PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR- LIBRAIRE

DU BUREAU DBS LONGITUDES, DB l'bGOLB POLYTBCHNIQUB, Quai des Grands-Augustins, 55.

(Tout droits rétertét.)

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LEÇONS

DILGÈBRE ET D'ANALYSE.

171. Suites infinies. Limites. — Dire qu'une suite de nombres ^i, //2, ..., Un-, ... est infinie, c'est dire qu'après chaque terme de cette suite il y en a un autre. Telle est la suite naturelle 1,2,...,

Dire qu'une suite infinie est donnée, c'est dire qu'on se donne le moyen de calculer chaque terme connaissant son rang, le moyen de calculer Un quand on se donne n ; telles sont les suites

Dire que le /i**"* terme w„ de la suite w«, ^/j, ..., w^, ... a pour limite le nombre A quand n croît indéfîniment (ou pour n infini) c'est dire, en gros, que w„ est très voisin de A, pourvu que n soit très »;rand, et, d'une façon plus précise, que, quelque petit que soit le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre naturel p tel que la valeur absolue de la différence entre A et u„ soit moindre que e, pourvu que n soit plus grand que p.

11 revient au même de dire que, quelque petit que soit le nombre positif £, tous les termes de la suite finissent, à partir de l'un d'eux w^, par être compris dans l'intervalle (A — e, A -f- e) : en dehors de cet intervalle, il n'y a qu'un nombre limité de termes de la suite. Ces derniers, pour ce qui concerne l'existence ou la valeur de la limite, n'ont aucune importance.

Par exemple, dans les deux dernières suites écrites plus haut,

-j d'une part, > de l'autre, ont pour limites respectives o et i,

quand n croit indéfiniment.

Si, sur un axe, on considère une suite de points w^, «2, ..., M/i, ..., on dira que le point Un a pour limite le point A quand n augmente indéfiniment, pour dire que, quelque petite que soit la distance s. tous les points de la suite finissent, à partir de l'un d'eux //^, par être à une distance du point A moindre que e; tous ces points finissent par se trouver compris dans un segment, dont A est le centre et qui est aussi petit qu'on le veut. En dehors d'un tel segment, il a'v a jamais qu'un nombre limité de points de la suite.

L'identité de cette définition et de la précédente, quand on confond, comme on l'a expliqué dans le Chapitre I, les points avec leurs abscisses, saute aux yeux.

Si Un a pour limite A, quand n augmente indéfiniment, tous les termes de la suite finissent par être compris dans l'intervalle (A — e, A -|- e); si donc A n'est pas nul, en prenant e inférieur à la valeur absolue de A, tous les termes de la suite finiront par avoir le signe de A. Inversement, s'il n'y a pas de termes négatifs dans la suite, la limite A ne peut être négative, puisque, si elle était négative, tous les termes finiraient par être négatifs; la limite ne peut être positive, s'il n'y a pas de termes positifs dans la suite, autrement dit, si tous les termes sont positifs ou nuls, la limite de £/,,, pour n infini, ne peut être que positive ou nulle, etc. Plus généralement, si tous les terme> de la suite sont inférieurs ou égaux au nombre B, la limite de i/^,, pour n infini, ne peut être qu'inférieure ou égale à B, etc.

On écrit que w„ a pour limite A quand n augmente indéfiniment.

en écrivant

lim w,i = A.

Il revient au même d'écrire lim [un — A) = o.

SKRIES.

Au lieu de dire que u„ a pour limite A quand n augmente indéfiniment, ou dit souvent que la suite ««, Wj, . . ., w«, ... a pour limite A. Cetle façon de parler est un peu vicieuse, parce que l'idée de limite implique celle d'une quantité (ou d'une figure) variable qui s'approche, dans des conditions qu'il faut toujours spécifier, d'une quantilé (ou d'une figure) fixe. Toutefois, j'emploierai cette forme de langage, qui est passée dans les habitudes, et qui est commode.

Si l'on a lim Un = A, m„ peut être regardé comme une valeur

approchée de A, valeur approchée que l'on sait calculer quand la suite u^, Wa, ... est donnée. 11 arrive souvent qu'on n'ait pas d'autre moyen de calculer une quantité A qu'en la regardant comme la limite d'une suite donnée : les termes de cette suite fournissent des valeurs aussi approchées de A qu'on le veul, pourvu qu'on les prenne assez loin dans la suite. C'est ainsi que, en Géométrie élémentaire, on calcule approximativement la longueur de la circonférence d'un cercle de rajon donné en calculant le périmètre d'un polygone régulier d'un très grand nombre de côtés. Si l'on a

lim u,t = A, lim v„ = B,

on aura

lim ( Mrt -»- Prt ) = A H- B, lim ( a« — V;, ; = A — B,

n = ae n = 00

lim( w„p„)= AB, lim— = ^;

la dernière de ces égalités suppose toutefois essentiellement que B ne soit pas nul.

Ces propositions reviennent à celles-ci :

On obtient des valeurs aussi approchées qu'on le veut de A -j- B,

A — B, AB, ^9 en substituante A, Bdes valeurs suffisamment appro-

cht!*es u„^ Vn ; c'est ce que la Note du n"* 138, où l'on a appris à calculer Terreur commise sur le résultat, connaissant les erreurs commises sur les données, montre suffisamment.

172. Il est très important de savoir reconnaître sur une suite donnée M, , «2, ... si elle a une limite, lors même qu'on ne saurait pas calculer exaclement cette limite.

11 y a quelques circonstances où Ton reconnaît aisément Texistence d^une limite.

Supposons que les termes de la suite aillent en croissant, ou plutôt n'aillent jamais en décroissant quand n augmente; autrement dit, on suppose que Ton a Uu^k ^ m«, quel que soit /i.

Alors, deux circonstances peuvent se produire :

Ou bien Un augmente indéfiniment avec /i, c'est-à-dire que, si grand que soit le nombre P, les termes de la suite finissent, à partir de Tuii d'eux, par être tous plus grands que P : c'est ce qui arrive évidemment dans la suite naturelle i , 2, . . ., /i, ....

Ou bien tous les nombres ««, «a? • • •> "«* • •• sont inférieurs à un nombre fixe Q, et alors w«, quand /z croît indéfiniment, tend vers une limite A inférieure ou égale à Q.

Qu'il en soit ainsi, c'est ce que le lecteur admettra simplement, s'il le veut. La proposition lui paraîtra assez vraisemblable en considérant les points ««, Ma, ..., w,/, ... de l'axe, dont les abscisses sont les nombres Ut^ u^, Unj - . -• Chaque point est, par hypothèse, à droite de celui qui le précède, ou confondu avec lui; alors, ou bien les points s'éloignent indéfiniment, ou bien, s'ils doivent tous rester à gauche d'un point fixe Q, ils viennent s'entasser en avant de quelque point fixe A, dont ils s'approchent indéfiniment, ou sur ce point lui-même ; le point A est à gauche de Q ou confondu avec lui.

Au reste la démonstration est aisée en se plaçant au point de vue du Chapitre I.

Supposons que l'on ait Un^t^u,i, quel que soit /?, et que tous les nombres m«, «21 • • m ^/m • • • soient inférieurs à Q. Soit a un nombre* rationnel quelconque : ou bien il y a dans la suite i/,, /^a? • • m "«? • -• quelque terme qui est supérieur ou égal à a, ou bien a est plus grand que tous les termes de la suite. Je rangerai le nombre a dans une première classe, ou dans une seconde classe, suivant qu'on sera dans un cas ou dans l'autre. Il y a évidemment des nombres dans les deux classes; dans la seconde figurent tous les nombres rationnels plus grands que Q. 11 est bien clair que les deux classes satisfont aux conditions imposées dans le n" H, el qu'on a ainsi défini une coupure qui, a son tour, définit un nombre A.

Or, d'une part, tout nombre rationnel plus grand que A appartient à la seconde classe et est par conséquent plus grand que tous le> termes de la suite ; il en est de même de tout nombre irrationnel B > A^

puisqiril j a des nombres rationnels entre A et B, qui sont plus grands que tous les termes de la suite : donc aucun terme de la suite ne dépasse A.

D'autre part, si e est un nombre positif quelconque, il y a des nombres rationnels entre A — e et A, qui, étant plus petits que A, appartiennent à la première classe ; soit a un tel nombre rationnel ; puisqu^il a été rangé dans la première classe, c'est qu'il y a dans la suite un terme Up qui est égal ou supérieur à a; tous les termes suivants, égaux ou supérieurs à Up^ sont aussi égaux ou supérieurs a a ; à partir de Up^ tous les termes de la suite appartiennent donc à l'intervalle (A — s, A). Puisque e est aussi petit qu'on le veut, on a

limtt„=: A. On voit que A est supérieur ou égal à tous les termes de

la suite. S'il était égal à l'un d'eux Up^ il faudrait d'ailleurs que tous les termes de la suite, à partir de Up^ fussent égaux à Up*

Considérons, par exemple, un symbole formé d'un nombre entier suivi d'une infinité de chiffres décimaux, qui se suivent d'après une loi quelconque : on formera une suite ai,^^,--*}^//) -•• en limitant le symbole au premier, au second, ..., au /i'*"* chiffre décimal. La suite ainsi formée sera dans le cas qu'on vient d'étudier, puisque tous les termes sont inférieurs, par exemple, à a« -h-pj; elle aura une limite que l'on sait d'ailleurs être le nombre dont le symbole donné est la représentation décimale (n" 14), sauf dans le cas où les chiffres finiraient par être tous des 9(*).

On démontrerait de même que, si la suite

est telle que l'on ait, quel que soit /?, v^^^^ e,/» et si tous les termes

de la suite sont supérieurs à un nombre fixe Q, il existe un nombre B

tel que l'on ait

lim f /i = B :

ce nombre est supérieur ou égal à Q; il est inférieur ou égal à tous

les termes de la suite v^^ t^.j, ..., i^,,, 11 ne peut être égal à l'un

d'eux Vp que si l'on a i?^ = Vp^^ = c^^a = . . . .

{^) Quelques auteurs donnent le nom de monotone à une suite a^ a„ . .., u^ dans laquelle on a toujours u^^^^u^j ou toujours u^^^'^u^.

b CHAPITRE XI.

L'exemple tiré d'un symbole tel que celui que l'on a considéré tout à l'heure, que l'on limite successivement au premier, au second, ..., au /i'*""* chiffre décimal, mais en forçant, chaque fois, le chiffre auquel on s'arrête, se présente naturellement à l'esprit.

On a, en particulier, assez souvent à considérer un système de deux suites

teiles que l'on ait, quels que soient les nombres naturels n elpy

La première suite a une Jimite A, puisque ses termes ne décroissent jamais et que tous sont inférieurs ou égaux à \'p. Cette limite est supérieure ou égale à un terme quelconque de la première suite: on a u,,^ \^i^p. De même la seconde suite a une limite B et Ton a

Dans le cas où l'on a lim (V„ — u„)=^ o, il est clair que les deux

rt= oo

nombres A, B, dont la différence est au plus égale à ç',, — a„, sont égaux. Dans ce cas u,t fournit une valeur approchée de la limite A, commune aux deux suites, par défaut; v,i en fournit une valeur approchée par excès.

Les deux suites tirées comme on l'a expliqué d'une même représentation décimale fournissent un exemple (* ).

Voici une autre proposition que je signale à cause de son importance, et sur laquelle je dois, sans la démontrer, donner quelques explications.

Une condition nécessaire et suffisante pour que la suite U], a^, . . ., a„, . . . ait une limite, est la suivante : à chaque nombre positif s doit coriespondre un nombre naturel p tel que l'on ail | w„ — u,„\ < s, pour tous les nombres naturels n, m supérieurs à p.

Que la condition soit nécessaire, cela est bien évident; si l'on a lim u,, = A.

/f = ao

les termes de la suite, à partir de l'un d'eux, sont tous compris dans l'intervalle (A — a, A H- a), leur différence mutuelle est moindre que '2 a; il suflit

( ' ) Il suffît, d'ailleurs, que Ton ait, quels que soienl les nombres naturels n et p^ i/„ < fp> lim ( v^ — /i^ ) = o, pour être sur que les deux suites u,, Uo« . . . , u^, ... et

V,, V3, ..., i',, ... ont une même limite, /ni/\, «• 58.

de prendre le nombre positif a < -• Que la condition ?oit suffisante, c'est ce

qui est moins évident : on voit clairement, si elle est vérifiée, que tous les termes de la suite, à partir du/)**'"', appartiennent à l'intervalle {Up — e, a,>-f-s), (jui est d'ailleurs aussi petit qu'on le veut: en substituant les points Un aux nombres m^, on pressent bien que les points ^i, aj, . . ., u,,^ . . . doivent finir par s'entasser auprès d'un point A. La proposition est d'ailleurs susceptible d'une démonstration rigoureuse (').