EXTENSION DE L'IDÉE DE COUPURE : ARCS, AIRES

26. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que la définition de rt^, pour a irrationnel, reposait sur une extension de la notion de coupure; je n'exposerai pas ici les théorèmes généraux auquels donne lieu celte extension, dont je me contenterai de donner tout à l'heure quelques exemples.

Auparavant, je veux faire une remarque. On n'a considéré jusqu'ici que des coupures pratiquées dans l'ensemble des nombres rationnels; on pourrait, tout aussi bien, considérer une coupure pratiquée dans l'ensemble des nombres réels, ranger tous ces nombres dans une première et dans une seconde classes, tous les membres de la première classe étant plus petits que chaque nombre de la seconde classe ; une pareille coupure définit encore un nombre, comme on le voit, par exemple, en pensant à l'image qui nous a servi plusieurs fois : seulement, ici, ce nombre a du forcément être rangé soit dans la première, soit dans la seconde classe. On voit sans peine que, dans le premier cas, il est le plus grand des nombres de la première classe et que, dans le second, il est le plus petit des nombres de la seconde classe.

Arcs et aires. — Soit à définir la longueur de la circonférence d'un cercle (G). Désignons, en général, par p le périmètre d'un polygone [p) convexe inscrit dans le cercle, paryo' le périmètre d'un polygone {p') circonscrit au cercle; une proposition classique de géométrie élémentaire fournit de suite l'inégalité p <Cp' ', d'autre part, un raisonnement bien connu permet de montrer que, en choisissant pour les polygones (p) et (/?') des polygones réguliers d'un même nombre décotes, suffisamment grand, la différence/?' — p peut être supposée aussi petite qu'on le veut. Ces deux remarques, en s'aidant de la même image qui nous a déjà servi aux n"* 10 et 25, suffisent

à définir la longueur de la circonférence comme un nombre plus grand que le périmètre d'un polygone convexe quelconque inscrit dans le cercle, plus petit que le périmètre d'un polygone quelconque circonscrit au cercle. Il suffira, en effet, d'imaginer que sur l'axe X'X on ait figuré en bleu, d'une part, les points dont l'abscisse est égale au périmètre d'un polygone convexe inscrit ; qu'on ait figuré en rouge, d'autre part, les points dont l'abscisse est égale au périmètre d'un polygone circonscrit, qu'on ait coloré en bleu toute la partie de l'axe qui est en deçà d'un point bleu, en rouge toute la partie de la droite qui est au delà d'un point rouge, pour reconnaître que la partie bleue ne peut empiéter sur la partie rouge, et qu'il ne peut y avoir aucun intervalle entre la partie bleue et la partie rouge; ces deux parties sont séparées par un point dont l'abscisse est la longueur de la circonférence. Un polygone inscrit et un polygone circonscrit fournissent des valeurs approchées, par défaut et par excès, de cette longueur avec une erreur moindre que la différence entre les deux périmètres. Il va de soi que cette définition pourrait être présentée sous forme abstraite.

Elle s'étend à la définition de la longueur d'une courbe fermée convexe, pourvu qu'on sache établir l'existence de polygones inscrits et circonscrits dont les périmètres diffèrent aussi peu qu'on le veut.

Elle s'étend aussi à la définition de la longueur d'un arc de courbe convexe, en particulier à la définition de la longueur d'un arc de cercle AB, celle-ci étant plus grande que la longueur de toute ligne brisée convexe inscrite dans AB, commençant en A, finissant en H, et plus petite que la longueur de toute ligne brisée circonscrite à l'arc et limitée aux mêmes points A, B.

Si l'on considère un troisième point G du cercle, tel que B soit compris entre A et G, et si l'on désigne respectivement par rt, ft, c les longueurs des arcs AG, AB, BG, on aura a^b -\- c.

Gonsidérons, en effet, une ligne brisée convexe incrite dans l'arc AB, commençant en A, finissant en B, une ligne brisée convexe inscrite dans l'arc BG, commençant en B, finissant-'en G, leur réunion constituera une ligne brisée inscrite dans l'arc AG; désignons respectivement par 6', c', a! les longueurs des lignes brisées inscrites dans les arcs AB, BG, AG; on aura a' = b' -\- c' ] or, en choisissant pour les lignes brisées des lignes brisées régulières d'un nombre de côtés suffisamment grand, on peut faire en sorte que a', b\ c' dif-

fèrent aussi peu qu'on le veut de a, b^ c; les deux nombres aelb -^ c sont donc égaux, puisqu'il y a des nombres a'= b' -\- c' qui diffèrent aussi peu qu'on le veut de l'un ou de l'autre.

L'aire d'un cercle (C) peut se définir de la même façon. Désignons par p l'aire d'un poljgone (/?) dont la ligne fermée qui le limite ait tous ses points à l'intérieur du cercle G ou sur sa circonférence; par /j' l'aire d'un polygone (/>') dont la ligne fermée qui le limite ait tous ses points à l'extérieur du cercle (C) ou sur sa circonférence; on aura p <^ p' . D'un autre côté, en prenant pour les polygones [p) et (/?') des polygones réguliers d'un même nombre de côtés, suffisamment grand, il est aisé de voir que la différence p' — p peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

L'aire du cercle peut, d'après cela, être regardée comme un nombre plus grand que l'aire de n'importe quel polygone {p)i plus petit que l'aire de n'importe quel polygone (/?')• Cette propriété, en vertu d'une démonstration que je crgis inutile de répéter, suffit à définir cette aire. Les nombres/? ety^' en fournissent des valeurs approchées avec une erreur moindre que />' — p.

Il est évident que ce mode de définition s'étend à l'aire d'une courbe fermée quelconque, pourvu qu'on sache prouver que, parmi les polygones intérieurs à la courbe et les polygones extérieurs, il y en a dont les aires diffèrent aussi peu qu'on veut.

On pourrait ensuite démontrer, d'une façon analogue à celle dont on s'est servi pour les arcs, que, si l'on considère deux aires P, Q, limitées respectivement par les lignes ABC, DBC, qui ont une partie commune, les deux aires n'ayant pas de points communs en dehors de la limite commune BC, le nombre P -H Q mesure l'aire totale, obtenue en supprimant la limite commune BC, et limitée ainsi par la courbe ABDC. On suppose, bien entendu, que la définition qui a été précédemment esquissée s'applique aux aires considérées.

EXERCICES

1. Calculer les valeurs approchées à o,oi près, par défaut, des nombres -, T.\ -, ^2, s/r. — ^e,

en supposant

2. Soit a un nombre entier plus grand que i et n un nombre naturel quelconque ; la valeur approchée à — près, par défaut, d'un nombre quelconque A peut se mettre sous la forme

A„ = ao+^-l--+... + -,

en désignant par ao un nombre entier et par ai, a,, . . ., a„ des nombres entiers positifs ou nuls, moindres que a, et ne peut être mise sous cette forme que du ne seule façon.

En supposant « = 2, A = ^2, « = lo, calculer les nombres ao, a,, a^ . . ., aïo-

3. En supposant qu'on ait obtenu, sous la forme indiquée dans l'exercice précédent, la valeur approchée à — près de A, par défaut, quelle est la valeur

approchée de A, par excès, à — près ? quelle est la valeur approchée de A par

défaut, à — près, en supposant que le nombre naturel/) soit inférieur à n?

■4. En conservant les mêmes notations que dans l'exercice (2), il est clair que, si l'on se donne les nombres A et a, le nombre a,î est déterminé, quelque grand que soit le nombre naturel n : Dans quel cas arrive-t-il que tous les nombres a/j soient nuls à partir de l'un d'eux? Dans quel cas arrive-t-il qu'ils se reproduisent périodiquement, à partir de l'un d'eux ?

Quelle est la période des nombres «i , «2, • • • , ^n-, • • -i quand on prend a = 2,

il ne peut pas arriver que les nombres aj, «2, ..., a,., soient tous égaux à a — I, à partir de l'un d'eux.

5. Si l'on se donne, d'une part, le nombre entier a plus grand que i et, d'autre part, le nombre entier positif, nul ou négat'f ao, et la suite infinie (•) de nombres entiers positifs ou nuls et tous inférieurs à a,

a,, aa, . . ., a„, . . .,

(') En disant que la suite a,, a^, ..., a„, est infinie, on entent! que chaque

terme de cette suite est suivi d'un autre terme; en disant qu'on se donne cette suite, on entend qu'on se donne le moyen de calculer n'importe quel terme de cette suite quand on connaît son rang.

il existe un nombre rationnel ou irrationnel A dont la valeur approchée à — près, par défaut, est

et cela quel que soit le nombre naturel n, pourvu toutefois que les nombres ai, a.,, ..., a„, ... ne soient pas, à partir de l'un d'eux, toujours égaux à a — I. Si pour n^p on a a,j = a — i, le nombre A/,, quand n grandit indéfiniment, s'approche indéfiniment de la limite A/, -i •

6. On peut calculer la valeur de «« où a et a sont des nombres positifs donnés, avec telle approximation que l'on veut, par des multiplications et des extractions de racines carrées : il suffit pour cela de remplacer a par sa valeur approchée à — en prenant n suffisamment grand. Montrer comment le calcul

peut se faire en profitant de la forme indiquée à l'exercice i.

Calculer de cette façon 3^- en se servant de la valeur approchée de s/x

à — j- près : Sur quelle approximation peut-on compter ?

, 7. On donne une suite infinie «i, a^, . . ., a„, ... de nombres entiers, tous plus grands que i.

La valeur approchée d'un nombre A à près, par défaut, peut se

mettre, et cela d'une seule façon, sous la forme

A „ = ao

tti aya^ aiUitti aia-2

où ao désigne un nombre entier et aj, ol^, ..., «« des nombres entiers tous positifs ou nuls, respectivement inférieurs à «i, «21 • • -i «/c

Calculer les nombres «oi ^tj, a,, as, a^ en supposant A = 2,7182818. . . et «1 = 2, «2 = 3, ...,«/,= /i -I- 1, ... .

Supposons, en revenant au cas général, qu'on ait mis la valeur approchée

de A à près, par défaut, sous la forme indiquée plus haut, cornez 1 of 2 . . • ^'^ti

ment peut-on mettre sous la même forme, la valeur approchée de A à

cil ^2 ' • • ^^./

près, par excès, la \aleur approchée de A à - — — — — ■ près, par défaut, en

aj «2 • • • ^p

supposant le nombre naturel p inférieur an?

8. Si, dans l'exercice précédent, on suppose que n croisse indéfiniment, le nombre a,, est évidemment déterminé, pour chaque valeur de aj, quand on se

NOMBRES IRRATIONNELS. oy

donne A. Montrer qu'il ne peut pas arriver que l'on ait pour toutes les valeurs de n égales ou supérieures à /?, «„ = a„ — i.

Si Ton suppose, comme dans l'exemple numérique de l'exercice précédent, 4|ue l'on ait

«1 = 2, «2=3, ..., rt,j— /i-i-i, ...,

les nombres aj, a», ..,, a„ seront tous nuls à partir de l'un d'entre eux si A est rationnel, et seulement dans ce cas.

9. Si l'on se donne, d'une part, la suite infinie de nombres entiers «i, «a, . . ., «,,, . . ., tous plus grands que i, d'autre part le nombre entier ao, et la suite infinie de nombres entiers positifs ou nuls ai, a2, ..., a„, ... respectivement plus petits que «i, «2, .... «;,, il existe un nombre A tel que la valeur approchée de ce nombre à près, par défaut, soit égale à

et cela quel que soit n, pourvu que l'on n'ait pas a,i= a,i — 1 pour toutes les valeurs de n supérieures ou égales à un nombre naturel p.

Dans le cas où l'on a a„= «„ — i pour toutes les valeurs de n supérieures ou égales à /?, le nombre A„, quand n grandit indéfiniment, s'approche indéfiniment de la limite A„H •

10. A quelle condition les nombres rationnels a, 6, a', h' doivent-ils satisfaire pour que l'expression

où A est un nombre irrationnel, soit un nombre rationnel?

11. Si a et b sont des nombres rationnels positifs, le nombre ^a -\- ^b ne peut être rationnel si a et 6 ne sont pas les carrés de nombres rationnels. Il en est de même de /a — /ô, en supposant a différent de b.

12. Si a, b sont des nombres i-ationnels et si l'on a 6 > o, les expressions (a-Hy/^)', \a — s/by ne peuvent pas être des nombres rationnels, à moins que b ne soit le carré d'un nombre rationnel.