A2= AA'A"+2BB'B"— AB2— A'B'2— A'B

A = Xa^B''b'-hB'b'=B''b"^A'a^Bb^ B' b' -hBb -h k" a\

o = Aè" -i-B*aH-B'6 = Aè' -i-B''6-f-B'«",

o= B"a-hA'b"-i-Bb' = B"è'-^ A'è +Ba",

o = B'a + B6" + A"è'= B'6"+ Ba' + A"6.

Toutes ces identités sont contenues, comme cas particulier, dans celles qu'on a démontrées aux n"' 134 et 133.

Montrer que si a, a', a", 6, 6', b" sont des nombres réels et si A est nul, les quantités A, A', A" sont de même signe et que les égalités

A = o, A -(- A' -H A" — o entraînent

A = o, A'=o, A"-ro, B = o, B'=o. B''=o.

Résoudre par rapport à a, a', a", 6, b', b" les équations

A =aa«— 6-2, B =b'b"—ab,

A" ^ aa' — b"\ B" = bb' — a'^6",

où l'on regarde A, A', A", B, B', B" comme des données.

140. En désignant par «i, «21 •••7 o,n^ ^h b-i^...^ b,i des nombres donnés dont les n premiers sont différents de o, on propose de trouver la solution la

plus générale des n équations à n -i- i inconnues a^o, a^j, a^a, . . ■•, t„

Xr^ arXr-\-\- b ,.

(où r prend les valeurs i, a, . . . «).

Après avoir observé que cette solution, si 61, b^^ . . ., bn étaient nuls, serait donnée par la formule

a:f=^ (liCi^. . . Or^ot (r =; I, 2. . . . «),

où Xq reste arbitraire, on changera d'inconnue en posant

or,. = Cll(l2i • • •• <^rXr' (/• = I, 2, . . . «).

Les équations proposées prennent alors la forme

yr = yr-l^ —-———- (/■ = I,2,.../l),

d'où l'on déduit sans peine

bi bo bf

rt] «2 «1 a2 . . . ar

la solution la plus générale des équations proposées est donnée par la formule

441. Trouver toutes les valeurs de x^y^ 2, s qui vérifient les trois équations

ax -\- cy -h bz ^ sz,

ex -+- by ■+- az = sy, bx -r- ay -;- cz = 55,

où l'on suppose qu'aucun des coefficients a, b, c n'est nul. En ajoutant ces trois équations on trouve

il faut donc que l'on ait soit s ^ a -\- b -\- c^ soit a" -h jk -l- ^ = o.

Dans le premier cas, si h r H — n'est pas nul, on satisfait aux équations

abc ^