprimera linéairement au moyen des deux autres. Dans le cas où tous les coefficients seraient nuls, les trois inconnues seraient évidemment indéterminées. S'il y a indétermination, il existe entre X', Y', X' au moins une relation linéaire, identique en ^, JK, ^, de la forme aX'-|-[3Y' + yZ'^o, relation dans laquelle l'un des coefficients numériques a, [5i, y n'est pas nul. Si, par exemple, y n'est pas nul, la relation précédente peut être résolue par rapport à Z' qui apparaît ainsi comme une combinaison linéaire de X' et Y'. Enfin, je rappelle que l'existence d'une relation, identique en x, y, z, de la forme aX H-j'3Y-l-yZ-)-S = o, entraîne nécessairement l'identité aX'4- [3Y'h- yZ'= o, et réciproquement.

Si les équations X'= o, Y'^ o, Z'=z o n'admettent pas d'autre solution que X = o, y = o, z = o, le système n'est pas indéterminé et, quand on appliquera, pour résoudre les équations, la méthode de substitution, on ne se trouvera point dans le cas exceptionnel où les inconnues disparaissent totalement de quelqu'une des équations où l'on a fait la substitution; on ne se trouvera pas non plus dans ce cas exceptionnel pour les équations X= o, Y = o, Z = o, et cela quelles que soient les valeurs numériques des termes constants d, d\ d". Ces dernières équations admettront une solution et une seule. Si le système X'=:o, Y'^o, Z'=o est indéterminé, c'est qu'après une des substitutions les inconnues disparaissent totalement de l'une des équations où l'on a fait la substitution. Il en est de même pour les équations X=:o, Y=o, Z=:o dont le système est alors impossible ou indéterminé; on se trouvera dans un cas ou dans l'autre suivant

les valeurs de d, d' ^ d" . Réciproquement, si le système X= o, Y = o, Z = o admet une solution unique, le système X'= o, Y'= o, Z'= o «'admet pas d'autre solution que :r == o, jk= o, 5 = o. Si le système X = o, Y = o, Z = o est impossible ou indéterminé, le système X'= o, Y'^ o, Z'=: o est indéterminé.

132. Supposons qu'on applique la méthode de substitution aux équations du premier degré

telle qu'elle a été décrite au numéro précédent, mais en ayant soin, quand on résout une équation, de tout laisser dans le premier membre, ce qui revient alors à diviser simplement par le coefficient d'une inconnue, et, quand on a fait une substitution, de tout laisser encore dans le premier membre. Le premier membre de l'équation qu'on vient d'écrire est une combinaison linéaire des deux premiers membres de deux équations, celle d'où l'on a tiré l'inconnue et celle où l'on a fait la substitution. Puisque, en combinant linéairement des combinaisons linéaires de X, Y, Z, on retombe toujours sur des combinaisons linéaires de ces expressions, il est clair que les premiers membres de toutes les équations que l'on écrit sont toujours des combinaisons linéaires de X, Y, Z, c'est-à-dire des expressions de la forme aX-h [3 Y -f- yZ, a, ^, y étant des coefficients purement numériques. Supposons maintenant qu'on soit dans le cas où les équations X = o, Y = o, Z = o admettent une solution jc„, Yq^ ^o, et une seule, la méthode conduit, uniquement par des résolutions d'équations du premier degré et des substitutions, à ces valeurs des inconnues, c'està-dire que son résultat final est de la forme

37—370 = 0, y — y^^= O, Z — Zq= O.

Les premiers membres de ces dernières équations doivent être, eux aussi, des combinaisons linéaires de X, Y, Z, c'est-à-dire qu'il doit exister neuf nombres a, [ii, y, a', [^', y', a", ^", y" tels que l'on ait identiquement en .r, y^ z

{ X — a7o=aX-i-pY-h-YZ.

f z— Zo = a''X^-!3"Y-^Y"Z.

Réciproquement, supposons qu'on ait trouvé neuf nombres a, P, . . . , y" tels que les relations précédentes aient lieu identiquement en .27, y, z; il est clair qu'on ne peut avoir à la fois X = o, Y = o, Z = o sans que l'on ait .r = jr^, j^ = y^, 5 = 5,, ; si les équations X = o,Y = o, Z=:o ont une solution, celle-ci ne peut être que X 01 y fil ^ol mais on n'aperçoit pas de suite que ces nombres annulent effectivement X, Y, Z ; c'est pour l'établir que j'ai fait les remarques qui terminent le numéro précédent. En désignant encore par X', Y', Z' les formes linéaires en x^ y, z qui deviennent X, Y, Z quand on supprime les termes constants d, d' ^ d" , les identités précédentes, supposées vraies, impliquent celles que voici

a? = a X'h- p Y'-i- Y Z', jK = a'X'+ ^' Y'+y'Z'' 5= a"X'-+- !3«Y'+ y"Z',

puisque, dans les deux membres de chacune de ces égalités, les coefficients de .r, jK, z doivent être égaux en vertu des identités (i). Dès lors, X', Y', Z' ne pouvant, en vertu de ces identités, être nuls simultanément sans que l'on ait j? = o, y = o, ^ = o, il est clair qu'il n'y a pas indétermination pour les équations X'=o, Y'=o, Z'=o et que, par conséquent, il ne peut y avoir ni impossibilité, ni indétermination pour les équations X = o, Y^o, Z = o; elles admettent une solution, et une seule, qui est certainement x = Xo^ y^y^^

De là une méthode pour la résolution des équations du premier degré, qui consiste à déterminer les coefficients a, ^, y de manière que, dans aX -f- |iY -j- yZ, les coefficients de y et de z soient nuls. Avant de donner un exemple de cette méthode (n" 134), je veux faire les remarques suivantes :

Quand on cherche à résoudre les équations X =1 o, Y = o, Z = o, on n'applique pas toujours la méthode régulière de substitution telle qu'elle a été décrite au n" 130; on cherche à profiter de la forme spéciale de ces équations, on les combine par addition, après les avoir multipliées par certains facteurs; quelquefois, après avoir résolu par rapport à une inconnue, on fait une substitution. Tout cela revient, au fond, à former des combinaisons linéaires des équations; car le fait, que, dans le cours des calculs, on fait passer des termes d'un membre

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. BîS

dans un autre, est évidemment insignifiant. Si, en faisant toutes ces opérations dans un ordre quelconque, on arrive à un système d'équations de la forme

X = iFo, y = jKo, -s = -so,

où ^0, ro, 2o sont des nombres, il est bien clair que le système proposé ne peut admettre d'autre solution que a^o? .Xo? ^oî mais le raisonnement précédent montre que x^^ y^^ ^o constituent effectivement une solution, et il n'est pas nécessaire, au point de vue théorique, de constater que Xo, yo-, ^o annulent effectivement X, Y, Z. Cette vérification reste utile pour s'assurer qu'on n'a point commis de faute de calcul.

Pour peu que le lecteur veuille y réfléchir, il reconnaîtra sans peine que la méthode de substitution et les résultats qui précèdent s'étendent à la résolution d'un système de n équations du premier degré à n inconnues, et même, sauf quelques modifications, de n équations du premier degré k p inconnues; elle permettra toujours soit de parvenir à la solution unique si le système n'admet qu'une solution (ce qui suppose le nombre des équations au moins égal à celui des inconnues), soit de mettre en évidence l'impossibilité ou l'indétermination du système; dans le cas d'indétermination, certaines inconnues s'expriment par des polynômes du premier degré, dont les autres inconnues sont les variables. Les conclusions qu'on vient d'établir relativement aux combinaisons linéaires subsistent pour n équations du premier degré à n inconnues. Lorsque, en combinant linéairement ces équations, on parvient à n égalités, conséquences nécessaires des n équations, dont chacune fournit la valeur d'une inconnue, on est sûr que ces valeurs vérifient effectivement les équations. C'est d'ailleurs ce qui ressortira du Chapitre suivant.

Considérons, par exemple, les équations

on en tire, en ajoutant membre à membre,

3s).6 CHAPITRE IX.

puis en retranchant membre à membre de celle-là chacune des équations proposées et en divisant par 2,

on n'a fait, au fond, que des combinaisons linéaires des équations; sans la théorie précédente, on pouvait affirmer évidemment que les équations proposées n'avaient pas d'autre solution que celle qu'on vient d'écrire ; la théorie précédente montre qu'on a bien efl'ectivement là une solution.

133. La méthode de substitution appliquée à deux équations du premier degré à deux inconnues

iaar-f-6y-i-c=o, / ax-^by^c^Ç},

conduit à ce résultat essentiel, bien connu du lecteur : Lorsque la quantité ah' — ha! n'est pas nulle, le système (i) admet une solution, et une seule, qui s'exprime par les formules

, . bd — cb' ca' — ac'

(* ) ^ = ~T^ ITT' y = -T' i,— •

ab — ba "^ ab — ba

JNotons en passant que, d'après cela, les équations linéaires en x, y

«a? -I- èjK = o, a' X -k- b' y = o

n'admettent dans ce cas que la solution évidente ^ = o,jk = o. En d'autres termes, si l'on sait que x^ y sont des nombres qui vérifient ces équations, on a, ou ^ = o, y = o, ou ab' — ha' = o.

Dans le cas où cette dernière relation est vérifiée, il y a des valeurs de X, y qui ne sont pas nulles toutes les deux et qui vérifient les équations proposées.

Considérons maintenant les deux équations linéaires en x,y, z

{ a x^b y^c z = o, ( ax-\-by-\-cz = o,

et cherchons à déterminer toutes les valeurs de x,y, z qui vérifient ces équations. Supposons d'abord ab' — ba' différent de o. Le sys-

tème (3), d'après ce qu'on vient de dire, équivaut au système

{bc' — cb')z {ca — ac')z

^' ab — ba ab — ba

c'est-à-dire qu'on obtiendra n'importe quelle solution du système (3) en donnant à :; une valeur quelconque et en prenant pour x^ y les valeurs qui résultent des formules (4); réciproquement, toute solution du système (3) peut s'obtenir de cette façon. Les formules (4) fournissent, en y laissant z indéterminé, la solution générale du système (3). Si nous posons z = (ab' — ba')l^ il est clair qu'à chaque valeur de t correspond une valeur de z et que, réciproquement, à chiique valeur de z correspond une valeur de t\ on peut donc tout aussi bien dire qu'on obtient la solution générale du système (3) en prenant

(5) X = {bc — cb' ,t, y = {ca' — ac')t, z = (ab' — ba')t,

où t est une indéterminée. Les coefficients de ^, dans les seconds membres, se déduisent du premier par une permutation circulaire des lettres «, 6, c.

Notre raisonnement suppose que ab' — ba' n'est pas nul; mais, pourvu qu'une des trois quantités

bc' — cb', ca' — ac', ab' — ba'

ne soit pas nulle, le résultat subsiste; si, par exemple, c'est bc' — cb' dont on sait qu'il n'est pas nul, on résoudra les équations (3) par rapport à j-, z au lieu de les résoudre par rapport à x, y, on retombera sur le même résultat.

Au lieu d'écrire la solution générale des équations [3) sous la forme (5), on peut, dans le cas où l'une des quantités bc' — cb' , et! — rtc', ab' — ba' n'est pas nulle, dire qu'on obtient cette solution générale en prenant x, y, z respectivement proportionnels à ces quantités, et écrire

bc' — cb' ca' — ac ab' — ba'

On doit donner à ces équations le même sens qu'aux équations (5); si, par exemple, l'un des dénominateurs est nul, il faut entendre que le numérateur correspondant doit être nul aussi.

Observons ce qui arrive quand deux des trois quantités bd — cb\ ca' — ac', ab' — ba\ les deux dernières par exemple, sont nulles : en regardant les deux égalités

ca' — c' a = o, ba' — b' a =: o,

comme des équations linéaires par rapport à deux inconnues a, «', on voit, d'après une remarque antérieure, qu'elles entraînent soit « = o, a'= o, soit c( — b') — b (— c') ou bc' — b' c = o. Si l'une des inconnues x, y^ z ne disparaît pas à la fois des deux équations (3), on peut dire que l'évanouissement de deux des quantités bd — cb\ ca! — ac', ab' — ba! entraîne l'évanouissement de la troisième.

Lorsque ces trois quantités sont nulles, c'est que les coefficients de l'une des équations (3) sont proportionnels aux coeflicients de l'autre; l'une des équations entraîne l'autre. Deux des inconnues .r, y^ z peuvent alors être laissées arbitraires; la troisième, que l'on choisira de manière que son coefficient ne soit pas nul, s'exprime au moyen de ces deux-là.

Dans tous les cas les équations (3) admettent des solutions dans lesquelles les inconnues x^ y, z ne sont pas nulles toutes les trois.

134. Les résultats précédents, relatifs à la résolution de deux équations linéaires à trois inconnues, sont souvent utilisés. Je vais les appliquer à la résolution des trois équations

en cberchant à déterminer trois nombres A, A', A", tels que, dans la combinaison linéaire AX + A'Y-|-A"Z des premiers membres, les termes enjK? ^ disparaissent : il faut pour cela que les deux équations linéaires en A, A', A"

soient vérifiées; il faut donc, d'après le numéro précédent, prendre A, A', A" proportionnels à b' d' — b" d , b" c — bd' , bd — b'c; rien n'em-

pèche de prendre A, A', A" égaux à ces quantités. On a alors identiquement

(•2) AX -h A' Y -H A"Z = ( Aa -H A'a'-t- M' a" )x -+- Ao? -+- A'c^'-f- k" d" .

On déterminera de même deux systèmes de nombres B, B', B" et C, C, C" tels que, dans les combinaisons linéaires BX + B'Y-t-B"Z, CX + C'Y-j-CZ, les termes en^et z, les termes en iC,jK disparaissent, et l'on sera ainsi conduit aux identités

I BX + B' Y + B'Z = (B6 + B'6'+ B''b")y -f- Bc/+ B'^'+ B'^^',

' \ CX-^ G'Y+ C''Z = (Gc-t-G'e' + G"'c'')z + Grf+G'rf'+C''^.

J'écris ci-dessous le tableau qui donne les expressions, au moyen des neuf coefficients a, 6, c, a', b' , c\ a", 6", c", des neuf quantités A, B, ...,C"

pour retrouver rapidement ces formules, il convient de faire les remarques suivantes : dans l'expression de l'une quelconque des quantités A, ..., C" ne figurent que les petites lettres autres que la grande lettre dont on veut l'expression et autrement accentuées que cette dernière; ainsi, dans l'expression de A ne figurent que les lettres b, c (autres que q) et affectées d'un ou deux accents, tandis qu'il n'y en a pas dans A; en faisant une permutation circulaire sur les petites lettres, on produit une permutation circulaire sur les grandes lettres; ainsi B se déduit de A par une permutation circulaire effectuée sur les petites lettres. Une permutation circulaire sur les accents des petites lettres, ou, si l'on veut, une permutation circulaire effectuée à la fois sur les lettres a, a', a", sur les lettres 6, b', 6", sur les lettres c, c', c", produit une permutation circulaire sur les lettres A, A', A", sur les lettres B, B', B", sur les lettres C, G', C".

Enfin, on vérifie immédiatement que, dans les seconds membres des identités (2), les coefficients respectifs de x^ y, 5, c'est-à-dire

Aa -)- A'a'-i- A"a", B6 -4- B'é'-H B"6", G c -1- G' c' -1- G" c",

Xd ^ P^' d' -^ M' d"

Bd^B'd'^Wd"

Br/ + BV+B"^"

93o CHAPITRK IX.

sont égaux : leur valeur commune est

( 4 ) ^ = cib' c" — ab" c' -+- a' b" c — a' bc" -+- a" bc' — a" b' c.

Supposons que A ne soit pas nul, ce qui implique évidemment que les trois quantités A, A', A" ou B, B', B", ou G, C, C" ne soient pas nulles à la fois : on voit qu'on est conduit, par des combinaisons linéaires des équations proposées, aux suivantes

'- A Ce -4- Ce' -hG"c"

Il résulte du calcul même que, si les équations (i) admettent une solution, cette solution ne peut être autre que celle que donnent ces formules; mais le raisonnement du n" 132 s'applique ici et l'on est certain que les valeurs trouvées pour x^y^ z vérifient les équations (i), et cela quels que soient les coefficients a, ..., c", pourvu que A ne soit pas nul.

Ainsi, lorsque A n'est pas nul, les équations (i) admettent une solution, et une seule, que donnent les formules (5).

Il convient de remarquer, relativement à ces formules, que les trois dénominateurs sont les mêmes, et que les numérateurs se déduisent de A en j remplaçant, pour chaque inconnue, les coefficients de cette inconnue par les termes constants : ainsi le numérateur de la fraction qui, lorsqu'on en a changé le signe, donne la valeur de x^ s'obtient en remplaçant, dans A, a, a', a!' par 7, o?', d" ] cela résulte évidemment de la seconde forme de cette fraction et de ce que a, a', a" ne figurent pas dans les expressions de A, A', A".

135. Regardons les quantités A, ..., C", A comme définies au moyen des données rz, . . ., c" par les formules (3) et (4) du numéro précédent, elles pourront être regardées comme des polynômes où a, . . ., c" seraient les variables; A, . . ., C" sont alot-s des polynômes homogènes du second degré, A est un polynôme homogène du troisième degré : ces polynômes sont liés entre eux par des relations identiques très remarquables : les premières que je vais écrire se

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 33l

trouvent avoir été démontrées par la façon même dont on a été conduit aux expressions de A, ..., C", ou reproduisent une observation déjà faite sur les trois formes que peut affecter le dénominateur commun A des valeurs trouvées pour x^ y, z

(i) ■ \b^ \'b'^ .Vb'^o, B6 + B'6'^-B"6"= A, Gb -h C b' ^ C" b" = o

( Ac -H A'c'-H A"c" = o, Bc -f- B'c'+ B''c''= o, Gc -f- G'c' -t- G"c" = A.

A ces neuf identités, il convient d'en adjoindre neuf autres analogues, auxquelles on serait parvenu en suivant exactement la même marche que plus haut, si, au lieu d'écrire les équations à résoudre sous la forme (i) du numéro précédent, on les avait écrites sous la

forme

ax -h a' y -i- a" z -t- a = o.

b.v -\- b' y -1- è"s -4- |3 = o, ex -i- c' y -^ c" z -^"^ = o.

Au reste, le lecteur n'aura aucune peine à les vérifier sur la définilion même des poljtiomes A, . . ., C", A.

/ Aa -i-B6-f-Gc=A, A'« -i- B'6 h- Ce = o, A"a -^ B" b -h G"c = o,

(2) j Aa'+B6'H-Gc'= o, A'a'-f- B'è'+ G'c' = A, A"a'+ B"6'^ G'c' = o,

( Aa"H-Bè"+ Gc"=o, A'a'+ B'6"4- G'c''= o, X"a"^B'' b"-^ G'e''= ^.

Si l'on regarde pour un instant les deux égalités

Ba-^B'a'-hB"a"=o,

Ca-hC'n'-hC''a"=o.

comme des équations linéaires où B, B', B", C, C, G" seraient les coefficients et a, a', a" les inconnues, on en conclut, d'après le n" 133, que a, a', a" doivent être proportionnels aux quantités B'C"— B"C', B"C — BG", BG'— B'G; il est aisé de constater que le facteur de proportionnalité est A : en efl'et, si l'on remplace, dans B'G" — B"G', par exemple, B', G", B", G' par leurs expressions au moyen de a, ..., c", on reconnaît de suite que, dans l'expression développée, les monômes où a ne figure pas se détruisent, en sorte que a se met en facteur dans les termes restants et l'on constate que B'G" — B"G' est égal à Aa. G'est la première des neuf identités

33a CHAPITRE IX.

qui suivent, les autres s'en déduisent par des permutations circulaires, lesquelles n'altèrent pas A,

/ B'G"— B"G' = Aa, C'A"— G"A' = Aè, A' B"— A^B'^ Ac,

( 3 ) I B"G — B G" = Aa', G" A — G A" = A6', A"B — A B"= Ac', ( B G'— B'G = Aa", GA' — G'A=A^", AB'— A'B=Ac".

Le lecteur ne peut manquer d'être frappé par l'analogie qu'il y a entre ces relations et celles qui définissent les polynômes A, . . ., C".

Enfin, si l'on multiplie par A, A', A" les identités qui figurent dans la première colonne du tableau précédent et que l'on ajoute membre à membre, on trouve, en tenant compte de la première des identités (6)