T. - II. II

l62 CHAPITRE XIII.

une fonction primitive de —-, ax -+- b est une fonction priiniti\e

de la constante a regardée comme une fonction de x.

Lorsqu'on a une fonction primitive de /(x) il est aisé de les obtenir toutes :

Supposons que la fonction /(a?) soit continue dans l'intervalle (a, 61 et que la fonction F{x) admette, dans cet intervalle, /(x) comme dérivée; elle sera forcément continue dans cet intervalle. Soit4>(a'i une autre fonction qui, dans le même intervalle, admette la même dérivée /(^). La dérivée de la différence ^{x) — F(^) sera nulle pour toutes les valeurs de x appartenant à cet intervalle ; ce sera donc une constante C; on aura

^(x)= F(ar)-i-C;

réciproquement, il est clair que toute fonction obtenue en ajoutant une constante à F(^) a pour dérivée /(j7), ou, si l'on veut, est une fonction primitive de/*(^).

On appelle équation dij/'érentie lie (du premier ordre ) une relation entre la variable x^ une fonction inconnue y de cette variable et sa dérivée (première) y. Une solution de cette équation différentielle, c'est une fonction ^(x) telle que, si l'on remplace dans cette équation j^ par cp(^) et y' par cp'(.r), l'équation soit vérifiée quel que soit X (*). Le problème qui consiste à trouver les fonctions primitives d'une fonction donnée /(x) est le même problème que celui qui consiste à trouver toutes les solutions de Yéquation différentielle y=zf(x). (La fonction inconnue y ne figure dans celte équation que par sa dérivée.) On obtient toutes les solutions de cette équation différentielle en ajoutant à une de ces solutions V{x) [à une fonction primitive de f{x)^ une constante arbitraire C. Si Ton veut avoir une solution qui prenne une valeur donnée jKo pour une valeur donnée Xq de la variable, il suffira de déterminer C par la condition F(a7o) -1- C=:jKo; la fonction cherchée est F(jr) — F(.ro) -h/©-

Remarquons que la recherche d'une fonction primitive de la fonction donnée f{x) revient à déterminer une courbe y = F{x), telle

C) Au moins dans un certain intervalle (a, b); on dit alors que 9{x) est une solution dans cet intervalle.

DÉRIVÉES. l63

que sa pente, en chaque point, soit une fonction donnée f{oc) de l'abscisse.

Le fait que toutes les courbes qui répondent à la question se déduisent de Tune d'elles par une translation parallèle à Taxe des y^ n'a rien qui doive élonner le lecteur : deux courbes dont l'une se

Fig. 68.

déduit ainsi de l'autre ont évidemment des tangentes parallèles (de même pente) en des points de même abscisse; la courbe dont l'équalionest v = F(:r) — ¥{xq) 4-yo est celle des courbes considérées qui passe par le point de coordonnées x^y jKo- H va sans dire que ceci suppose que x^ appartienne à un intervalle où la fonction F(:c) est continue.

Par exemple, toutes les courbes dont la pente est proportionnelle à l'abscisse x sont les paraboles dont l'équation est de la forme

a est le coefficient de proportionnalité.

Supposons que la variable x représente le temps; trouver une fonction primitive de /(x)^ c'est trouver un mouvement rectiligne dans lequel la vitesse soit f{x) à chaque instant x. Par exemple, un mobile dont la vitesse est constante et égale à Vq se meut, sur l'axe des V, d'un mouvement uniforme défini par l'équation y = VqX -\- b; la constante b représente l'ordonnée du mobile à l'origine du temps. D'une façon générale, si F{x) est une fonction primitive de /{x)^ tout mouvement sur l'axe des j^ dans lequel la vitesse est f{x) à l'instant X sera défini par une équation de la forme ^ = F(a:)-|-C; on

l64 CHAPITRE Xlll.

pourra déterminer la constante C de manière à avoir la loi

du mouvement du mobile qui, à l'époque x^, passe au point d ordonnée Ko*

Les fonctions primitives sont susceptibles d'une autre interprétation géométrique qui, outre son importance, a cet intérêt de rendre leur existence manifeste. Il convient, en effet, de remarquer que les raisonnements précédents supposent l'existence Ahine fonction F^j) dont la dérivée est /(ar).

Aire d'une courbe. — Je supposerai dans ce qui suit que les valeurs de X que l'on considère appartiennent à un intervalle (a, b) où la fonction donnée /(a:) est continue.

Pour simplifier, je supposerai aussi qu'elle soit positivt dans le même intervalle; soient Aq, M deux points du trait de courbe qui

Ao

Fig. 69.

Pi

représente la fonction f{x)^ ayant pour abscisses ^r© et x > x^\ je regarderai le premier point comme fixe, le second comme variable.

Ceci posé, l'aire curviligne AJ,AoMlVr, comprise entre les deux ordonnées AJ^Aq, M'M, l'axe desx et la courbe, est un nombre déterminé quand on se donne x^eix {^), Cette aire est une fonction de x. que je représenterai par o{x) et que je désignerai comme étant l'aire

(') On suppose, bien entendu, que l'unité de surface est le carré construit sur Tunité de longueur.

DÉRIVÉ B8. l65

de la courbe comptée à partir de la droite A^ Ao,' d'après les suppositions que Ton a faites, cette fonction cp(^), définie pour x >Xq^ est positive et s'annule pour x=zXo- Si l'on donne à x un accroissement positif A = M' F, l'accroissement correspondant de (f{x) sera l'aire curviligne M'MPP'; la continuité de la fonction ^{x) est évidente sur la figure: on va en évaluer la dérivée. L'aire curviligne M'MPP' est comprise entre les deux rectangles M'MM« P' et M'P, PP' dont la base est M'P'=A et dont les hauteurs respectives sont M'M =/(x), P'P = y(j:-|- A); dans la figure, le premier rectangle est le plus petit, parce qu'on a supposé la fonction /"(ar) croissante quand la variable croît de OM' à OP': ce serait l'inverse si elle était décroissante. Dans les deux cas, les quantités

se suivent par ordre de grandeur, croissante ou décroissante; il en est de même des quantités

il suit de là et de la continuité de la fonction /"(j?) que le rapport

r~~"^ — * pour limite /(a:) quand A tend vers o, puisqu'il est

compris entre deux nombres dont l'un est f{x) et dont l'autre tend vers f{x) quand A tend vers o; cela revient à dire que la fonction cp(j?) admet une dérivée et que cette dérivée est /(^). Le raisonnement a été fait en supposant A positif; on le refera sans peine en supposant h négatif.

Ainsi, l'aire AJ, AoMM' est une fonction primitive de/{x). Si F(x) d/signe une fonction primitive quelconque de/{x), on devra avoir, eu désignant par C une constante convenable, ^(x) = F(x) -h C; on détermine cette constante en écrivant que la fonction o{x) s'annule pour X = Xq et l'on en déduit

<p(ar) = F(ar)-F(a:o).

Pour obtenir Vaire comprise entre faxe des x, une courbe définie par V équation y=f[x) et deux parallèles à Caxe des y qui correspondent aux abscisses x^ et x», entre lesquelles on suppose

l€6 CHAPITRE XIII.

que la fonction f{x) soit continue, on cherche une fonction primitive F(j?) de f{x); Vaire cherchée est la différence F (jC|) — F(jrQ).

On a toutefois supposé, dans ce qui précède, que la fonction /(j-i était positive entre x^^ et x^ , et que l'on avait Xx > Xq : dans ces conditions, Taire qu'on a évaluée est essentiellement positive. Conservons d'abord la première supposition /(jt) > o, pour nous débarrasser de la seconde.

Si l'on avait Xi < x^, en vertu du même raisonnement, l'aire considérée serait F(j:o) — F(j:i). Il est naturel d'adopter toujours pour cette évaluation l'expression F(^i) — F(:ro), en convenant de regarder l'aire, évaluée à partir de la droite Aj^ Aq, comme négative quand le point M' est à gauche de A„. Dans ces conditions, la formule F(j7| ) — F{xo) convient dans tous les cas. Supposons maintenant que, dans l'intervalle considéré, la fonction f{x) soit négative; il suflit de changer la direction positive de l'axe des y, pour être ramené au cas précédent et reconnaître que l'expression | F(Xi) — F(.ro)|, où Fin désigne encore une fonction primitive de/(x), représentera toujours la valeur absolue de l'aire comprise entre l'axe des x, le trait de courbe, les deux parallèles à l'axe des > qui correspondent aux abscisses Xq et x^; la formule F(.zr,) — F(j:o) représente la même aire regardée comme négative si Xi est plus grand que Xq, comme positive si Xt est plus petit que Xo-

Enfin, si dans l'intervalle (jToî^i) la fonction /(j;) change de signe,

Fig. 70.

si la courbe traverse l'axe des x^ la formule F(a:i ) — F{x^), où F{x • désigne toujours une fonction primitive de f{x)j représente une somme algébrique d'aires, dont les unes sont situées au-dessus de

DBRIVKES. 167

Taxe des x, dont les autres sont situées au-dessous : si Ton a Xt >- j:o, les premières sont regardées comme positives, les secondes comme négatives; c'est l'inverse si Xi est plus petit que ^o-

En adoptant ces conventions, la formule F(x) — F(^o) conviendra toujours pour évaluer l'aire de la courbe comptée à partir de la droite A'^j Ao(^ = .2:0) • Si l'on veut, au contraire, évaluer les aires en les regardant comme essentiellement positives, il sera nécessaire de tenir compte des changements de signe de /(-p) et d'évaluer séparément des aires qui correspondent à des intervalles où /(x) garde un signe constant.

Soit, par exemple, à évaluer Faire du triangle rectangle OAB;

l'équation de la droite OA sera y = - J7, en désignant par a, b les

Fig. 71.

coordonnées du point A, c'est-à-dire les deux côtés OB, BAde l'angle

droit du triangle rectangle. La fonction — x'^ est une fonction primitive de - x: la différence a'^ = — des valeurs qu'elle prend pour

r = a et X := o représentera Taire cherchée. 11 est aisé de déduire de là la règle relative à l'aire d'un triangle quelconque, qui peut toujours être décomposé en deux triangles rectangles.

Considérons maintenant la courbe définie par l'équation jk = jî

la forme de cette courbe est représentée ci-dessous; évaluons l'aire comprise entre l'axe des x^ la courbe, l'axe des j^ et la droite M'M.

La fonction arc tang^r est une fonction primitive de j; elle

s'annule pour x = o; Isl différence arc tangue — o = arc tang^ représente l'aire cherchée. Si l'on suppose, par exemple, que l'abscisse

de M soit—, l'aire cherchée sera arctang-rr = ^- Si l'on suppose que X augmente indéfiniment par valeurs positives, arc tang:r tend vers - ; il en est de même de Taire ; c'est ce qu'on exprime souvent en

disant que Faire comprise entre Taxe des y, la courbe et son asymptote est finie et égale à - •

Considérons encore la courbe définie par Téquation j^ = - ; la fonction- est discontinue pour j? = o; conformément à ce qui a été dit plus haut, on ne la considérera que dans des intervalles auxquels o

Fig. 73.

n appartient pas; j'évaluerai Taire de la courbe à partir de la droite A'„ Ao en supposant Tabscisse de A^, égale à i : logo: est une fonction

primitive de -> l'aire AJ, Ao MM' sera, en désignant par x l'abscisse

du point M supposée positive, Igx — lgi = lgJ7; elle devra être regardée comme positive pour x > 1 , comme négative pour ar < i .

On observera que les aires, comptées à partir de A'^ A© (a: = i), qui correspondent à deux points M, N dont les abscisses sont inverses, sont égales en valeur absolue.

Ici l'aire comprise entre la courbe et l'asymptote n'est pas finie, puisque loga? croît indéfiniment avec a?.

Je suis parti des propriétés connues des fonctions arc tang j:, Igx ; mais il faut remarquer que la recherche des fonctions primitives

de -y - se serait certainement imposée si l'on n'avait pas étudié

antérieurement les fonctions arc tangj;, lg;r. Ces dernières fonctions auraient pu être définies comme les aires de courbes particulièrement simples. De cette définition même on aurait pu déduire leurs propriétés. Je ne développerai pas cette déduction ; je n'en indique la possibilité que pour faire soupçonner au lecteur cette nécessité de créer des fonctions nouvelles, afin de représenter les fonctions primitives qui ne peuvent s'obtenir au moyen des fonctions antérieurement connues.

J'aurai à revenir plus tard sur la recherche des fonctions primitives, dans des cas simples où elles peuvent s'exprimer au moyen des fonctions algébriques, exponentielles, circulaires, logarithmiques, etc. Je me borne pour le moment à dire que cette recherche est essentiellement fondée sur les résultats obtenus dans le présent Chapitre, et en particulier sur les expressions des dérivées que l'on a calculées, expressions qu'il faut avoir toujours présentes à l'esprit, afin de reconnaître de suite, sur une de ces expressions, quelle est sa fonction primitive.

La remarque suivante, relative aux fonctions de fonction, sera d'un usage courant : soit u une fonction de x et /(u) une fonction de tt, que l'on peut ainsi regarder comme une fonction de fonction de x. Soit F(w). une fonction primitive de /(a) quand on regarde u comme la variable; en d'autres termes la dérivée de F(tt), par rapport à w, est/(u). F(m), en y regardant u comme une fonction de j^", sera une fonction primitive de /(u) a', en désignant par m' la dérivée de u par

rapport à x : ainsi —> r> , admettent comme fonctions pri-

mitives IgM, arctange/^ arcsina, les expressions

iî)'

admettent comme fonctions primiti\es lg(i -h x^)^ arc tang

CH4PrTllB XIII.

La fonction

^a«— ar«

lA^:

admet comme fonction primitive arc si n -ou — arc sin -> suîvanl

que a est positif ou négatif, etc. Signalons encore cette proposition évidente :

Si F(^) et <ï>(jr) sont des fonctions primitives des fonctions /(j*)j '^(x) et si A, B sont des constantes, la fonction AF(j7) H- B^(x) est

une fonction primitive de A/(a:) -h Bcp(a:). Par exemple - arc lang-

est une fonction primitive de—- 1-

223. Fonctions à coefficients imaginaires. — Jusqu^ici, quand on a parlé de dérivées ou de fonctions primitives, on a toujours supposé que la variable et les fonctions dont on parlait étaient réelles.

La notion de dérivée et, par suite, de fonction primitive, s'étend, sous certaines conditions, à des variables et à des fonctions imaginaires; mais cette extension est entièrement en dehors du cadre du présent livre. A la vérité, pour ce qui concerne les dérivées, cette extension a été donnée au Chapitre Vil quand il s'agit d'un polynôme. Mais, pour les poljnomes, on a adopté une définition de la dérivée autre que celle qui a été l'objet du présent Chapitre : l'une des raisons que l'on avait pour cela était d'éviter toute confusion dans l'esprit du lecteur. Cette notion de la dérivée d'un polynôme, où la variable est imaginaire, est indispensable pour certaines théories relatives aux équations algébriques et aux courbes algébriques. Dans le présent Ouvrage, elle n'interviendra que pour ce qui concerne les équations algébriques, et c'est avec intention qu'elle a été présentée indépendamment de la notion de limite. Partout ailleurs, la variable sera supposée essentiellement réelle ; tout en se tenant à cette conception de la variable, il est commode de parler de la dérivée ou de la fonction primitive d'une fonction f{x) d'une variable réelle, mais qui contient des coefficients imaginaires. Une telle fonction sera définie dans un intervalle (a, ft), à bornes réelles, si on sait la mettre sous la forme '^{x) -h i'l{x)^ ? (•^) ^^ ^{^) ^^^^^ des fonctions réelles

DÉRIVÉES. 17 r

de la variable x^ définies dans cet intervalle; elle sera continue dans le même intervalle si o{x) et ^{x) sont continues; par définition, sa dérivée (par rapport à x) sera ^'{x) -h i^'{x), en désignant par ^'{x) et '^{x) les dérivées de ^{x) et de ^{x).

En adoptant cette définition, on reconnaît sans aucune peine que les règles pour prendre la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un rapport de deux fonctions s'appliquent sans modification à ces fonctions. Il en est de même pour la règle relative aux puissances entières, positives ou négatives, qui se déduisent des règles précédemment rappelées.

Par exemple, les dérivées des fonctions

\-^ix — (i-i-t)j?*, .» cosiFH-tsin^

sont respectivement

(|a:-f-0* d-HX»)* (i-+-a:<)« ' — sina? ■+■ icosx = i{cosx-¥- isinx).

La fonction primitive d'une fonction de la forme o(x) -^ i^{x) sera par définition une fonction admettant pour dérivée'^ (:?;)+ i^(x): si ^(x) et W(x) sont des fonctions primitives de o(x) et de ^(x), ^(x) -H iW(x) sera une fonction primitive de <f{x) 4- i^{x)] la fonction primitive la plus générale de cette dernière fonction sera <I>( x) -h iW(x) + A + «B, en désignant par A, B des constantes arbitraires, puisque ^{x) -\- A, ^(j?) -|- B sont les fonctions primitives les plus générales de ^{x) et de^(x)', par exemple, cosjc-h e sina?est

une fonction primitive de i (cosx -i- isînx)^ : = , est une

fonction primitive de r-r -+- —- 7 i\ il en résulte que -r >

-r sont des fonctions primitives de t—^ rj 7— r -■•

EXERCICES