IX

-ïc"a

-le"'-

On peut donc écrire

IX (X. a

- Ib' -le' - -d' b' c' d' d" b" c" d"

h"-le"-'-^" a a

H"'-le-

Ce déterminant, d'après la règle du n" 146, se décompose en trois autres, dont chacun est nul parce que les éléments correspondants de deux colonnes sont proportionnels.

La réciproque de cette proposition est vraie : si un déterminant du n^ ordre est nul, il existe n coefficients, dont l'un au moins n'est pas nul, tels que, si l'on ajoute les éléments d'une ligne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, on obtient une somme nulle. De même, il existe n coefficients, dont l'un au moins n'est pas nul, tels que, si l'on ajoute les éléments d'une colonne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, la somme soit nulle.

La proposition est évidente lorsqu'il y a un mineur relatif à quelque élément du déterminant proposé qui n'est pas nul. Si, par exemple, il s'agit du déterminant du quatrième ordre

DÉTERMINANTS. SÔQ

OÙ a, b, . . ., d'" désignent des nombres quelconques, on a

Ka -i-B6 -H-Gc -h D<^ = A, Aa' -)- B6' -f- Ce' -+- l>d' = o, Aa' -*- B 6" 4- G c' M- D c^" = o,

A a'" + B b'" + G c'" -i- D cl'" = o,

en désignant par A., B, G, D les valeurs numériques des mineurs relatifs aux éléments a, 6, c, 6^. Si A est nul et si l'un des mineurs A, B, C, D n'est pas nul, il est clair que les éléments d'une même ligne vérifieront la relation \.x + By -+■ Cz -t-Dm =o. Comme on peut remplacer A, B, C, D par les mineurs relatifs aux éléments d'une ligne quelconque, la proposition est bien claire, pourvu que l'un des seize mineurs A, B, . . . , D'" ne soit pas nul.

Si tous les mineurs sont nuls, la démonstration est en défaut. La proposition subsiste, comme on le verra plus tard (n" 159).

149. Voici maintenant quelques conséquences de la proposition établie au n" 147, d'après laquelle on peut retrancher des éléments d'une ou de plusieurs lignes (ou colonnes) les éléments correspondants d'une autre ligne (ou d'une autre colonne).

On peut ramener à un déterminant d'ordre n — i un déterminant d'ordre n dans lequel tous les éléments d'une ligne (ou d'une colonne) sont égaux.

Considérons par exemple le déterminant

On peut retrancher les éléments de la première colonne des éléments de la seconde et de la troisième : on obtient ainsi le déterminant

La même proposition permet parfois de faire apparaître un facteur dans un déterminant dépendant de deux ou plusieurs variables. T. 24

Désignons par exemple pary*(^), g{x)^ h[x) trois polynômes en:c et par a, 6, c trois variables quelconques, et considérons le déterminant

fia) gia) h(a)

f(b} g{b) h{b) fie) g(c) hic)

On reconnaît de suite que le déterminant est divisible par 6 — a, car il s'annule identiquement quand on j remplace b par «, comme ayant alors deux colonnes identiques; il est de même divisible par c — b, a — c et, par conséquent, (n" 158), par [b — a){c — b) {a — c). On fera, si l'on veut, apparaître successivement ces facteurs en écrivant d'abord le déterminant sous la forme

fia) gia) hia)

f(b)-fia) gib)-gia) hib)-hia) /((^)—f(a) gic) — g{a) hic) — hia)

En désignant par F(a, b), G{a, b), H((7, 6) les quotients, évidemment entiers, de la division par b — a des polynômes /(b) — /{(i)-, g{b) — g{(^)i ^{b) — h{a), on voit que le déterminant proposé peut

s'écrire

fia) g(a) hia)

ib — a){c — a) F(a,è) G(a,6) H(a,6) F(a, c) G(a, c) H(a, c)

Dans le déterminant qui figure dans cette expression on peut remplacer les éléments de la seconde ligne par

Fia, b) — Fia, c), G(«. è) — G( a, o), H(a, 6) — H(a, c),

et ces nouveaux éléments sont tous divisibles par b — c; le reste est évident.

Cette méthode s'applique, par exemple, au déterminant

mais il est plus simple de remarquer ici que le déterminant est du troisième degré en a, b, c comme le produit (b — c){c — a) (a — b);

le quotient du déterminant par ce produit, qui doit être entier en a, 6, c, ne peut donc être qu'une constante ; la comparaison d'un même terme 6c-, par exemple, dans les deux développements montre que l'on a

= {b — c){c — a){a — b) = bc'^ -^ ca^ + ab^- — b^ c — c"^ a — a^- b.

Cette identité n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de l'identité que je vais énoncer.

Le déterminant du /i'^""^ ordre

dont la loi de formation est suffisamment évidente, est identique au produit

\ -^n ^n—\ ) ( ^n ^ ii—i ) \ -^ n ^n—3 ) • • • ( -^n — ^i )j

( ^«-2 — a:«-3 ) • • • ( Xn-i — a-, ),

Xi)

de toutes les différences que l'on peut former entre l'une quelconque des quantités a-,, x.^, . . . , x,i et celles qui la précèdent. On reconnaît comme plus haut que le déterminant s'annule si l'on suppose Xp = Xç^ par exemple, en supposant que les nombres naturels p, q soient différents entre eux et au plus égaux à n^ qu'il est divisible par le produit de toutes les différences, enfin que le déterminant et le produit développés contiennent un même terme a^2 -^^s • • • -2^" ' • On a rencontré déjà ce produit au n° 126.

150. Soient données n équations du premier degré à n inconnues

Xj = o, Xa = o,

X| , X2, . • • , X,, sont des polynômes du premier degré en a?, , ^o, . . . , Xii, que j'écrirai sous la forme suivante :

1 X2 = «2,1 X\-+- «2,2 ^2 + ' • •-*- (li,ii Xn-^ ^2,«+l7

Les coefficients des inconnues, d'une part, les termes tout connus «i,«+)j •••5 ^n,n+\i de l'autre, sont regardés comme des nombres donnés.

Désignons par A le déterminant du /^"'"'e ordre

'^f),! '^l,! • • • (^\,n «2)1 ^2)2 • • • CC^in

*^ni\ '^/J)2 • • • ^niti

que l'on appelle habituellement Le déterminant des équations (i); désignons, comme au n° 145, par A^^p le mineur de A relatif à l'élément û^a,p5 et supposons A différent de o. Si l'on multiplie respectivement par A,^p, Aa,^, . . ., A^^p les égalités qui définissent Xi, X2, . . ., X„ et que l'on tienne compte des identités du n" 1 io, on trouve

(3) A,,pXiH- A2,pX2-i-.. .+ A„,pX„= A:rp-i- Bp, en posant, pour abréger,

(4) Bp= Ai,p«i,„+i-i- A2,p«2,n-(-i-i-. ..-1- A„,p«,,,„+i.

L'égalité (3) valable pour ^ = 1, 2, . . . , « est une identité en J7), 372, •••5 Xa-i quand on regarde Xj, Xo, ...,X« comme étant mis, seulement pour abréger, à la place des seconds membres des égalités (îi). Elle met en évidence ce fait que X,, X2, ..., X,i ne peuvent être nuls

sans que x^ soit égal a -^; en d autres termes, les équations

Xi=o, entraînent les équations B,

et ne peuvent donc avoir d'autre solution que celle de ces dernières, qui est évidente. 11 reste à savoir si les valeurs trouvées ainsi satisfont effectivement aux équations proposées; c'est ce que l'on vérifie en y remplaçant .r,, x-i, . . ., x,t par les seconds membres des égalités (4) ou par le calcul suivant, qui revient au même : Récrivons plus explicitement les n identités (3), à savoir

Ai,i Xj -i- Aa,! X2-H. ..+ A„,i X„ = Aa-j -+■ B,, Al, 2 X, + Aï, 2 X2-1-. . .-1- A„,2 X„ = Axi-h B2,

Ai.«XiH- A2,«Xî-i-. . .-+- A„,„X„= Axn-\- B„;

multiplions-les respectivement par «a,»? «a, a? • • •? «a,» et ajoutonsles; on obtiendra, en tenant compte des identités du n" lio,

(6) AXa= aa,i(^a7i+B,)-l-aa,2(Aa72+B2) -(-. . .-f- aa,«( Aa:„-)- B„).

On a encore affaire ici à une identité en ^,, X2, . . . , ^«, quand on suppose X,, X2, ..., X/j remplacés par leurs expressions explicites (2). L'identité (6) montre que, si l'on suppose nulles les quantilés A^, -h B,, Ax-i-h B2, . . ., ^x,i-+- B«, X^ est nécessairement nul, et ceci, d'ailleurs, quelle que soit la valeur 1,2, . . ., n attribuée à l'indice a. En d'autres termes, les équations

(4) Aa7i-i-B| = o, Aa7.2 -H B2 = o. Aa:-„-i-B„=o

entraînent les équations

(i) Xi = o, X2 = o, X„ = o.

Les deux systèmes (1) et (4), lorsque A n'est pas nul, sont donc équivalents.

Lorsque le déterminant d'un système de n équations à n inconnues est différent de o, ce système admet une solution, et une seule- Cette solution est formée d'un système de n fractions, toutes précédées du signe — . Le dénominateur commun de ces fractions est le déterminant A des équations, lequel ne dépend que des coefficients des inconnues, nullement des termes tout connus a, ,l^.^, a2,«+(7 •••5 Un^n+i- Le numérateur de la fraction qui donne la valeur de x^ s'obtient en remplaçant dans A les coefficients «1,^, «2,^? •••? «rt,p de celte inconnue par les termes tout connus «, ^,1^, , a->^n+\ j • • • j cin,n-{ i •

Ce dernier point résulte de l'expression de Bp, qui s'obtient en remplaçant dans le développement

Ai,8«i,p-H A2,pa2,3 + - • --f- A,j,pa„,3

du déterminant A suivant les éléments de la j^'*'"* colonne, les éléments ai,p, «2,p, • . ., â5rt,3 de cette colonne, dont aucun ne figure dans les mineurs Ai^p, Ao^p, ..., A„^^, par les termes tout connus

J'ai supposé, dans ce qui précède, que les coefficients des inconnues «),i, ..., (2,1^,1 et les termes tout connus «!,«+(, ..., ««,«+) étaient des A<o/??6/v?5; il est clair que les résultats subsistent si l'on regarde les lettres «i^i, ..., ««,«, ..., ««,«4.1 comme désignant des variables, pour toutes les valeurs de ces variables qui n'annulent pas A; au reste, il convient de remarquer que les égalités (3) et (6), d'où le résultat essentiel a été tiré, sont non seulement des identités en X,, X21 ..., Xni mais encore des identités en .37,, j7o, ..., Xn-, «1^,, . . ., a„^„^ n\^n+\i ■ • •■, ciu,ii+\i pourvu qu'on y remplace non seulement X,, Xo, ..., X,< par leurs expressions explicites (2 ;, mais encore le déterminant A et ses mineurs A^^p par leurs expressions explicites en «(,<, ..., ««,« et les quantités B,, Bo, ..., B^ parles seconds membres des égalités (4). Gela résulte clairement de la démonstration.

Il convient encore de remarquer, sur les formules (4), que les expressions des quantités B,, B^, ..., B,^ sont linéaires en «(,/}+), ^2,rt4-ij ••'•, cin,n^\'t il en est de même, évidemment, des quotients de B,, Bo, ..., B,/ par le déterminant A, supposé différent de o, où ne figurent pas ai,,/+i, a2,«+i, . . ., ««,«4.1 ; il en est de même encore des inconnues 37, , ^To, . . ., x,i. Celles-ci peuvent être regardées comme des formes linéaires en «i^^^.!, a2,rt+n • • ••, CLn,n->r'i dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de «1,1, «1,25 ••• <^«,«' Si, en particulier, on attribue à ces dernières lettres des valeurs numériques qui n'annulent pas A, et si l'on regarde «!,«+,, «2,«+i5 • • ••, (iii,/i+\ comme des variables, les expressions de X(, Xo, •.., x,i sont des formes linéaires en a^^,l^^, ao,^^.!, a„ «4., à coefficients numériques.

Enfin, il est à peine utile de dire que, lorsqu'il s'agit d'équations purement numériques, on peut, si l'on veut, se servir des formules générales établies plus haut (en supposant toujours A différent de o) pour calculer les valeurs numériques des inconnues. A la vérité, les

nÉTERMINANTS. 875

simplifications dont les équations proposées sont susceptibles en raison de la forme spéciale qu'elles peuvent affecter, apparaissent souvent d'une façon moins facile sur ces formules que sur les équations proposées elles-mêmes, au moins quand on n'a pas l'habitude de manier les déterminants. Il convient de remarquer, toutefois, qu'aux combinaisons des équations dont on peut apercevoir la convenance sur les équations correspondent, le plus souvent, des combinaisons des lignes des déterminants qui conduisent à des simplifications équivalentes.

Les formules générales, quand on les applique à des équations numériques dont les coefficients ne sont connus qu'imparfaitement, montrent que, lorsque A est très petit, les erreurs sur les résultats qu'entraînent les erreurs sur les données peuvent être très considérables; si, par exemple, A se trouvait être du même ordre de petitesse que les erreurs possibles sur les données, il n'y aurait rien à tirer des équations.

Avant d'étudier le cas où A est nul et le cas où le nombre des équations diffère du nombre des inconnues, il convient d'introduire une notion nouvelle.

151. Rang d'un tableau rectangulaire. — Considérons, en général, un tableau rectangulaire comprenant np éléments distribués dans p lignes horizontales, et n colonnes verticales

^l>Ai

Désignons par a un nombre naturel au plus égal au plus petit des nombres /i, /?, et supposons qu'on supprime n — a colonnes et /> — a lignes du tableau, il restera a- éléments distribués dans a lignes et a colonnes; dans le cas où a serait égal à /i, ce qui suppose w^yo, il faut entendre qu'on ne supprime aucune colonne et qu'on supprime/? — n lignes; de même, dans le cas où a serait égal à /?, ce qui suppose p^n^ il faut entendre qu'on ne supprime aucune ligne et qu'on supprime n — p colonnes; si l'on avait (x^ p :^ n^ on laisserait le tableau carré tel quel.

Dans tous les cas, les a- éléments restants peuvent être regardés

comme les éléments d'un déterminant du a''""" ordre; je dirai d'un pareil déterminant qu'il est tiré du tableau, en sous-entendant le procédé que je viens de décrire; les éléments mêmes du tableau seront regardés comme des déterminants tirés du tableau par la suppression de n — I lignes et de /> — i colonnes. Si l'on considère, par exemple, le tableau

on peut en tirer quatre déterminants du troisième ordre par la suppression de la première, de la seconde, de la troisième ou de la quatrième ligne; le premier de ces déterminants est

On peut en tirer dix-huit déterminants du second ordre par la

suppression d'une ligne et de deux colonnes; tel est, par exemple, le

déterminant

On peut en tirer enfin douze déterminants du premier ordre, à savoir les éléments mêmes du tableau.

Revenons au cas général, et observons d'abord que, si l'on considère un déterminant d'ordre a >> 1 tiré du tableau, les mineurs relatifs aux éléments de ce déterminant seront des déterminants d'ordre a — I tirés eux-mêmes du tableau; inversement, tout déterminant d'ordre a — i tiré du tableau peut évidemment être regardé comme un mineur relatif à un élément de quelque déterminant d'ordre a tiré de ce tableau.

Ceci posé, supposons que les éléments du tableau soient des nombres. La plus grande valeur possible du nombre a telle qu'un déterminant d'ordre a tiré du tableau ne soit pas nul joue, comme on le verra, un rôle important : on appelle ce nombre le rang du tableau. On voit de suite comment se détermine ce rang :

On donne d'abord à a la plus grande valeur possible, à savoir le plus

petit des nombres n, />] supposons, pour fixer les idées, yo^/i. Si l'un des déterminants d'ordre p tirés du tableau n'est pas nul, le tableau est de rang p. (Il n'j aurait qu'un pareil déterminant si l'on avait p = n.) Supposons que tous les déterminants d'ordre p tirés du tableau soient nuls, on examinera les déterminants d'ordre p — i qu'on peut tirer du tableau ; s'il j en a un qui soit différent de o, le tableau est de rang p — i . Lorsque tous les déterminants d'ordre p — i sont nuls, on examine tous les déterminants d'ordre/? — 2; si l'un d'eux n'est pas nul, le tableau est de rang/? — 2, ...

On observera que, si un déterminant d'ordre a tiré du tableau n'est pas nul, le tableau est eertainement de rang égal ou supérieur à a; si, en particulier, l'un des éléments du tableau n'est pas nul, le rang du tableau est au moins égal à i ; le cas où tous les éléments du tableau seraient nuls échappe à la définition précédente, puisque alors, tous les déterminants tirés du tableau sont manifestement nuls; on dit alors que le tableau est de rang o.

Si tous les déterminants d'ordre a que l'on peut tirer du tableau sont nuls, on peut affirmer que le rang du tableau est inférieur à a; en effet, tout déterminant d'ordre a + i que l'on peut tirer du tableau est nul comme ayant ses mineurs nuls; de même tout déterminant d'ordre a H- 2, . . .

Si le tableau est de rang a, un déterminant quelconque, non nul, d'ordre a, tiré du tableau comme on vient de dire, s'appelle un déterminant principal àxx tableau.

On voit, d'après ce qui vient d'être dit, comment écrire les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tableau de np éléments, rangés dans n colonnes et dans p lignes, soit de rang inférieur ou égal à a : on écrira que tous les déterminants d'ordre a + i tirés du tableau sont nuls. Quelques-unes de ces conditions peuvent d'ailleurs rentrer dans les autres. Si l'un des déterminants d'ordre a tirés du tableau est différent de o, le tableau sera de rang a; si tous ces déterminants sont nuls, le tableau sera de rang inférieur à a.

Il est clair que le rang d'un tableau ne change pas quand on échange les lignes entre elles, ou les colonnes entre elles; supposons qu'on ait affaire à un tableau de rang a >> o : fixons notre attention sur un des déterminants principaux; on peut, par des échanges successifs, amener les a lignes qui en contiennent les éléments à être les a premières lignes du tableau, les a lignes du haut; on peut, de même, par

des échanges successifs de colonnes, amener les a colonnes qui contiennent les éléments du déterminant principal à être les a premières colonnes du tableau, les a colonnes de gauche; on voit ainsi que l'on peut s'arranger pour que le déterminant principal occupe le coin supérieur, à gauche du tableau.

Si l'on supprime d'un tableau rectangulaire quelques lignes ou quelques colonnes, le rang du tableau ainsi modifié sera égal ou inférieur à celui du tableau proposé : il lui sera égal, lorsque la suppression des lignes ou des colonnes aura laissé inaltéré quelque déterminant principal.

Lorsque le rang d'un tableau est égal à 2, les éléments de chaque ligne sont proportionnels aux éléments correspondants d'une ligne quelconque, de même pour les colonnes.

Il résulte évidemment de la définition du rang d'un tableau, qu'on ne modifie pas ce rang en introduisant dans le tableau des colonnes, ou des lignes, formées d'éléments tous nuls.

152. Si l'on considère un déterminant A, d'ordre n, le rang de ce déterminant n'est autre chose que le rang du tableau carré formé par ses éléments. On a désigné, au n" 143, sous le nom de mineur de A relatif à un élément de ce déterminant, le déterminant (affecté d'un signe convenable) que l'on déduit de A par la suppression de la ligne et de la colonne qui contiennent l'élément considéré; on désigne aussi sous le nom de mineur de A tout déterminant qu'on en déduit par la suppression de a lignes et de a colonnes. Il est nécessaire de distinguer tous ces mineurs. Ceux que j'ai désignés jusqu'ici comme les mineurs relatifs à un élément sont ce qu'on appelle aussi les premiers mineurs; les mineurs obtenus par la suppression de a lignes et de a colonnes sont les a'^""®* mineurs; ils sont des déterminants d'ordre n — a. Au lieu de premier, second, . . ., a'^™" mineur, on dit aussi mineur du premier, du second , . . . , du a'*"'" ordre ; la confusion qui peut résulter, dans cette façon de parler, de l'ordre d'un mineur et de l'ordre du déterminant qu'est ce mineur rend cette façon de parler un peu gênante. Au lieu du mot mineur, quelques auteurs emploient le mot sous-déterminant.

Quoi qu'il en soit, dire qu'un déterminant d'ordre n est de rang /•, c'est dire qu'il j a un mineur du déterminant qui, en tant que déterminant, est d'ordre r, un (/i — j-y^'^^f mineur, si l'on veut, qui n'est

pas nul, tandis que tous les déterminants d'ordre supérieur à r qu'on peut tirer du déterminant parla suppression de lignes ou de colonnes sont nuls. Dire que le déterminant est de rang /i, c'est dire qu'il n'est pas nul; dire qu'il est de rang o, c'est dire que tous ses éléments sont nuls.

153. Considérons/? polynômes du premier degré X|, X2, ..., Xp à n variables x,, Xo^ ..., x„ : on dit que ces polynômes sont indépendants lorsque l'on peut attribuer aux variables x,^ Xo-, . . -, Xu des valeurs qui fassent acquérir aux polynômes telles valeurs que l'on voudra. En particulier un polynôme du premier degré est indépendant quand le coefficient de l'une des variables, dans ce polynôme, n'est pas nul ; on pourra, en efiet, donner aux autres variables telles valeurs que l'on voudra; il restera, pour lui faire acquérir la valeur A, à résoudre une équation du premier degré dans laquelle le coefficient de l'inconnue n'est pas nul.

Si les p polynômes X,, Xo, ..., X^ du premier degré en x^^ Xo^ ..., x„ sont indépendants, /• polynômes choisis parmi ceux-là sont évidemment indépendants.

En conservant la même supposition, et en supposant de plus que X',, X!,, .... X' désignent soit des constantes, soit des polynômes du premier degré par rapport à des variables qui ne figurent pas dans X,, Xo, . . ., X^, les polynômes

sont indépendants; en effet, on peut attribuer aux variables qui figurent dans X'j, X!,, ..., X^ des valeurs numériques arbitraires, puis à X), Xo, . . ., Xfi des valeurs qui satisfassent aux équations

quels que soient les nombres A,, Ao, . . ., A/<.

Les p polynômes du premier degré en J7, , x.y, . • ., Xp,

•^ p -1 ~l~ ^p—\,p-^ pi

38o CHAPITRE X,

OÙ a,, 25 «1,3? • • • sont des constantes, sont indépendants : si, en effet, on égale ces différents polynômes à des constantes arbitraires, la dernière équation, qui ne contient que Xp^ sera toute résolue; la précédente donnera la valeur de Xp^^ la précédente celle de Xp^i^ ... ; la même conclusion subsisterait évidemment si, la forme des polynômes restant la même, les variables x^^x.^^ . . . , Xp^ au lieu d'avoir des coefficients égaux à 1 , avaient des coefficients numériques quelconques, dont aucun ne serait nul. Elle subsisterait encore, en vertu d'une remarque précédente, si l'on ajoutait aux polynômes considérés, soil des constantes numériques, soit d'autres polynômes du premier degré par rapport à d'autres variables.

154. On va apprendre à reconnaître si p polynômes du premier degré donnés sont indépendants ou non, et, plus généralement, combien, parmi eux, il y a de polynômes indépendants. Cela, comme on va le voir, ne dépend que des coefficients des variables, nullement des termes constants.

Supposons les polynômes du premier degré écrits les uns au-dessous des autres de manière que les coefficients d'une même variable figurent dans une même colonne verticale : les coefficients qui manquent étant remplacés par des zéros. Les coefficients de toutes les variables forment alors un tableau rectangulaire tel que ceux que nous avons considérés dans le n" 151. J'appellerai rang du système de polynômes ou, plus brièvement, rang des polynômes, le rang de ce tableau. Je vais montrer que le rang d'un système de polynômes est égal au nombre des polynômes de ce système qui sont indépendants.

Je supposerai d'abord que ce rang soit égal au nombre des polynômes, pour montrer que, dans ce cas, les polynômes sont indépendants.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois polynômes : si le rang du tableau est 3, ces polynômes contiennent au moins trois variables, puisque le rang du tableau ne peut être inférieur au nombre des colonnes, c'est-à-dire au nombre des variables dans les polynômes; supposons que ceux-ci contiennent cinq variables, et soient

ax

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