On se donne la 5aiie indéfinie

former une série lelle que le rapjinr; du (n -h i)'""« terme au /i'*^'"*soit égal à r„. Cas où r„ est égal à - si n esi pair, à - si n est impair; la série à laquelle on parvient alors est convergente?

171. E'^ormer une série dans laquelle le rapport du n'*'"" terme i\ la somme des n premiers lern.e'» soit égale à a", en désignant par a un nombre posilil plus petit que i. Celte série esl-elle convergente?

Ï7î2. F(>rmer une série dont la somme soit éjjale à i el dans laquelle le ni|)pori du /i''"" terme au reste de la série, limitée à ce terme, soii égal à - •

i'ii. Trouver la somme de la série

«n partniU deTidemité

Plus g«Miéralement, la formule à laquelle on parvient en décomposant en frariioiis simples la fraction rationnelle

x{x ■+- i).,.(x -h p) permet de trouver la somme de la série 1 1

il A. La série

oiï p e«t un nombre positif, est convergente quand a est positif. Montrer que sa somme tend vers o quand/? augmente indéfiniment.

i7*>. Si Wi. aj, ..., M/,, ... sonl des nombres positifs, les séries

Ut-h Ui -h ,..-h Un -4- . . . ,

Wl . M, U„

l Ui I Uz 1 — «,,

sonl convergentes ou divergentes en même temps. 176. Dans les mêmes conditions, il en est de mJme des deux séries

Wi H- Mj -H .

Si Si

où Sn désigne la somme des n premiers termes de In pre ni -ro série.

On voit aisément que la seconde série est conver<,^(M»te (jumid la première es! convergenle; pour achever la démonsiralion, il suffil de pr )uver que la secundo strie est divergente quand la première est divergente. On observera (juc In somme

Un-^\ , W/Ï-+-2 , , "tï +-/>

e<l phis grande que

et que, si la première série est divergente, on peut toujours, en se donnant n arbitrairement, prendre/» assez grand pour que le second membre soit aussi

loisin de i qu'on voudra, pour qu'il dépasse -» par exemple; on peut donr,

dans la seconde série, trouver après le /i'*"'*^ terme as<ez de termes pour (\uv

leur somme dépasse - et, cela, quel que soit «, etc.

Appliquer la proposition précédente au cas où l'on a //„=f,quel que soit n.

477. En désignant par a, b deu\ nombres positifs donnés, déterujiner nu nombre A tel que la série dont le /i'*^""' terme est

an -{- b n soit convergente.

€2 ClIAPITItK \II.

f{Xk ) — /(^o) doit être plus petite, eu valeur absolue, que tel noml>re positif e que l'on voudra, pourvu que la différence ^i — x^i si»il moindre, en valeur absolue, qu*un nombre positif e', convenablemenl choisi : ce nombre s' dépend ordinairement de s.

Si, par exemple, on considère un cercle, on voit de suite qu'un arc est plus grand que la corde qui le sous-tend, que celle-ci est plus grande que sa projection sur un axe; on voit de suite que, dans l'in-

lervallefo, -]» par exemple, la variation de sinj: pour deux valeurs

\oisines Xq, Xi est moindre que \xo — Xi\\ on en déduit la continuité de sin J7 dans cet inlervalle.

Dans le Chapitre II, où Ton a traité d s polynômes, on n'a pas démontré la continuité dans un intervalle (ce qui, d'ailleurs, n'ollW pas de diffîcullé), mais seulement la confintu/(* pour cliaque valeur de x^ qu'il me reste à définir en général.

Une fonction f{X) définie dans V inler\aUe («, a') est continue pour une valeur particulière Xq appartenant à cet inter^'alle si la différence fi Xx) — f{xo) est moindre en valeur absolue que tel nombre positif t que l'on voudra j pou/vu que x, appartienne aussi ù l*inter\ cille (<7, a) et que la différence Xi — x^soit moindre en i^aleur absolue qu 'un nombre positif t' convenablement choisi.

Quand on se donne le nombre Xq et le nombre positif £| on doit pouvoir trouver e'.

C'est bien dans ce sens qu'on a établi la continuité d'un poivnome. comme fonction de x^ d'abord pour j: = o, puis pour une valeur quelconque de x.

Il est évident que, si une fonction y (j:) est continue dans V intervalle (a, a'), elle sera continue pour chaque valeur x© de x, appartetenant à cet intervalle. Le nombre s étant donné, on en déduira le nombre e' qui conviendra à la fois pour toutes les valeurs de x^, La réci[)roque s'énonce ainsi : Si une fonction /(:f) est continue pour chaque valeur Xq (|ui appartient à l'intervalle (n, a'), elle est continue dans tout cet intervalle. Cette réciproque n'est pas évidente : à chaque valeur de x^) et de £ correspond bien un nombre e'; mais, si Ton >e donne seulement e, il n'est nullement évident qu'on puisse lui faire correspondre un z' qui convienne à la fois pour toutes les valeurs de Xo- Il y a là un point délicat de la théorie des fonctions, que je

FON(mONS DUNR VABIADI.K RÉELLE. 63

laisse de côté. Cette réciproque se trouvera d'ailleurs établie aisément pour des classes étendues de fonctions continues, mais je dois pré- >enir le lecteur qu'elle est vraie dans sa généralité (*).

Je ne démontrerai pas non plus d'autres propositions importantes, qui se déduisent logiquement de la définition de la continuité, mais qu'on peut regarder comme intuitives pour les fonctions continues, susceptibles de la représentation j;raphique ou cinématique qui a été décrite au n" 19o, et qui fait correspondre un point de Taxe OY à un point de Taxe OX. Je me contente de les énoncer.

Les valeurs d'une fonction /(^c), continue dans l'intervalle (a, a'), restent comprises entre certaines bornes A, A'. 11 y a une certaine \aleur .r' qui peut d'ailleurs être soit a, soit a', soit un nombre intermédiaire, pour laquelle la valeur/(:r') de la fonction est supérieure ou égale à toutes les autres : en d'autres termes, on a, quel que soit le nombre jr appartenant à l'intervalle (a, a')^ /(x')^/{x). De même, il y a une valeur x*, appartenant à Tintervalle (a, a') telle que Ton ait, quel que soit le nombre x appartenant au même intervalle,

Cela revient à dire, bi Ton se reporte à la représentation graphique, que, parmi le.s diverses positions du point y sur l'axe OY qui correspondent aux positions du point x situé sur l'axe OX en «, a' ou e.Ure a et a', il y a deux positions extrêmes ^', j^" qui correspondent

Fig. 37.

H des points x', ^' de l'intervalle ou du segment (a, a'), telles que le point X ^^ soit jamais au-dessus du point ^', au-dessous du point^"; les valeurs de j' qui correspondent aux valeurs de x qui appartiennent

(») Intr., n» 162.

à rintervalle (a, a'), appartiennent toutes à l'intervalle (y", >'). \ii point de vue cinématique, on peut dire que, dans l'intervalle de tenrps (a, a'), le point y, en se mouvant sur Taxe OY, atteint une position^' au-dessus de laquelle il ne monte pas, une position j^ audessous de laquelle il ne descend pas.

On énonce souvent cette propriété des fonctions continues en disant qu'une fonction continue dans Tintervalle (a, a') atteint son maximum et son minimum (').

Si la fonction /(x) est continue dans l'intervalle (<2, a') et si a, i sont deux valeurs de x appartenant à cet intervalle, telles que le> nombres f{^)'if{'^') soientde signes contraires, il y a une valeur r„ de X comprise entre a, a', telle que, pour cette valeur, la fonction/* (x) s'annule : en d'autres termes, il y a une racine x^ de Téquation fix) =o comprise entre a, a'. En effet, le trait de courbe qui joint le point de

Fig. 38.

ex'

coordonnées a et ^ := /(a), qui est au-dessous de l'axe des x, au point de coordonnées a' et p'=/(a') rencontre nécessairement Taxe des x en quelque point .ro, situé entre les points a et a' de cet axe. Dans l'intervalle de temps (a, a'), un point de l'axe des y qui se meut du point p au point ^ ne peut pas ne pas passer par le point O, à un moment x^ compris entre les époques a, a' (*'^).

Plus généralement, un point qui se meut d'une position à une autre passe par toutes les positions intermédiaires ; dans la figure 3^, le point y qui se meut sur l'axe OY dans l'intervalle de temps (a, a \

(>) Intr., n» 161.

(>) Intr , n» 166.

FONCTIONS D UNE VARIABLE RKBLLB

passe par tous les points du segment qui va dey" ày'î chacune des valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle (y\y") peut être regardée comme correspondant à une valeur de x appartenant à Tintervalle (a, a). En d'autres termes encore, toute parallèle à l'axe (les X menée par un point du segment (^', y) rencontre le trait de courbe qui figure la fonction dans l'intervalle (a, a').

Ces propositions ne sont pas moins intuitives que la proposition parliculière sur laquelle on a insisté tout d'abord ; elles peuvent d'ailleurs s'en déduire; si, en effet, fi est une valeur dey comprise entre y et ^', la fonction /(a?) — j^,, continue dans l'intervalle (a, a'), est négative pour j?=J7*, positive pour^^^r'; elle doit donc s'annuler pour une valeur x, intermédiaire entre x" et x'.

On peut aller un peu plus loin dans l'étude de cette proposition |)articulière, qui est extrêmement importante, et dire que la fonclion/(x)s'annule un nombre impair de fois entre a et a', parce qu'un Irait de courbe ne peut pas passer d'un côté de J'axe des x à l'autre r4!)té de cet axe sans le traverser un nombre impair de fois, qu'un point <|ui se meut sur l'axe OY, qui part d'un point situé au-dessous de O pour aboutir à un point situé au-dessus doit passer un nombre impair de fois par le point O.

Cette assertion, que la fonction /{x) s'annule un nombre impair lie fois entre a et a', paraît claire sur la figure Sg, elle tombe évi-

Fig. 39.

oc' X