TT
X ar' 3^5
pour jr= - et X = - .
56 CHAPITRE \l. — SÉRIES.
193. Le même raisonnement que Ton a employé au n" 192 pour montrer que
hiï
a une limite quand n croit indéfiniment et que cette limite est la somme e de la série
permet de montrer que, si x est un nombre positif donné, l'expression
tend vers une limite quand n augmente indéfiniment, par valeurs naturelles. et que cette limite est la somme de la série
IH h h... H
Ce dernier résultat subsiste lors même que x est négatif ou imaginaire. En effet, la différence entre la somme S de cette série et ( iH — ] estlt somme de la série
XP
^n+1 rr«-»-*
i.2...(n-»-i) 1 .2. . .(rt -t-2) *"' et Ton peut déduire de là Tinégalité
où r' désigne la \aleur absolue de x et S' la somme de la série
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
§ i. - GÉNÉRALITÉS.
194. On a dit plus haut qu'un polynôme en J7, utie fraction rationnelle en X, sont des fonctions de a?, pour dire que, lorsqu'on se donne la valeur numérique de x^ on sait, au moyen d'opérations connues, calculer (*) la valeur correspondante du polynôme ou de la fraction.
S'il s'agit d'une fraction rationnelle, il y a toutefois des valeurs de x pour lesquelles la fonction ne peut être définie, les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule : ces valeurs sont isolées; mais il n'en est pas toujours ainsi.
Si Ton considère, par exemple, l'expression \/x- — i et si, comme je le suppose ici, on ne veut considérer que des nombres réels, les opérations à efTectuer n'ont pas de signification pour les valeurs de x comprises entre — i et -h i .
Soit X une lettre que l'on regarde comme susceptible de prendre n'importe quelles valeurs, et que, pour cette raison, on désigne sous le nom de variable indépendante; soient a, a' deux nombres réels quelconques, différents entre eux : on dit que j: ap/>artient à Tintervalle (a, a') pour dire qu'il est égal soit à a, soit à a\ soit à une valeur
(') Il faut entendre ici le mot calculer dans un sens qu'il ne comporte guère : s'il s'agit, par exemple, d'un polynôme en J7, même d'un polynôme à coefficients rationnels, on ne peut pas calculer la valeur de ce polynôme pour une valeur irrationnelle 4i« X, ou plutôt on ne peut la calculer qu'approximativenient; si les coefficients sont irralionnelSf le calcul ne peut être effectué même pour les valeurs rationnelles de x\ mais la valeur du polynôme peutôlro définie par une coupure, ou comme une limite, poar chaque valeur de x.
58 CHAPITRE XI f.
comprise entre a cl a'] oa dit qu'il est întthieur à l'inlervalle (a, a ) pour dire qu'il est compris entre a et a' sans être t^gal ni à a, ni à /i\ qu'il satisfait aux inégalités a <].r <; «S si l'on suppose «<«'•« et a sont les bornes de l'intervalle.
Imaginons maintenant une autre lettre y et supposons qu'à chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (^, a) corresponde une valeur définie de^; il faut entendre par là que, si Ton se donne une valeur pour Xj on sait calculer ou au moins définir la valeur correspondante de^, au moyen d'opérations que l'on sait effectuer sur le nombre x, ou de toute aulre façon. On dit alors que y est une fonction de x, définie dans l'intervalle (a, a'). Au lieu de la lettre j', on emploie souvent, pour désigner une fonction de x, un symbole tel quey(j:^, g{x)^ .... Un polynôme en x est une fonction de x définie dans tout intervalle; une fraction rationnelle en xest une fonction définie dans tout intervalle auquel n'appartient aucune racine du déaominileur; y/i — x'^ est une fonction de x définie dans l'intervalle ( — i, -h i).
On a vu que la somme de la série
était définie pour chaque valeur de x] cette somme est une fonction de X définie dans tout intervalle. Si on la désigne par o(^), le résultat obtenu au n" 290 parla multiplication de deux séries peut s'exprimer en disant que la fonction o(^x) jouit de la propriété qu'exprime l'égalité
Si l'on considère la série
m m( m — i) . m (m — i)...(m — n-hi)
où l'on regarde m comme un nombre donné, on sait que cette série est convergente pour toute valeur de x intérieure à l'intervalle ( — i , -h i >; la somme de cette série est une fonction définie de x dans tout intervalle (a, a') dont les bornes a, a' sont intérieures à l'intervalle ( — i , T). On ne peut pas dire que la somme soit une fonction définie dans tout l'intervalle ( — i, i), puisqu'on ne sait pas si celte somme a un sens pour X égal à — i ou à i .
FONCTIONS O'UNB VARIABLE RÉELLK. 5g
La fonrtJon a^^ où a est un nombre positif donné, a été entièrement dt-finie dans le Chapitre I, au n '2o. J'y reviendrai d'ailleurs au n"2()l.
Ou a rappelé au n"9t la définition des fonctions circulaires siiijr, co> X, tang x^ qui s'introduisent en trigonométrie; les deux premières sont définies dans tout intervalle, la dernière dans tout intervalle
auquel n'appartient pas un multiple impair de -• La définition de ces
fonctions est géomélrique : on doit imaginer un cercle idéal, où l'on pourrait mesurer les arcs, pour les points duquel on pourrait mesurer les abscisses et les ordonnées, avec une précision indéfinie qui ne peut être évidemment réalisée ; mais ce cercle que l'on imagine permet des raisonnements rigoureux, et Ton en déduit, en trigonométrie, les belles propriétés de ces fonctions; on verra plus tard, d'ailleurs, comment on peut substituer à la définition géométrique une définition purement analytique.
l9o. Je n'ai pas besoin d'insister ici sur la représentation graphique des fonctions, avec laquelle le lecteur est déjà familier.
L'ensemble des valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, a') est très bien représenté par le segment de l'axe des x dont les extrémités sont les points d'abscisse a, a'. En parlant du point x de l'axe OX, j'entendrai le point de cet axe dont l'abscisse est J7, con-
Fi-. 36.
JA
fnrmémenl aux conventions du Chapitre L II est aussi fort commode de se figurer la lettre x comme représentant le tenips^ ou plutôt, afin de fondre ensemble les deux représentations, d'imaginer l'axe dts j:- comme une sorte d'horloge rectiligne, où le temps serait marqué par un point qui se mouvrait d'un mouvement uniforme dins
5o CHAPITRE XI.
