H CZ

dt

-i- eu -\-

DÉTEBMINANTS. 38l

les trois polynômes : le tableau des coefficients est alors

et, par hypothèse, l'un des déterminants du troisième ordre tiré de ce tableau, par exemple le déterminant

abc a' b' c' a" b" c"

n'est pas nul; si l'on veut que les polynômes X, Y, Z acquièrent les valeurs numériques A, A', A", on attribuera aux variables i, m, dont les coefficients ne figurent pas dans le précédent déterminant, des valeurs numériques quelconques et l'on résoudra les trois équations

en X, y, 2

ax -(- by -{- cz -\- dt -\- eu -^ p — A = o, a' X -\- b' y -i- c' z -\- d' t -h e' u -k- p' — A' = o,

dont le déterminant n'est pas nul, et qui, par conséquent, admettent une solution. La proposition est démontrée. Il est clair qu'il n'y aurait rien à changer dans la démonstration, s'il n'y avait que trois variables x^y^ -S, si ce n'est qu'on n'aurait pas eu à attribuer à ^, a de valeurs numériques.

loo. Considérons maintenant le cas où le rang du tableau est inférieur d'une unité au nombre des polynômes; je vais prouver que les polynômes ne sont pas indépendants et qu'il existe entre eux une relation identique du premier degré.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de quatre polynômes, et que leur rang soit égal à 3 : ces polynômes devront contenir au moins trois variables. Soient

\.:^ax -\- by -+-CZ -^ dt -heu -+- p, Y = a' X -h b'y -h c' z -^- d' t -\- e' u -i- p' , Z = a!'x -4- b"y -l- c z -+- d" t -\- e" u -H p" , T = a:"x -h b"'y -+■ c'" z + d'" t + e'" u + p"

38'2 CHAPITKE X.

ces polynômes : le tableau des coefficients est ici

Il est, par hypothèse, de rang 3, c'est-à-dire que l'on peut en tirer un déterminant du troisième oidre qui ne soit ])as nul et que tous les déterminants du quatrième ordre que l'on peut en tirer sont nuls; je suppose que le déterminant du troisième ordre

ne soit pas nul : on peut, comme on l'a expliqué plus haut, en changeant au besoin l'ordre des polynômes et des variables, supposer que ce soit ce déterminant-là qui ne soit pas nul, du moment qu'il y a un déterminant du troisième ordre qui est diflerent de o.

Il résulte de l'hypothèse faite sur le déterminant A que les polynômes X, Y, Z sont indépendants.

Considérons le tableau

obtenu en plaçant sous le déterminant considéré les coefficients a'", b'", c'" qui, dans le polynôme T, multiplient les variables x, y, z dont les coefficients figurent dans le déterminant principal A. Les trois colonnes de ce tableau peuvent être regardées comme les trois premières colonnes d'un déterminant du quatrième ordre, déterminant dont la quatrième colonne serait formée d'éléments arbitraires; désignons par X, V, X", V" les mineurs de ce déterminant relatif aux éléments de cette quatrième colonne, à savoir

DETERMINANTS.

Il importe de remarquer, d'une part, que le mineur À'"= A n'est pas nul, par hypothèse, d'autre part que l'on a

Id -hVd -h / " d" -h À'" d"'= o,

puisque les premiers membres de ces égalités ne sont autre chose que les déterminants du quatrième ordre

tirés du tableau.

Ceci posé, multiplions les égalités qui définissent les polynômes X, Y, Z, T par A, V, X", X'" et ajoutons-les : dans le second membre, les coefficients des variables f, a seront nuls, en vertu de la remarque qu'on vient de faire ('), il en serait de même des coefficients de .r, y^ ^, en vertu des relations entre les éléments d'un déterminant et les mineurs établies au n** 14o. On parvient donc à la relation

cette relation est une identité en a?, y^ z, t^ m, quand on remplace, dans le premier membre, X, Y, Z, T par leurs expressions explicites. Dans cette identité V" n'est pas nul. Le second membre n'est autre chose que le déterminant que l'on obtient en adjoignant au tableau (2) une quatrième colonne formée des termes constants

On tire de l'identité (3) la suivante

T = aX

yZ^-o,

(' ) Si les poijnomes X, Y, Z, T ne contenaient que les trois variables x, y, z, il n'y aurait pas lieu de considérer les variables i, u; mais tout le reste de la démonstration subsisterait.

en posant

fi >^'

\p + Vp'^\"p"^V"p"'

Si, par exemple, on considère les polynômes

on reconnaît de suiie que les trois premiers sont indépendants et que l'on a identiquement, en x, y, z, t, a,

Le lecteur n'aura d'ailleurs aucune peine à retrouver cette relation par la méthode qu'on vient d'expliquer.

On observera que, dans l'expression (4) de T, les coefficients a, [3, y de X, Y, Z ne dépendent que des coefficients des variables dans les quatre poljnomes, nullement des termes constants, qui n'interviennent que dans 8.

De cette expression de T, il résulte évidemment que les quatre polynômes X, Y, Z, T ne sont pas indépendants, puisque la valeur de T résulte de celles des trois poljnomes indépendants X, Y, Z. En particulier, pour des valeurs des variables qui annulent X, Y, Z, il est clair que T prendra la valeur §, en sorte que, si o n'est pas nul, les équations X = o, Y = o, Z = o, T^o sont certainement incompatibles; c'est ce qui arriverait dans l'exemple numérique que l'on a donné. Au contraire, si o est nul, les trois premières entraînent la dernière.

Dans ce qu'on vient de dire, se trouve contenue la solution de la question suivante :

DETERMINANTS.

156. On donne n équations du premier degré à n inconnues, dont le déterminant nest pas nul, et un polynôme du premier degré dont les n variables sont désignées parles mêmes lettres que les inconnues des n équations, calculer ce que devient le polynôme quand on y remplace les variables par les valeurs des inconnues qui vérifient les équations.

Les n + I polynômes du premier degré à n variables formés par le polynôme et les premiers membres des équations, dont le second membre est supposé nul, forment un système de rang /i; il ne peut, en effet, être de rang supérieur, puisqu'il n'y a que n variables; il c^t bien de rang /?, puisque le déterminant des n équations n'est pas nul. La relation qu'on vient d'apprendre à former entre ces n -\- i polynômes fournit la réponse à la question posée.

Supposons, par exemple, qu'on donne les trois équations en x^ y, z

ax-+-by-\-cz-^p =o, a' X ^r- b' y -\- c z -\- p' = o,

dont on suppose que le déterminant ne soit pas nul, et qu'on veuille calculer la valeur du polynôme i^" x -h b'" y -{- d" z -\- p'" . Désignons par T ce dernier polynôme et par X, \ , Z les premiers membres des équations; on est dans le cas qu'on vient d'étudier, de quatre polynômes de rang 3 ; il suffit, en conservant les mêmes notations que dans le numéro prc-cédent, de supposer nuls les coefficients d^ d' ^ d!\ d"\ e, e', e", e'" , pour voir que les polynômes X, Y, Z, T sont liés par la relation identique en x, y^ s,

T = aX-+- ^Y^yZ + S et que la \aleur cherchée de T est 8 ou

On voit, en supposant toujours que le dénominateur de la fraction T. 25

précédente ne soit pas nuJ, que la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre équations, à trois inconnues,

admettent une solution est que l'on ait

et cela reste évidemment vrai, lors même que le déterminant des trois équations X = o, Y = o, Z = o serait nul, pourvu que, parmi les quatre équations, il y en ait trois dont le déterminant ne soit pas nul, pourvu, en d'autres termes, [que le système des quatre polynômes X, Y, Z, T soit de rang 3.

On dit souvent que l'équation précédemment obtenue est le résultat de V él'unination de x^ y, z entre les quatre équations X ^ o, Y = o, Z = o, T = o, c'est-à-dire la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces quatre équations pour qu'elles admettent une solution en x, )', z. Ceci, toutefois, n'est exact que si les quatre polynômes du premier degré X, Y, Z, T sont de rang 3.

Ces résultats s'étendent, évidemment, à un système de n + i équations du premier degré à n inconnues, quand le système des n -t- i premiers membres est de rang n.

157. Revenons au cas général; considérons les p polynômes du premier degré X ,, X2. . . ., X,, à n variables ;r,, ^j, . . ., x„, savoir :

X2 = «2,1 ^1-1- «2,2 CC2-h. . .-h a^^n X„-h Ui^n-hi,

et le tableau

\p — «/),1 ^1 -^ (^ i>,t^î -+-..•-!- a i),n^n ■+" «/>,ra-i-l>

«1,1) «1,2> • • •) «1,«) «2, Il «2,2) • • • ) «2, ni

des coefficients des variables; soit r le rang de ce tableau, rang qui est au plus égal au plus petit des nombres /i, p. Je vais montrer, d'une part, que, parmi les polynômes X( , X2, . . . , X«, il y en a r, et seulement /', qui sont indépendants, et, d'autre part, que tous les polynômes s'expriment au moyen de ceux d'entre eux qui sont indépendants.

Si r est nul, tous ces polynômes se réduisent à des constantes; aucun n'est indépendant. Supposons r >> o. Parmi les polynômes X,, X2, ..., X^, il y en a certainement r qui sont indépendants; à savoir ceux qui correspondent aux lignes du tableau où figurent les éléments de ce déterminant du r'^™* ordre qui, par hypothèse, n'est pas nul. Rien n'empêche, quitte à changer l'ordre des variables et des polynômes, de supposer que ce déterminant soit

^i,i ^2,2 • • • <^2,7' €tf \ Q^p 2 ... ^ r r

Les polynômes X), X2, . . ., X^ seront alors indépendants; si /• est égal à/?, les p polynômes considérés sont indépendants et l'on a certainement p^n. Supposons r <i p\ si, aux /• polynômes indépendants X(, Xo, . . ., X;., on associe l'un des polynômes X^+i, X^^aj - • •■> X„, par exemple le polynôme X^, les r -\- \ polynômes X,, X2, ..., X^, Xj ne seront pas indépendants, puisque le rang r du tableau de leurs coefficients est inférieur d'une unité à leur nombre, et le dernier Xf pourra s'exprimer au moyen des r premiers par une formule telle que

où a^^i, y-s^ii ..., ^s ri '^s r+\ désignent des constantes numériques que l'on déterminera par le procédé expliqué plus haut; les deux membres de l'égalité précédente sont identiques en or,, Xi. ..., Xn quand on remplace X,, Xo, ..., X;-, X^ par leurs expressions explicites. En d'autres termes, X^ peut être regardé comme un polynôme du premier degré, dont les r variables s'appelleraient X,, Xo, ..., X,.. Je dirai, dans le même sens, que X, s'exprime au moyen de X,, Xj, . . ., X,- en sous-entendanl que V expression est un polynôme du premier degré. Cette formule met en évidence la dépendance

des polynômes X,, X^, ..., X^, X^, le fait que la valeur numérique de Xj est déterminée quand les valeurs des polynômes X,, Xj, ..., X,. sont déterminées. En particulier, il est clair que, si l'on attribue aux variables ^,, x-,^ ..., Xu des valeurs qui annulent X,, X2, ..., X;., la valeur de X^se réduira à aj,r+i, en sorte que, si a^,r+) n'est pas nul, les équations

sont incompatibles, et que, si a^^r+i est nul, les /• premières équations entraînent la dernière. Je rappelle que aj,r4.i est égal à une fraction dont le dénominateur est le déterminant A, et dont le numérateur est le déterminant du (/• + i)"^m« ordre

Ac =

«l,r «l,ra+l «2,r «2,7i-f-l

S est un quelconque des nombres /■ + i , /■+ 2, . . ., /i.

Les remarques que voici sont des conséquences faciles des explications qui précèdent :

La condition nécessaire et suffisante pour que p polynômes du premier degré soient indépendants est qu'ils soient de rang p. En particulier, s'il y a plus de polynômes que de variables, les polynômes ne peuvent être indépendants.

Si p polynômes du premier degré à n variables sont de rang /■, r de ces polynômes sont indépendants; il peut se faire qu'on puisse, avec ces p polynômes, former plusieurs systèmes de /• polynômes indépendants, mais on ne peut en trouver r + i qui soient indépendants, car, s'il y avait un système de /• 4- i polynômes qui fussent indépendants, ce système serait de rang /• 4- 1 : il y aurait donc un déterminant non nul d'ordre r -\- 1 tiré du tableau des coefficients des n variables. En d'autres termes, le rang d'un système de polynômes du premier degré est le nombre maximum de polynômes indépendants que l'on puisse trouver parmi eux.

Si le système de polynômes X,, Xj, ..., X^ du premier degré en x^^ X2^ . . ., x,i est de rang /■ et si X|, X2, . . ., X^ sont indépendants,.

DÉTERMINANTS. SSg

les autres polynômes X^^,, X,^.2, ..., X^ s'expriment au moyen de ceux-là, comme on l'a vu, par des formules telles que

X.Ç = ot,ç,i Xi -H a,ç^2 X2-I-. . . -(- a^,,. X;.-!- rXg^r-^-i-

Les p — r polynômes du premier degré en X,, Xo, . . ., X^