COS
sumé la dérivée de Ig tang- est
^X X . X X %\ViX
•1 cos* - tang - SI sm - cos —
la même dérivée convient à la fonction Ig tang-L où, si l'on veut
avoir affaire à une fonction continue, x doit varier dans un intervalle auquel n'appartient aucun multiple de tc.
De même la dérivée de lg| tang(— -I- -7 ) est • Le lecteur
ramènera aisément un cas à l'autre.
Dans les applications de la règle des fonctions de fonctions, je me suis assujetti, pour une plus grande clarté, à représenter par des lettres distinctes les fonctions qui s'imbriquent les unes dans les autres ; le lecteur pourra commencer par faire ainsi, afin de bien reconnaître les fonctions de fonctions; il devra se défaire ensuite de cette
habitude et dire, par exemple : la dérivée de Igtang- est égale à la dérivée / \ de Ig tang - par rapport à tang - , multipliée par
la dérivée / \ de tang- par rapport à -> multipliée par la
dérivée (- j de - : la dérivée cherchée est donc
X ^OC 1 %\ViX
lane— cos* — ° a 2
L'application de cette règle doit lui devenir très familière; j'en
l32 CHAPITRE XIII.
dirai autant de toutes les règles et de tous les exemples des n"* 208. 209, 210, 211 et 212, qui doivent être sus par cœur, d^autant que ces règles et ces exemples sont d'un usage continuel. J'insiste d'autanl plus sur cette obligation que je crois inutile et même mauvais de confier beaucoup de formules à la mémoire. C'est d'ailleurs en les appliquant fréquemment que ces règles et ces formules se fixeronl le mieux dans l'esprit. Les règles pour le calcul des dérivées seront complétées aux n"* 217 et 219.
213. Dérivées d'ordre quelconque. Notations. — Si une fonction ,>'=/(^)admet une dérivée ^=/'(^), cette dérivée, étant une fonction de x^ peut admettre elle-même une dérivée que l'on désignera pary o\xf"{x) et que l'on appelle la dérivée seconde dc/(j:); cette dérivée seconde peut avoir une dérivée y^=^f"'(^x)^ qui sera dite dérivée troisième de/(x)y et qui sera la dérivée seconde de /^(-r); la dérivée j^*"" = /*''( a:) de la fonction /"'(j?) est la dérivée quatrième de/(^), la dérivée troisième de f'{x)^ etc. On peut continuer ainsi indéfiniment.
La dérivée /i**"* se représente par j^^"' oix/^'^^{x)» La dérivée/'(-r; prend elle-même le nom de dérivée première.
Les notations que je viens d'employer ne sont pas les seules usitées; quelques auteurs emploient, pour désigner les dérivées successives de la fonction y(x), les notations
où il est inutile de dire que les symboles 2,3,... ne sont pas des exposants : ils indiquent la répétition d'une même opération.
La notation de Leibniz consiste à Représenter la dérivée première d'une fonction^ ouy(:r) par la notation
dx^ dx ' dx
Elle conserve la trace de la définition de la dérivée, la lettre d est l'initiale du mot différence. Si Ton regarde pour un instant dx comme un petit accroissement donné à x^ comme la petite différence entre deux valeurs voisines :r et ^ -h dx de la variable, puis dy comme la petite différence entre les valeurs correspondantes y el y ■-\- dy de la
fonction, le rapport -j- sera voisin de la dérivée. Nous regarderons ici (au moins jusqu'à ce qu'on ait introduit la notation différentielle) les écritures ~ » -^ — -^ -^ non comme signifiant un rapport, mais
comme de purs symboles représentant le résultat de l'opération qui consiste à prendre la dérivée dey ou de/(x) par rapport à x.
Cette notation a encore l'avantage de spécifier la variable; si, par exemple, j^ = 'f (w) est u(ie fonction de la variable u, et si a = ^(j?) est une fonction de x, y pourra être regardé comme une fonction de fonction de ^; il y aura lieu de distinguer entre la dérivée ©'(«) de y prise par rapport à u, et la dérivée ^' (u) 'y(x) de j^ = o[J>(x)] prise par rapport à x ; cette distinction se fera naturellement en écrivant -^ dans le premier cas, et -~ dans le second; le théorème des fonctions de fonction pourra alors s'exprimer par la formule
dy __ dy du dx ^ du dx
Dans la notation de Leibniz, les dérivées seconde, troisième, ..., ^iéme jg jg^ fonction^ de x se représentent par
dty d^y d'\y
dx^^ dx^ ' ""' dx"^ '
Les chiffres 2, 3, ..., /i ne sont pas des exposants, ils rappellent simplement Vordre des dérivées (' ).
Voici quelques exemples de cas où la dérivée ai'*™° s'obtient facilement.
On a vu au Chapitre II la forme des dérivées première, seconde, ..., ^lème d'un polynôme du /i'*"® degré : cette dernière est une constante, les suivantes sont identiquement nulles.
Si a et 6 sont des constantes, et n un nombre quelconque, les dérivées première, seconde, . . ., ^'*"« de {ax -h 6)" sont
na(ax-h ô)^-^y n(n — i)a*(aa7 -+- 6)'*-*, ..., n(n — i). . ,{n ■— /? ■+• i)aP{ax-^ by^-P.
(*) Au lieu de dire dérivée première, seconde, etc., on dit aussi dérivée du premier ordre, dérivée du second ordre, etc.
l34 CHAPITRE \111.
Lorsque n est un nombre naturel, l'un des facteurs numériques devient nul dès que p dépasse n. En particulier, la dérivée yo**"« de la fonction est
La dérivée/?**"** de
est
La dérivée n**"" de a^ est a'^(lg«)"; toutes les dérivées de e' sont égales à e'.
Les dérivées premières de sinx et de cosa: peuvent s'écrire
sinf x-f- - j> cos(j:-|- -^y, on en conclut, de proche en proche, que
les dérivées /i'*"«* sont sin (x -^ n-\y cos ( jc -f- " f ) ; les dérivées successives de Tune quelconque de ces fonctions se reproduisant périodiquement de quatre en quatre.
La dérivée /»'*"** de lg(^i -{- x\ est la dérivée {n — i)'^"** de —^\
elle est
Soient m, r deux fonctions de .r dont on dé^ignera respectivement les dérivées successives par
la déri\ée /*'*"' du produit */i* est
„ 'I r -^CJm '«-I t'^C5//«-« «' — .. .-^-C;îwl'« ,
en désignant par C", C" C^J les coefticients de la /i'*"* puissance
d'un binôme in*' W^. Cette formule, qui est souvent utile pour calculer des déri\ées «'''""*. se démontre sans peine par induction. La déri\éede Texpression
DÉRIVÉES. iS.S
esl
Où. a écrit sur la première ligne, pour chaque terme, la partie de la dérivée obtenue en prenant la dérivée du second facteur; sur la seconde ligne, Tautre partie. En faisant les réductions, on voit que celle dérivée est égale
I4t,i/n-i) ^ (__ , yi |^i«H-i) (,.
214. Dérivées partielles. — Considérons une fonction de plusieurs \ariables indépendantes, par exemple une fonction /(^, y^ z) de trois variables x, y, z; je la supposerai définie et continue pour toutes les valeurs de x^ y^ z qui satisfont aux conditions
(1) A<xiPL'y B^^^B', G^5<G',
où A, B, C, A', B', G sont des nombres donnés; si l'on attribue à y, z des valeurs fixes satisfaisant aux conditions précédentes, /(^,y, 5) sera une fonction de x continue dans l'intervalle (A, A'); si elle admet une dérivée, cette dérivée sera dite la dérivée partielle de la fonction /(j:, y^ z) par rapport à x; elle se représentera par
/'. ou g (.).
Les dérivées partielles /J. ou ^>/^ ^" ;i~' prises par rapport ky
et à 3, se définiront de la même façon.
Si la fonction /{Xj r, z) admet des dérivées partielles pour chaque système de valeurs des variables qui vérifient les conditions (1), il est clair que ces dérivées partielles seront des fonctions de x, y^ z définies pour tous ces systèmes de valeurs des variables.
Une dérivée partielle par rapport à une variable se prend en sui- >anl les règles expliquées précédemment; en calculant cette dérivée, ou traite les autres variables comme des constantes.
(') Il convient, afin d'éviter les confusions, d'employer un caractère différent {à) <ie (rf) qui a servi jusqu'ici, pour rappeler qu'il s'agit d'une dérivée partielle.
l36 CHAPITRE XIII.
On a, par exemple, en prenant/(.r,^) = jJ",
on doit supposer x positif.
Si l'on a
on aura
df z X àf ZTS X df . X
-~ = — cos — » -r- = cos —, -^ "=: ^in-
ox y y dy yr^ y dz y
11 est à peine utile de dire que les dérivées partielles d'un polvnome en x, y^ 5, ..., que Ton a définies au Chapitre II soni les mêmes expressions que celles qu'on vient de définir.
En parlant d'une fonction /(x, y? z) définie et continue aux environs d'un système de valeurs x©? ,Vo, ^o admettant, pour ce sjslème de valeurs et aux environs, des dérivées partielles continues, j'entendrai qu'il y a un nombre positif £ (non nul) tel que, en posant
Pl = Xq — e, B=j^o— 6, C=-3o— s,
la fonction /(j:, y, z) soit définie et continue pour toutes les valeurs de 00^ y ^ z qui satisfont aux conditions (i), et admette, au sens qu'on vient de dire, pour ces mêmes valeurs des variables, des dérivées partielles qui soient des fonctions continues de x, v, z.
Tel est le cas, par exemple, de la fonction ssin - pour tout système
de valeurs x^^y^^ Zq tel quej^o ne soit pas nul.
Les dérivées partielles /^, /^., f'^ d'une fonction de trois variables fi^x^y^ s), dont on vient de parler, sont les dérivées du premier ordre; je suppose que chacune d'elles admette (Jes dérivées premières par rapport à x^y^ 3, celles-ci seront, pour /(x, j^, 5), des dérivées
secondes; par exemple, les dérivées (premières) de/^ ou -- par rapport à jc, y^ 3, se désigneront par
f xxt J xyt Jxz
OU
de même ou
dx dx ' dx dy'
dxdz'
fyxt fyyj
fy:
à'/ ^ av.
dj^ dx dy dy
dyôz
désignent les dérivées (premières) de/^ ou ^ par rapport à x^y^ z,
et ainsi de suite. Ces notations se simplifient lorsque l'on peut intervertir l'ordre des dérivations; c'est ce que l'on peut faire dans le cas des polynômes, comme on l'a montré au Chapitre II; c'est ce que l'on peut faire, plus généralement, lorsque les dérivées que l'on considère sont des fonctions continues de variables indépendantes; je le démontrerai un peu plus loin; je ne m'arrête, pour le moment, qu'à la notation. On a expliqué, à propos des polynômes, la signification du symbole
OÙ a, 3, y représentent des nombres entiers, positifs ou nuls, dont la somme est égale à p, La même dérivée />'*"• que représente le précédent symbole se représente aussi par
dpf
dx» âyP âzy
Je répète que cette façon d'écrire ne sera légitimée que lorsqu'on aura prouvé la possibilité d'intervertir l'ordre dans lequel on prend les dérivées.
On a souvent besoin d'écrire un symbole qui représente la valeur d'une dérivée partielle pour un système de valeurs attribuées aux variables; on écrira, par exemple,
/r«(^o,ro)> fJ^^,p^r(^o,yo, so)
pour désigner ce que deviennent les dérivées seconde et /?**™* /j.,, /,«\?,Y quand on y remplace x par Xo^yo^ Zq; on écrit aussi quelquefois
avec le même sens.
l3d CHAPITRE Xlll.
215. Si une fonction f{x) admet une dérivée f{x) dans un inte/çalte (a, b) et si elle est nulle pour x= aet x := b^sa dérivée f{x) s^ annule pour une valeur de x comprise entre a, b et différente de a et de b.
Fig.
Celte proposition, connue sous le nom de théorème de RoUe. revient à dire que, sur l'arc de courbe qui représente la fonction y = f(^x) lorsque x croît de a à è, il y a un point d'abscisse a (a< a < 6) où la tangente est horizontale.
Sous cette forme la proposition semble intuitive. Le lecteur peut, s'il le veut, se contenter de cette vue, et admettre cette proposition au même titre que les propositions concernant les fonctions continues qu'on lui a demandé d'admettre au n' 196.
Il y a toutefois intérêt à savoir que la démonstration du précédent théorème se ramène à l'une des propositions qu'on vient de rappeler.
Dans l'intervalle (rt, 6), la fonction /(:f) qui, par hypothèse, admet une dérivée, est continue : il nous sera plus tard commode d'avoir observé que la proposition considérée, et la démonstration qui suit, n'impliquent pas l'existence de la dérivée pour les bornes «, b de l'intervalle; mais cette démonstration s'appuie sur la continuité de la fonction /(j7) dans tout l'intervalle, bornes comprises; cette continuilé est donc essentiellement supposée.
Si la fonction /(.r), continue dans l'intervalle (a, fe), n'est pas nulle dans tout cet intervalle, elle est soit positive, soit négative, pour quelque valeur de x^ ap])artenant à cet intervalle.
Plaçons-nous dans le premier cas, et désignons par a la valeur de J7, appartenant à l'intervalle (a, 6), pour laquelle la fonction continue f{jc) atteint son maximum ( n° 196), c'est-à-dire le nombre x
DÉRIVÉES. l39
tel que l'on ait/(a) >/(ar) pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à rintervalle (a^ b).
Le nombre /(a) est certainement positif, puisqu'il y a des valeurs de /(x) qui sont positives et que /"(a) est supérieur ou égal à ces valeurs. 11 suit de là que a n'est égal ni à a, ni à b. Je dis que l'on a /'(a) = o.
En effet, les deux rapports
/(flc-^A)-/(a) /(a-y^)-/(a)
h ' =r '
où h est une variable positive, assujettie à être assez petite pour que les nombres a -f- A, a — h appartiennent toujours à l'intervalle (a, b) tendent vers la même limite/'(a), quand h tend verso; les numérateurs de ces deux valeurs sont négatifs ou nuls, en vertu de T hypothèse faite sur /(a); des deux rapports, le premier est négatif ou nul; sa limite ne peut être positive; le second est positif ou nul; sa limite ne peut être négative. Cette limite, qui existe puisqu'il y a une dérivée, et qui n'est ni positive, ni négative, est certainement nulle. La proposition est démontrée. Puisque a n'est ni a, ni 6, l'existence de la dérivée pour ^ = a, ou pour x = b, n'est pas supposée.
Formule des accroissements finis. — De cette proposition va résulter la suivante :
Si la fonction/(j:) admet une dérivée /'(j:) dans l'intervalle («,t), le rapport
est égal à la dérivée f {x) pour une valeur de x comprise entre a et 6, différente de a et de b.
Remarquons que cette proposition a à peu près le même caractère intuitif que le théorème de Rolle : en effet, si l'on figure la courbe qui représente la fonction^ =/(a7) dans l'intervalle (a, 6), le précédent rapport représente la pente de la droite AB qui joint les deux points A, B correspondants aux valeurs a^ b à& x\ l'énoncé précédent veut dire qu'il y a sur la courbe un point M dont l'abs( i^se a est comprise entre a et t, où la tangente est parallèle à AB.
Au reste, ce théorème se ramène au théorème de Rolle en consi-
l4o CHAPITRE XIII.
dérant (n** 207) la fonction du premier degré
fia).
Fig. 64.
qui, pour ^ = a et pour ^=6, prend les mêmes valeurs /{a)ei f{b) que la fonction /'(j?); la différence
entre cette fonction du premier degré et /(^) s'annulera donc pour jt* = a et pour a: = è ; sa dérivée
s'annulera pour une valeur de x^ comprise entre a et 6, autre que a et 6.
De même que le théorème de Rolle, ce théorème, pourvu que la fonction f{x) soit continue dans Tintervalle (a, 6), bornes comprises, n'implique pas l'existence de la dérivée aux bornes a, b de l'intervalle.
Le résultat qu'on vient d'établir s'écrit souvent sous la forme qu'on va expliquer.
Si j: et j; -4- A sont deux valeurs quelconques de x, appartenant à un intervalle où la fonction /(j:) a une dérivée, une valeur quelconque de la variable comprise entre j? et a: -h A pourra être représentée par ^ -f- 0/i, en désignant par 6 un nombre positif (non nul' et moindre que i. En appliquant le précédent théorème aux
DÉRIVÉES. l4l
nombres x eX. x -^ h (au lieu de a et 6), on pourra donc écrire
ou
c'est la formule à laquelle on donne souvent le nom de formule des accroissements finis.
Elle permet, en particulier, d'évaluer l'erreur que l'on commet, lorsque, pour calculer la valeur d'une fonction /(^), on substitue à la variable une valeur approchée : soient a la valeur approchée, a -}- A la valeur exacte, l'erreur est hf'{a + OA); elle est donc moindre, en valeur absolue, que A a, en désignant par a une limite supérieure de l'erreur commise sur la variable et par A un nombre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs absolues de la fonction f'{x)^ quand x varie de a — a à a -h a. Il sera, d'ordinaire, aisé d'évaluer A par un calcul grossier. On ne doit pas oublier toutefois que, si la valeur de /(a) n'est pas calculée exactement, l'erreur commise dans le calcul de /(a) peut s'ajouter à celle qu'on vient d'évaluer.
Supposons, par exemple, qu'on veuille calculer un nombre dont on se donne le logarithme vulgaire et que l'erreur commise sur ce lo-
garithme soit moindre que a; on a ici/(j:) = e", en désignant par x la valeur exacte du logarithme; l'erreur commise sera donc moindre
que ^ e"", en désignant par Ç un nombre compris entre a — a et a -|- a;
si Ton suppose ces nombres moindres que 4) on voit que l'erreur sera moindre que
moindre que — > par conséquent, si l'on suppose a < lo"^. Le lecteur
peut multiplier les exemples de cette nature.
Voici maintenant une application, d'un caractère tout théorique, de la formule des accroissements finis.
Supposons que, lorsque x varie de a à 6, la fonction dérivée /'(a?) reste inférieure en valeur absolue à un nombre positif fixe L : c'est <*e qui arrivera sûrement (n® 196) si elle est continue dans l'intervalle (a, b).
l42 CHAPITRE XIII.
On aura alors, en désignant par Xq, x^ deux nombres quelconques appartenant à cet intervalle,
|/(^i)— /(^o) I <L|ari— a:o|;
on voit donc que, si l'on se donne un nombre positif s, il est possible de lui faire correspondre un nombre e' = r tel que l'on ait certainement
sous la condition que l'on ait \ x^ — Xo\<.t' et que les nombres -Fj, Xi appartiennent à l'intervalle (a, b). C'est une proposition que Ton a énoncée au n" 196 sous une forme plus générale, sans supposer l'existence de la dérivée.
On verra bientôt l'importance du théorème des accroissemenb finis pour fonder les propositions relatives a la variation des fonctions. Je vais l'appliquer à la démonstration de quelques règles qu'il me reste à donner pour le calcul des dérivées et, tout d'abord, à démontrer que, pour les fonctions de plusieurs variables, on peut intervertir l'ordre dans lequel on prend les dérivées.
Il suffira (n° 46) d'établir la légitimité de cette interversion dans le cas d'une fonction de deux variables; l'extension est ensuite aisée.
216. Soit /{x^ y) la fonction considérée : je suppose que, pour les systèmes de valeurs de x^ y que l'on considère et aux environs, elle admette des dérivées partielles du premier ordre continues
Mon objet est de démontrer que, si les dérivées partielles cp'^. =/jj et ^'j. = fyj. sont continues pour le système de valeurs x^^ y^ attribuées aux variables et aux environs, ces dérivées sont égales.
L'accroissement de la fonction /(:r, y)^ regardée comme une fonction de X seul, quand on passe de la valeur x^ à la valeur Xq -H A est f{x^-\- h^y) — fi^fit 7)1 c'est une fonction de y^ que je désignerai par g{y) et dont la dérivée g'{y) (par rapport à y) est ^(xo-hA, x)— '}(^07y)j puisque J>(^o 4- A,:k) et «K^o, ^) sont les dérivées respectives, par rapport à y^ des fonctions /{xq -\- A,/) et
DÉRIVËBS. l43
L'accroissement g{yo-h A") — g(yo) de la fonction g{j') quand on passe de la valeur Vo à la valeur ^q -f- A" est
/(xo -H A, J^o -H A) — /(a7o, yo -h A-)—/(xo-hh,yo) -+-/(xo, /o),
et, sous cette forme, il est clair que l'on serait arrivé au même résultat en partant de l'accroissement /(^, jKo + A) — /(^i Xo) àe la fonction/(x, r) regardée comme une fonction dey seul, quand on passe de la valeur j^Q à la valeur^o-i- A", puis en regardant cette expression /{x^Vq -h A-) — /(.r, j'o ) comme une fonction de la seule variable x et en calculant son accroissement quand on passe de la valeur Xq à la valeur XQ-i- h. C'est cette remarque évidente qui va nous conduire à la proposition annoncée.
L'accroissement giyo-^ ^) — o (yo) ^st, en effet, en vertu du théorème des accroissements finis, égal à
en désignant par ^ un nombre positif plus petit que i , mais, dans le second membre, le facteur que multiplie k peut être regardé comme raccroisseraent de la fonction (de x) ^{x^ y^ -\- ^A") quand on passe de la valeur Xq à la valeur Xq-\- h\ en vertu du même théorème, cet accroissement est égal au produit par h de la dérivée ( par rapport à X ) de cette fonction, pour une valeur x^-^rth de la variable comprise entre x^ eiXQ-\- h\ le dernier membre de l'égalité précédente est donc hk'Yj.{xQ-\- a A, ^o-h ^k)- On a ainsi
/(jToH- A» ro -+- A) — /(a^o, 7o -^ k) —/{xo -¥- A, ^o) -H-/(a?o,ro) = hk'y^gixo-hoih.yQ-^^k):
mais, si Ton avait fait les choses dans l'autre sens, si l'on était parti de raccroissementy(a7, y^ -\- k) — /(^, yo) regardé comme une fonction de j:, pour calculer l'accroissement de cette fonction quand on passe de Xq à x^ + A, on serait évidemment arrivé à l'expression AAi^(Xjj -+- oL^h.yo -h p'A") en désignant par a', 3' des nombres qui, comme a et (3, sont compris entre o et i ; les deux résultats doivent être égaux et l'on doit avoir
Yx(^o-^<=^^,yo -t- P A) = tf'y(xo ■+- a' h, 7o H- P'A).
l44 CHAPITRE XIII.
Les deux fonctions ^^, '^^ étant, par hypothèse, des fonctions continues, les deux membres, lorsqu^on fait tendre het fc vers o, ont pour limites respectives ^^i^o^yo) ^^ ^yi'^otyo) • ces deux quantités sont donc égales; c'est ce qu'il fallait démontrer.
217. FonctionB composées. — Soit/(w, i^) une fonction des deui variables indépendantes w, r; je suppose que, pour chaque système de valeurs de ces variables que je considérerai et aux en\ irons, la fonction soit continue et admette des dérivées partielles continue*.
Regardons maintenant i/, r comme des fonctions de la variable indépendante X, continues dans Tintervalle (a, b) et admettant, dans cet intervalle, des dérivées u\ t»'. Il est bien entendu que les valeiir> que prennent m, v quand x appartient à l'intervalle (a, b) sont de celles pour lesquelles les conditions imposées à la fonction y(«/, n sont vérifiées. La fonction /(w, i') devient alors une fonction de j" définie dans l'intervalle (ût, b), fonction dont on dit qu'elle est composée avec les fonctions w, v; je vais montrer que cette foncliuD (de x) admet une dérivée (par rapport à jr)et que cette dérivée est
Au'^/y ou g«'+^W.
Ne regardons pas encore w, r comme des fonctions de x^ et considérons deux systèmes de valeurs Uq et l'o, Wo -h A//o et r^-hAiv attribuées aux variables m, r dans la fonction /(m, r); la différence
entre les valeurs de la fonction /qui correspondent à ces deux ststèmes de valeurs des variables peut s'écrire
Le premier crochet peut être regardé comme l'accroissement de la fonction de la seule variable r,/(wo 4- Awo? ^) quand on passe de Id valeur w-q à la valeur Tq-I- Ar© de cette variable; il est donc égal au produit par Aro de la valeur que prend la dérivée par rapport à r »ie la fonction /(wo4- Awq? ^) quand on y remplace v par une valeur ÇQ-^h\vo intermédiaire à Tq, ('o-H^^oî en sorte qu'on peut écrire
On a de la même façon
V désignanl un nombre compris entre o et i . On a finalement
(U /(Mo-T-Aao, vo-h \Vo)—/(uoy v^)
cette égalité a lieu quels que soient Uqj Vqj ^^oy ^^o-
Supposons maintenant que l'on considère deux valeurs voisines Xq et Xo-h AoTo de la variable x et désignons maintenant par Uq et i'o, Wo-H A^o et i'o"**- ^^0 les valeurs correspondantes des fonctions m, i^ de cette variable; l'accroissement de la fonction (de x) /(u^ i^) quand on passe de la valeur Xq à la valeur Xo-{- Ar© sera le premier membre de l'égalité (i), et la recherche de la dérivée de la fonction de x revient à la recherche de la limite de
quand Axo, Amoi ^^o tendent vers o; or, dans ces conditions, -— ^» — - tendent vers les valeurs (^J,, u' des dérivées v\ u! des fonctions c, u
pour^x = Xo; les fonctions (des deux variables m, ^)/i ^^fu étant continues, les expressions
/i («o-H Amo, Vo-H 0 Ai^o), /« (woH- 6' Amo, Po)
tendent vers les valeurs f'^ (u^^ <^o)î /L(^oi ^o) ^^s dérivées partielles y(,, /J^ pour M = «p, (^ = (;,, ; il n'y a maintenant aucun inconvénient à supprimer l'indice o et à dire :
La dérivée par rapport à :r de la fonction /(m, v) composée avec les deux fonctions (de x) u eX. v est f'u^'-^fl v' ,
La proposition qu'on vient d'énoncer peut s'écrire
df__dfdu àf d^ dx ~^ du dx àv dx
Elle s'étend aux fonctions composées avec autant de fonctions e/, i\ w, . . . que l'on veut. Bornons-nous au cas d'une fonction de trois variables /(m,*', iv), où l'on regardera w, ç, w comme des fonctions T. — U. 10
l.\(\ CHAPITRE XIII.
(le x'j SOUS dos condîtions analogues à celles que l'on a spécifiées au dôbut de ce numéro, on aura pour la dérivée de la fonction de x ainsi composée
djT du dx ôv dx dw tlx •"' -"^ •'*' '
ainsi qu^il résuUe de la suite d'égalités que voici :
= {/{ u — A«, i* H- Ac», w -+■ A«v] — f{u -^ \u, V -+- Ai?, w)]
— l/i 14 -h Afi» V -h Ar, «v] — /^« -r- Au, v, w)] ^ [/l M — Au, r, «•> — /\ M, r, w »]
= A*»' ^/^. V w -«- Aa, r •+■ Ar, iv -+- 6 Aw >
— Ar Jl < M -*- Am, r — 8 Ai\ wp )
— Au /*„ » M — ft* Aa, i\ w ».
Los règles ivlatJxes ù V^ derixêe d'un produit «i* ou d'un quotient fourniront dos applications immédiates des règles précédentes. i^n a on ottVt. jKir e\ompU\
la vlonxot^ do u\' |VAr rappv^rt àx. lonkjue w. i* sont des fonctions de x, o^t dv^uo \ u — <»%^ . on dtM^uarît fvjir u . %' . les dêri\ées de i/. v. I ^ dorixoo * ' vlo N" o^t
Mi yât^ V,».-* i j: o.i 4 « » ,jt 3v^*r4 » = i' : i .'«i ^» = • ^ :*. pai> en preoaol les
^»l .»! I vU t
DÉRIVÉES. i47
Si en particulier on suppose a = x, i' = x, on voit que la dérivée (le x^ est
Si Ton considère les éléments d'un déterminant comme des variables, il est clair que la dérivée partielle du déterminant par rapport à chacun (le ses éléments sera le mineur relatif à cet élément. De cette remarque, de la règle précédente, et de la règle relative au développement d'un déterminant par rapport aux éléments d'une ligne ou Axrnt colonne, résulte immédiatement la proposition suivante :
La dérivée d'un déterminant du /i*^™" ordre, dont les éléments dépendent d'une variable, est la somme de n déterminants dont chacun s^obtient en remplaçant, dans le déterminant proposé, les éléments d'une des n colonnes par leurs dérivées respectives, ou les éléments d'une des n lignes par leurs dérivées respectives.
En particulier, si, pour une valeur de la variable, tous les mineurs sont nuls, la dérivée du déterminant est nulle pour cette valeur de la variable.
La règle pour prendre la dérivée d'une fonction composée s'applique aux dérivées seconde, troisième, etc.
Supposons, en conservant les notations antérieures, qu'il s'agisse de la fonction composée y(w, r, (v). Sa dérivée première est
Chaque terme est un produit et sa dérivée s'obtient par la règle relative aux produits : en prenant les dérivées des seconds facteurs, on obtiendra les termes
qui devront figurer dans la dérivée seconde; devront y figurer aussi Ifs produits de m', v' ^ iv' par les dérivées respectives des fonctions ('^^ ^) f'u'i f'vtfw • ^^s fonctions sont des fonctions composées; la dérivée de la première est
du dv ôw '
ou
l48 CHAPITRE XIII.
la dérivée de la seconde et de la troisième sont respectivement et Ton a finalement, pour l'expression de la dérivée seconde,
Cette formule peut s'écrire, si l'on préfère, dx^ ~" du dx* dv dx^ dtv dx^
,à\f/duYd\f/dv^Y àVf^y
du*\dx/ dv*\dx) ôw^\dx) ô^f ds? dw d* f du dw
-^ 2 ^^— + '2 Il
dvdw dx dx duàw dx dix
à^f du dv àudv dx dx
On peut continuer ainsi.
218. Formule des accroissements flnis pour les fonctions de plusieurs variables. — Soit, par exemple, /(jr,j^, -s) une fonction de trois variables. Je vais donner une expression de la différence
/{xo-^h, ro-^k, Zo-^l)—f(xo,yo, ^0),
qui peut être regardée comme Taccroissement de la fonction y (jc,^, s) quand on passe du système Xo,.ro> ^0 s^" système:ro-+-A,yo4-A",S|>-}-'- Je suppose que pour chaque système de valeurs que Ton obtient en faisant varier / de o à 1 dans les expressions
x^t ■+■ ht, jtq -h kt, Zo •+- It,
et aux environs de chacun de ces systèmes, la fonction /'(x,>', z) soil continue et admette des dérivées partielles continues. Regardons dans
DÉRIVÉES. l49
la fonction f{x^y^ z) les variables j?, jk> ^ comme respectivement égales aux fonctions (de t) Xq-^ ht^ y^j-^- kt^ Zq-\- It, dont les dérivées (par rapport à t) sont les constantes A, A", /; la fonction /(^,y^z) deviendra alors une fonction (composée de t) dont la dérivée (par rapport à t) sera h/'j. -+- kf'y -\- lf\\ ot la différence dont on cherche une expression peut être regardée comme l'accroissement de la fonction (de t)
quand on passe de la valeur o à la valeur i de la variable; elle sera donc égale à Taccroissement i de la variable multiplié par une valeur de la dérivée pour une valeur ô de / comprise entre o et i ; en d'autres termes on aura
-f- kfyixo-h^h.yo-h^k, Zo-+-e/) -h//i (xo-\-Bk,yo^^k, Zo-h60.
C'est la formule cherchée.
Celte formule, comme celle du n" 21o, est précieuse pour l'évaluation des erreurs. Supposons qu'on veuille calculer la fonction J'{Xy y, Zy ...) pour un certain système de valeurs de x^ y, z, ... auxquelles on substitue des valeurs approchées a^ b^ c, ..., les erreurs étant moindres respectivement, eu valeur absolue, que a, ^, y, .... On verra, comme au n" 21S, que l'erreur qui en résulte pour f(x^y^ 2, ...) est moindre, en valeur absolue, que Aa-f-Bp-|-CY + ..., en désignant par A, B, C, ... des nombres positifs, respectivement égaux ou supérieurs aux plus grandes valeurs absolues de /^, /^, /^, . . . , quand x^ y^ 5, ... varient respectivement dans les intervalles
(a — a, a + a), (6 — ^^ b -\- ^), (c — Y? c 4- y), D'ordinaire, on
pourra évaluer les coefficients A, B, C, . . . au moyen d'un calcul grossier. Toutefois, l'évaluation de l'erreur par la formule précédente suppose qu'on fasse exactement le calcul de/(r7, 6, c, . . .), ce qui, le plus souvent, est impossible ou très fastidieux : on devra donc ajouter à Aa-h-Bjî + Cv -}-... une limite supérieure de l'erreur commise dans l'évaluation même de /(a, 6, c, . . .). Cette limite supérieure s'obtient encore ens'appuyant sur la formule des accroissements finis; on peut,
l5o CHAPITRE XIII.
du reste, ne pas tenir compte fie l*erreur commise sur révalualion de /(a, 6, c, . . .) lorsqu'on fait les calculs avec une précision telle que l'erreur qui en résulte soit très inférieure à Aa 4- B^ H- Cy -|-
On peut, d'ailleurs, être amené à partager le calcul en plusieurs étapes, à évaluer les erreurs commises à chaque étape et leur répercussion sur les étapes ultérieures; on aura, au fond, à appliquer plusieurs fois la même méthode.
Quoi qu'il en soit, en regardant la formule Aa -j- B^ -h Cy -H ... comme exacte, on observera d'abord qu'elle contient, comme cas particuliers, les règles données dans la note du n" 138 pour l'évaluation de l'erreur commise sur une somme, un produit, un quotient.
Cette formule, en supposant connus les coefficients A, B, C,
permet de résoudre les deux problèmes fondamentaux de la théorie des erreurs, celui que l'on a posé d'abord, et le problème inverse : lorsqu'on veut calculer la valeur d'une fonction /"(j:*, j^, :;, ...) a\ec une erreur moindre qu'un nombre positif donné e, avec quelle approximation faut-il connaître ces nombres a, 6, c, . . . que l'on substituera aux valeurs exactes de j:,^, 3, . . .? On a alors à résoudre, par rapport à a, p, y, . . ., l'inégalité Aa -h B^ -j- Cy -H ...<£. Le problème comporte une indétermination évidente, dont on profitera pour le mieux. Si les coefficients A, B, C,... sont peu différents, on pourra prendre tous les nombres a, p, y, . . . inférieurs au quotient de e par la somme A 4- B-f- C -h. . . ; dans le cas contraire, on pourra prendre, par
exemple, a<; — ^> P<^~^' Y*^ ~r' '" ^^ supposant qu'il j ail
n nombres x^ y, z, Il arrive d'ailleurs fréquemment, dans les
applications, que certains des nombres a, p, y, ... sont connus : on retranchera de e la somme de ces nombres respectivement multipliés par leurs coefficients; la différence doit être positive pour que le problème soit possible : il se ramène évidemment à la résolution d'une inégalité de la même forme que celle qu'on vient de considérer.
Supposons maintenant qu'on veuille réduire en nombres une formule : dans cette formule peuvent figurer certains nombres qui résultent de mesures forcément inexactes, ou de calculs antérieurs, dont les résultats ne sont qu'approchés, il peut y figurer aussi des nombres (comme tc ou p) qu'on peut avoir avec telle approximation qu'on veut, mais auxquels il faudra bien, pour faire les calculs, substi-
tuer des nombres approchés. On remplacera par des lettres, dans la formule, tous les nombres auxquels on devra substituer des valeurs approchées ; la formule prend alors Fapparence d'une fonction /■( r, y, 5, . . .) et Ton est ramené aux problèmes précédents.
Soit, par exemple, à calculer 4 /<i(lg6)*— csin -<i, où l'on suppose
= 4/-, 6 = 72,5, 0 = 0,087, rf = 0,373; relativement aux trois derniers
nombres, on suppose que chacun d'eux est connu avec une erreur moindre qu'une unité de l'ordre du dernier chiffre.
En regardant, pour un instant, les lettres a, 6, c, d comme des variables, on aura, pour appliquer la méthode précédente, à calculer des nombres positifs A, B, C, D respectivement supérieurs aux valeurs absolues des dérivées partielles
/i L^m 7, iXozb — sin-rf — c-cos-a (lg6)' b ^ 2 2 2
uR ' 2R ' ^R ' 2R '
où K a été mis à la place du radical; un calcul très grossier, où Ton pourra s'aider de tables à un petit nombre de décimales, permet de reconnaître que, dans les limites où Ton suppose que a, 6, c, d restent compris, R reste supérieur à 3, et qu'on peut prendre A = — , B = — , C = — > D = : les
^ ^ ^ ^ jo 100 10 100
nombres p, y, S sont ici donnés et sont égaux respectivement à lo-', 10-», 10-5 : dans l'expression Aa -+- Bp -h Gy de Terreur, la partie Bp-f-CY-+-Dô est connue; elle est inférieure à 10 » H- 2.10-* ; il serait déraisonnable de prétendre obtenir le résultat avec une approximation d'un ordre supérieur au
millième; il serait déraisonnable de calculer a = 4/- avec un très grand
nombre de chiffres décimaux : si on le calculait avec une erreur moindre que
- 10-*, et si tous les calculs ultérieurs étaient faits exactement, on pourrait
compter que l'erreur finale serait moindre que 2.10-'. Cette supposition, qu'on fait exactement les calculs ultérieurs, est d'ailleurs absurde, puisqu'on ne peut avoir les valeurs exactes des logarithmes, de la racine, ...; mais, si l'on fait les calculs avec une table à cinq décimales, on peut compter que les erreurs provenant de ces calculs n'affecteront pas la troisième décimale du résultat (*)• Pour effectuer le calcul, on cherchera le nombre dont le logarithme serait
égal à - log2 log7c-i- 2 log(log72,5) — 2 logM, et l'on en retranchera le
(*) Cest là un poinl dont le lecteur pourra se convaincre par un raisonnement analogue à celui du n** 215, pour le passage des logarithmes aux nombres.
nombre dont le loj^'arithme serait égal à la somme des logarithmes de 0,087 et du sinus de 3y grades, 3 dixièmes; on extraira, toujours au moyen des logarithmes, la racine carrée de la différence. On trouve ainsi 3,8201; on pourra compter que le nombre 3,82 est approché avec une erreur moindre qu'un centième. Des tables à quatre décimales auraient suffi pour parvenir au nombre 3,82.
219. Fonctions implicites. — Considérons l'équation (i) a:'-+- r*— r' = o;
on en tire^ = iiz y/'/*^ — x^ ; si dans l'équation (i) on remplace y par l'une ou l'autre de ces expressions, son premier membre se réduit identiquement à o.
L'équation (i) déduit deux fonctions de x, à savoir y/r^ — x^ et
— ^'r^ — x'*j dont chacune est continue dans l'intervalle ( — r, -h /*•. Ceci apparaît aussi clairement sur la figure. L'équation (1) représente
l'ig. 65.
le cercle de centre O et de rayon r, c'est-à-dire que le lieu des points dont les coordonnées vérifient l'équation (i) est le cercle qu'on vient de dire, la fonction ^/r* — x^ est représentée par le demi-cercle supérieur, la fonction — y/r^ — x^ par le demi-cercle inférieur; les arcs de courbe qui représentent ces deux fonctions et dont chacun n'est rencontré qu'en un point par les parallèles à l'axe des ^ se raccordent aux points Al, A', où les tangentes sont parallèles à cet axe.
DÉRIVÉES. l53
Regardons, dans l'équation (i)y y comme égal à l'une des deux expressions ^r^ — x'\ — \/r^ — x^^ dont on sait d'ailleurs qu'elles admettent une dérivée pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle (— r, /•), et désignons par j/ la dérivée de j^ (par rapport à x). La dérivée du premier membre est 2 a? -}- 2yy ; ce premier membre étant identiquement nul, il en est de même de sa dérivée ; on a donc
OÙ il est entendu qu'on doit regarder^ comme égal à l'une des fonctions \/r^ — x^^ — yjr"^ — x'^ ; et, en effet, on retrouve ainsi un résultat déjà obtenu.
Sous certaines conditions relatives à la continuité de la fonction /(x, y) et de ses dérivées partielles, le lieu des points dont les coordonnées vérifient l'équation f{x, j ) = o est une courbe, qui peut d'ailleurs être composée d'une ou plusieurs branches. Ces branches peuvent être décomposées en arcs de courbe tels que chacun d'eux ne soit rencontré qu'en un point par une parallèle à l'axe des x\ ces arcs de courbe sont limités, le plus souvent, à des points où la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des^, comme dans l'exemple précédent. Ils peuvent aussi être limités à des points multiples de la courbe, où elle se croise elle-même ; par exemple dans la figure 66, la courbe en 8
Fig. 66.
peut être partagée en quatre arcs dont chacun n'est rencontré qu'en un point par les parallèles à l'axe des r. On peut d'ailleurs la décomposer en deux arcs seulement.
CHAPITRK XIII
La courbe de la figure 67, qui présente en A un point de rebroussentent, se décompose en quatre parties.
En outre, il peut y avoir des branches de courbe qui s'éloignent indéfiniment, soit que les deux coordonnées grandissent indélini-
ment, soit qu'une seule grandisse indéfiniment. Telles sont les principales circonstances qui peuvent se présenter pour les courbes algébriques, c'est-à-dire pour les courbes définies par une équation /(j7, r) = o dont le premier membre est un polynôme. D'autres circonstances peuvent se présenter pour d'autres courbes, dont il peut arriver, par exemple, qu'une branche s'arrête brusquement.
Est-il utile de dire au lecteur que tout ceci n'est qu'une description destinée à lui faire connaître, sans démonstration, comment les choses se passent dans les cas les plus simples?
Quoi qu'il en soit, admettons qu'on ait isolé, dans la courbe définie par l'équation /(:r, y) = o, un trait continu limité à deux points donl les abscisses sont a, b et qui ne soit rencontré qu'en un point par les parallèles à l'axe des^' ; cela revient à dire qu'on a défini dans l'intervalle (a, 6) une certaine fonction continue j/'= ^{j^)-, telle que l'expression /(^,jk), quand on y remplace y par 0(07), soit nulle pour toutes les valeurs de x considérées. Si Ton sait résoudre par rapport a > Téq nation /*(x, y) = o, si, par exemple, cette équation est une équation du second degré en y, cp(x)est une des racines de cette équation. Si l'on ne sait pas efl'ectuer cette résolution, on peut imaginer qu'on sache, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, A), choisir, parmi les diverses racines que peut avoir Téquation
DÉRIVÉSS. I Î5
(en^) /(jc, y) = o, celle qui est égale à ^{x). On a alors défini, dans rintervalle (a, 6), y comme une fonction implicite de jc ( * ).
Supposons de plus que le trait de courbe considéré admette une tangente en chacun de ses points, ou que la fonction 'f (^) admette une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6), il sera aisé de calculer cette dérivée.
Lorsque dans l'expression f{x^ y) on regarde y comme désignant ç(x), cette expression est nulle, quelle que soit la valeur Aex appartenuit à l'intervalle (a, b). Cette expression devient ainsi une fonction composée de x^ qui est nulle dans tout cet intervalle : il en est de même de sa dérivée par rapport à x ; or cette dérivée, d'après la règle du n"' 217, s'obtient en multipliant la dérivée partielle de f{x^ y) par rapport à x par la dérivée de x, qui est i, et en ajoutant le produit de la dérivée partielle de/(^, y) par rapport k y par la dérivée o'(^) ou y de y\ on a donc fx-^ y fy^= o, et, par suite, en supposjnt/^ différent de o,
où il est bien entendu que, dans le second membre, y doit être toujours supposé égal à '^{x).
Si y^ était nul pour quelque valeur de x^ la tangente au point correspondant de la courbe serait parallèle à l'axe des x : sans que j'insiste sur ce point, le lecteur reconnaîtra, par raison de symétrie, que, si f'y. est nul sans que /j. le soit, la tangente doit être parallèle à Taxe des^, et qu'il convient de dire que la dérivée j^', qui à proprement parler n'existe pas, devient infinie. Mais, pour un point de la courbe où l'on aurait à la fois/j.= o,/' = o, la méthode précédente ne donne absolument rien. Un tel point (au moins pour les courbes algébriques) est dit multiple (-).
(* ) Lorsque^ est exprimé au moyen de x de manière que l'on sache quels calculs iJ faut efiFectuer sur a: pour avoir ^, lorsque, par exemple, y est une de ces fonctions élémeniaîres de x étudiées lians le Chapitre précédent, ou une combinaison de ces roiictîons, y est une fonction explicite de x. Pour peu que le lecteur y réfléchisse, il reconnaîtra que la distinction entre les mots implicite et explicite regarde la forcne et non le fond.
(^) L*étude de ces points, où il arrive que deux ou plusieurs branches de la courbe peuvent se croiser, est en dehors du cadre de ce livre.
l56 CHAPITRE XIII.
Supposons par exemple qu'on aîl
/(^» r) = h A*-i- j'«— lang^;
je ne m'arrête pas à construire la courbe définie par l'équation /{x^ y) = o, ni à isoler sur cette courbe un trait qui satisfasse aux conditions imposées; je me borne, pour calculer la dérivée de j par rapport k x^ k appliquer les règles précédentes : on aura
x^ -+- y^ x^ d'où
La règle qu'on vient d'expliquer aurait besoin d'être complétée en démontrant M existence de ces traits de courbe continus que Ton a admise, et V existence d'une tangente en chacun de leurs points ^' i. On démontre que, si le système de valeurs x^^ yo attribuées aux variables x^ y vérifie l'équation /(a:,j^) = o, si, pour ce système el aux environs, la fonction /(j:, y^ admet des dérivées continues, et si la dérivée partielle/^, n'est pas nulle pour ce système, il y a effectivement un trait de courbe et un seul qui passe par le point dont les coordonnées sont x^^ y^ et que, en ce point, il y a une tangente dont la
f pente est la valeur de — 4^ pour x = Xq, y =yo' En partant d'un
autre point, sur ce trait de courbe, on arrive à le prolonger, el ainsi de proche en proche, tant que les conditions imposées à f{x^y) et à ses dérivées sont vérifiées.
La règle pour calculer la dérivée de la fonction implicite de x définie par l'équation /(;r,j^) = o s'applique en particulier au calcul de la dérivée d'une fonction inverse d'une fonction 'donnée (n° 210 1. Ce cas particulier a été isolé, d'une part en raison de son importance, d'autre part parce que l'existence de la fonction inverse et de sa dérivée a pu être mise facilement en évidence.
La même règle s'applique au calcul des dérivées successives. SI, par exemple, on veut, en reprenant les notations précédentes, calculer
(M Introd., n» 221.
DÉRIVÉBS. l57
la dérivée ?"(^) ou y de la fonction f (^), on partira de Féquation
et Ton regardera, dans cette équation, j^ comme égal à ç(j?),j' comme égal à f'(^); eUe€5t alors Yériiiëe pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, è), la dérivée du premier membre est nulle; on la prendra encore parla règle du n"217; elle est
en sorte que l'on a, pour déterminer y, l'équation du premier degré
II est bien entendu, que, dans le premier membre de cette équa-
f lion, on doit supposer j^ égal a ^{x)^ y' égal à — ~ •
Si, pour la valeur de x considérée, /J. était nul, en sorte que y fût infini, l'équation précédente n'aurait plus de sens, bien qu'elle semble ^e réduire à une équation du second degré en ^ ; je me borne à dire que cette équation
dans le cas où l'on a /i= o,/^.= o et où ses racines sont réelles et distinctes, donne les pentes des deux tangentes aux traits de courbe qui passent par le point (multiple) considéré, à moins que les trois dérivées 'parti elles du second ordre //,, /j!^,, fy^ ne soient nulles pour les coordonnées de ce point. Cette assertion devient évidente >i l'on admet l'existence de ces deux traits de courbe et l'existence de leurs tangentes.
On peut évidemment continuer de la même façon.
220. Cliangemeiit de Tariables. — Supposons qu'on se donne une fonction de x, y=f[x)^ et qu'on ^veuille substituer à x une autre \ariable /, liée îà x par une relation telle que j:= îp(^); on n'aura qu'à remplacer, dans /(x), x par ç(/); c'est là le cas le plus simple du changement de variable : la règle relative aux fonctions de fonctions permet de calculer les dérivées successives de /(x) considéré comme une fonction (de fonction) de ^, connaissant les dérivées par rapport k x de/{x) et les dérivées par rapport à / de o{l).
l58 CHAPITRE XIII.
Supposons maintenant que x et y soient des fonctions données de /
y peut être regardé comme une fonction de x définie de la uianuTe suivante : Féqualion ^ = '^(/) définit t comme fonction de x\ reijardant t comme cette fonction de x dans ^{t)^ y est la fonction de x définie par les deux équations précédentes; on peut se proposer de calculer les dérivées de )' par rapport à x.
Désignons par 'f'{l)j 'Yi^) les dérivées par rapport à / des fonctions oit). J^(0? P^*" C "^ dérivée de t regardé comme la fonction de X que définit Téquation x = -^{t)^ P^^^^^ la dérivée de la fonction de X que l'on obtient en remplaçant, dans ^{t), t par la fonction de^ que définit l'équation x = o(t); on a (n*** 210, 212)
Supposons maintenant qu'on veuille avoir la dérivée seconde de / regardé toujours comme la même fonction de x.
On partira de l'égalité y'j.= thj] ^" 1'^^ ^^^^ regarder toujours / comme la fonction de x définie par l'équation j? = cp(/) et l'on prendra la dérivée par rapport à j; en appliquant la règle des fonctions de fonction ; on aura ainsi
on obtiendra de même les dérivées troisième, quatrième, .. ., toules ces dérivées sont exprimées en fonction de /, et il est sous-entendu que l désigne la fonction de x définie par l'équation x = ©(^). Si, par exemple, on suppose
X = t — sin<, y = i — cos /, on aura
, si n / t
Ki.= = cot-»
1 — cost 1
4sin^- -^
DÉRIVÉES. iSg
Les problèmes de celte nature peuvent être multipliés et compliqués à plaisir; les règles relatives aux fonctions de fonction et aux fonctions implicites suffisent à les résoudre.
Des questions analogues se posent pour les fonctions de plusieurs variables et leurs dérivées partielles.
Imaginons, par exemple, qu'on ait une fonction de trois variables '51 j:, j, z) et qu'on y remplace J?, j^, z par des fonctions de u, t^,
la fonction oix^ y^ z) deviendra une fonction de w, c dont les dérivées partielles par rapport k u^ v seront, en vertu de la règle des fonctions composées (n" 217),
do
OÙ il est entendu que, dans «^., cp'y, ç'., x^ y^ z doivent être regardés comme respectivement égaux kf{u^ i'), g{u^ v)^ k{u, i^).
l 2. — THÉORËIICS FONDAMENTAUX SUR LA VARIATION DES FONC- TIONS. FONCTIONS PRIMITIVES. DÉRIVÉES ET FONCTIONS PRIMITIVES DE FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE A COEFFICIENTS IMAGI* NAIRES. ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS PRIMITIVES.
221. Je reviens maintenant, pour en établir les réciproques, aux propositions fondamentales du n** 207 :
Soit /{x) une fonction admettant, dans Tintervalle (a, 6), une dérivée f\x)\ on a vu que, si la fonction /(.r) est croissante dans l'intervalle (a, 6), sa dérivée est, dans cet intervalle, positive ou nulle; que, si la fonction est décroissante dans Tintervalle (a, 6), sa dérivée est négative ou nulle; que, si la fonction est constante dans l'intervalle (a, 6\ sa dérivée y est constamment nulle.
Réciproquement, si^ dans V intervalle (a, 6), la dérivée f'{x) n'est jamais négative y et si elle n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x appartenant à un intervalle partiel (a', b') compris
l6o CHAPITRB Xlll.
dans rintervalle (a, é), la /onction f{x) est croissante dans ce dernier intervalle.
Il faut, pour le prouver, montrer que, si Xq^ Xi sont deux valeurs de X telles qu'on ait
(i) a^Xfi<x^^b,
on a /(xq) <Z/{Xi) : le théorème des accroissements finis fournit régalitë
(•2) /(:r,)-/(a7o) = (^, — aro)/'(0,
OÙ Ç désigne un nombre compris entre Xq et Xi ; le second membre est positif ou nul : on a donc /(xt)^/{xQ)j sous les seules conditions imposées. De deux choses l'une, ou bien dans l'intervalle {xt^Xi la fonction /(x) 'est constante et, dans tout l'intervalle {x^^ x«), la dérivée /'(:r) est nulle; c'est une hypothèse que l'on a exclue; ou bien, pour quelque valeur x^ comprise entre x^t et Xt^ la fonction /(J i prend une valeur y(:r') différente de /(x^); on doit alors, à cause des inégalités a < ^To < ^' < ^« <6, avoir/(:zro).=/(^') = /(^i)j mais, la supposition /(xq) =:/(.r') étant exclue, il faut bien que /(x©) soil plus petit que /{x') et, a fortiori, que f{x^). La proposition est démontrée.
J'ai exclu, dans la démonstration qui précède, le cas où la dérivée n'existerait pas pour quelque valeur de x appartenant à l'intervalle (rt, b). Si, toutefois, on est assuré de la continuité de la fonction dans tout l'intervalle, le fait qu'il y ait quelques valeurs de x (en nombre fini) pour lesquelles la dérivée n'existe pas, n'importe nullement pour ce qui est de la variation de la fonction, pourvu que la dérivée reste positive ou nulle dans l'intervalle, sauf pour ces valeurs isolées où elle n'existe pas.
Tout d'abord, en effet, s'il y a une dérivée pour toutes les valeurs de X appartenant à l'intervalle (a, é), sauf pour les bornes a, b. U démonstration subsiste entièrement puisque le théorème de Rolle et la formule des accroissements finis (n** 215) ne supposent pas l'existence de la dérivée, pour les bornes a, 6, lorsque la fonction est continue. Si, maintenant, il y a, à l'intérieur de l'intervalle, une valeur a de X (et une seule) pour laquelle la dérivée n'existe pas, la démonstration précédente prouve que la fonction est croissante dans
l'intervalle (a, a), dans rintervalle (a, 6) ; elle est donc croissante dans lout rintervalle (a, é). Le reste est évident. On démontre de même la proposition suivante :
Si, dans ^intervalle (a, é), la dérivée f'{x) n'est jamais positive et si elle n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x appartenant à un intervalle partiel (a', 6') compris dans (a, è), la fonction f{x) est décroissante dans ce dernier intervalle.
Enfin, si, dans C intervalle (a, è), la dérivée f'{x) est constamment nulle, la fonction f{x) est constante dans cet intervalle.
L'égalité (2) subsiste, en effet, quels que soient les nombres Xq, Xi appartenant à l'intervalle (a, b); or, le second membre est nul; on a donc f{xi) = f(xo)] deux valeurs quelconques de la fonction /(a;) sont égales; la fonction /(a:) est constante dans tout l'intervalle.
Si l'on considère, par exemple, la fonction arc tangj? -+- arc tang-, qui est définie et continue dans tout intervalle auquel n'appartient pas o, sa dérivée sera
IH z
cette fonction est donc constante dans l'intervalle considéré. Quand x s'approche de o par valeurs positives, la fonction considérée tend évidemment vers;^; telle est la valeur de la fonction considérée dans lout intervalle à bornes positives ; on voit de même, en faisant tendre x \ers o par valeurs négatives, que la fonction proposée est égale à — dans tout intervalle à bornes négatives. Elle n'a pas de sens, et n'a pas de dérivée, pour x = o. Il faudrait donc se garder de lui appliquer le précédent théorème dans un intervalle auquel appartiendrait o.
La méthode pour étudier la variation d'une fonction f{x) qui admet, en général, une dérivée, est fondée essentiellement sur les théorèmes précédents. J'y reviendrai au Chapitre XV.
222. Fonctions prlmitlTes. — On appelle fonction primitive d'une fonction f{x) une fonction F{x) dont la dérivée est f{x); par exemple, est une fonction primitive de x"^, arc tangj: est
