Voici des exemples de suites qui n'ont pas de limite
o, I, o, I, ,.., III II
2 3 I ip ip-k-\
Dans la troisième, les termes sont alternativement o et i ; ils ne peuvent s'approcher indéfiniment d'un même nombre. Dans la dernière, le Al'*"** terme, si n est pair, est de la forme \ -\ > il est très
voisin de I si /t (,ou/>) est très grand; le /i'*"« terme, si n est impair, est de la forme ; il est très voisin de o si /i (ou/?) est très grand.
Les termes sont alternativement voisins de i et de o; il n'y a pas de nombre fixe dont a„ s'approche indéfiniment, quand n augmente indéfiniment. Cette suite peut être regardée comme obtenue en mélangeant deux suites dont l'une a i pour limite et l'autre o. D'autres circonstances peuvent d'ailleurs se présenter (^).
Parmi les suites £/|, u^^ ..., Un^ *•* qui n'admettent pas de limite, il convient de signaler celles dans lesquelles u,t augmente indéfiniment avec /i; il faut entendre par là, comme on l'a déjà dit un peu plus haut, que, quel que soit le nombre positif P, tous les termes de la suite finissent, à partir de l'un d'eux, par être plus grands que P; tel est le premier des exemples que l'on a cités en tète de ce numéro; il est alors commode de dire que Un tend vers -h oo quand n augmente indéfiniment. Il est aussi commode d'écrire lim a/i = -|- oo; mais il faut
( • ) Intr., !»• 56.
( = ) Jntr,, n» 59, ..., 64.
bien se rappeler, quand on emploie cette notation, que u,i n'a pas de limite.
S'il arrive que, quel que soit le nombre négatif N, les termes de la suite finissent, à partir de l'un d'eux, par être tous plus petits que N, on dira que w„ tend vers — oc, quand n augmente indéfiniment : tel
serait le cas pour la suite — i , — 2, — 3, . . ., — /«, On écrira
alors, si l'on veut, Km w,i = — 00.
Enfin, il peut arriver que \un\ tende vers -f- oc, sans que a« tende vers -4-00, ou vers — 00; c'est le cas pour la suite — i, 2, — 3, .. .,
11 convient de remarquer que, pourvu que la valeur absolue de u» augmente indéfiniment avec /z, la suite (*)
Wj
Un
a une limite : on a évidemment lim ( — J = o.
Considérons, par exemple, la progression géométrique de raison a, a, a«, a», ..., a", ....
1" Si a est plus grand que 1, on peut, en désignant par a un nombre positif, poser 6r = i4-a; on a alors (n** 24) //" >► i -f- /i a ; quand n augmente indéfiniment, il en est de même de \-\-na^ et a fortiori de a" ; a" tend vers -h 00, quand n augmente indéfiniment.
2" Si a est négatif et plus grand que i en valeur absolue, |^"| tend vers +00, quand n augmente indéfiniment; les termes de la suite sont d'ailleurs alternativement positifs et nrgatifs.
3" Si a est plus petit que 1, en valeur absolue, on peut poser
en désignant par b un nombre positif ou négatif, mais plus grand que 1 en valeur absolue; la valeur absolue de 6" augmente indéfiniment
avec Al, celle de j- ou de âr" a o pour limite, quand n augmente
(') On en supprimera les termes à dénominateur nul, s'il y en a.
8KR1ES. 9
ladéfiniment ; on a lim a" = o. Lorsque a est positif, les termes
de la suite a, a*, ..,, a", ... s'approchent de o en diminuant; lorsque a est négatif, ils se rapprochent de o en oscillant autour de o, puisqu'ils sont alternativement positifs ou négatifs.
4** Si l'on a a = I , tous les termes de la suite sont égaux à i ; on a lim a" = i .
5" Si l'on a a = — i , les termes de la suite sont alternativement égaux à I ou à — i; il n'y a pas de limite.
174. Une suite infinie u^^ u^, - . ., Un^ . . . étant donnée, on appelle série un symbole tel que
WlH- Mf-h Ws-h. . .-Ha„-+-. . .,
où les termes de la suite sont écrits, dans l'ordre donné, comme s'ils étaient ajoutés : 2<i, u^y . .., u,iy - - - sont les termes de la série.
Si la somme s„ des n premiers termes de cette série tend, quand n augmente indéfiniment, vers une limite S, la série est dite convergente y et l'on dit que S est sa somme. Si la somme Sn des n premiers termes ne tend pas vers une limite, la série est divergente; elle n'a point de somme.
Considérons, par exemple, la série
dont les termes forment une progression géométrique de raison a; la somme de ses n premiers termes est
il y a lieu de distinguer quatre cas :
i*" Si l'on a |a| < 1, on a lima"= o, et, par conséquent,
n — va
lim = o, lim I = ;
la série est convergente et sa somme est
2** Si l'on a |a| > !, la valeur absolue de a" grandit indéfiniment, quand n augmente indéfiniment, il en est de même de la valeur absolue de et de ; la valeur absolue de la soname
des n premiers termes de la série grandit indéfiniment quand n augmente indéfiniment; la série est divergente.
3" Si Ton a a = i , la formule qui donne, en général, la somme des n premiers termes de la série n'a plus de sens ; il est clair que celte somme est égale à /i et que la série est divergente.
4" Si l'on a a = — i , la somme des n premiers termes est alternativement 1 ou o; la série est divergente.
i7o. Quelle que soit la série «« -1- Wj-f- «j-f- . . ., si l'on pose
on a évidemment, pour toutes les valeurs de n supérieures à i,
réciproquement, si l'on se donne la suite s^^ 5^, ..., 5«, ..., il est clair que la série dont le premier terme sera «/,=*, et le ^leme terme Ufi= s„ — 5/<.i, sera telle que la somme de ses n premiers termes soit 5„ : puisque l'on a
*1 -h ( 5j — 4, ) -h (*j — 5j ) -h . . . H- ( 5« — Sn-i ) = Sn,
suivant que s^ aura, ou non, une limite, la série sera convergente ou divergente.
En prenant, par exemple, s,, = a", on voit que la série
est convergente si a est plus petit que i en valeur absolue; sa somme est alors o; elle est encore convergente si a est égal à i ; la somme est alors égaie à i ; elle est divergente dans tous les autres cas. Si l'on prend
on voit que la série
